Définition de la limite avec un seul quantificateur

Congru
Modifié (15 May) dans Analyse
La façon dont on définit la notion de limite pourrait être allégée.
On se donne deux espaces métrique $(X;d)$ et $(Y;q)$. Pour toute application $f:X\to Y$, pour tout $a\in X$, pour tout $l\in Y$, pour tout $\epsilon \in \mathbb R _{+\star}$ on note $[h](X;d)(Y;q)fal\epsilon :=\{z\in \mathbb R _{+\star}\vert B_{(X;d)}(a;z)\subseteq f^{-1} (B_{(Y;q)}(l;\epsilon ))\}$.
Alors la limite en $a$ de $f$ est $l$ (selon $((X;d);(Y;q))$) si on a $\forall \epsilon (\epsilon \in \mathbb R _{+\star} \implies \emptyset \not = [h](X;d)(Y;q)fal \epsilon ) $

Réponses

  • Le non-vide cache un quantificateur existentiel.
    L'inclusion cache un quantificateur universel.

    Si on déroule tout, c'est stricto sensu la même chose. 
  • JLapin
    Modifié (15 May)
    Oui, mais c'est plus léger : il y a un quantificateur en moins :)
    D'ailleurs, on pourrait faire disparaître le $\forall$ avec un truc comme $\R_+^* = \{\varepsilon\in \R_+^* | .....\}$, non ?
  • @JLapin oui, je n'y avais pas pensé, en effet ça revient à dire $\R_+^* = \{\varepsilon\in \R_+^* | \emptyset \not = [h](X;d)(Y;q)fal\epsilon \}$
    @Cyrano, on a déjà la relation d'inclusion dans le langage et on a déjà l'ensemble vide dans le langage, donc c'est une véritable simplification, je crois.

  • Congru a dit : 
    @JLapin oui, je n'y avais pas pensé,
    Mouais, je ne sais pas mais à mon avis la remarque de JLapin était ironique :mrgreen:

    PS : l'IA détecte difficilement l'ironie il me semble.
  • Congru
    Modifié (15 May)
    Si j'ai compris les remarques faites par plusieurs d'entre vous dans d'autres fils, la notion de limite n'est pas facile à comprendre pour les non initiés à cause de la complexité de la formule la définissant. Donc, d'un point de vue pédagogique, il y a de la valeur dans ce genre de simplification, je crois.
  • raoul.S
    Modifié (15 May)
    Donc, d'un point de vue pédagogique, il y a de la valeur dans ce genre de simplification, je crois.
    Tu n'as jamais donné de cours d'appui toi hein ? 
  • Si la notion de limite est comprise dans le cadre unidimensionnel (avec des valeurs absolues), on écrit une définition tout à fait semblable avec des distances en situation métrique. Pour le coup, mon expérience auprès d'étudiants de licence 3 est que leur maîtrise des manipulations sur les ensembles est telle que la vision d'images directe et réciproques par des applications est pour eux absconce et qu'il font qu'ils ont même d'énormes difficultés à se rendre compte que l'on écrit la même chose avec les distances et les $f^{-1}$ des boules. J'ai tout de même une année envoyé un étudiant à Polytechnique et qui jusqu'au bout était convaincu que l'on ne peut parler de $f^{-1}(B)$ que si $f$ est bijective, malgré les nombreuses minutes que j'ai passé sur son cas (ce qui ne l'a pas empêché au demeurant de sortir avec un diplôme de l'X).

    Alors ne parlons pas de faire une économie d'un quantificateur au profit d'une formulation somme toute plus lourde, qui par son aspect encore plus ensembliste risque de rebuter les peut-être 10% qui ne sont pas traumatisés lorsque je dis que l'écrire avec des distances ou des $f^{-1}$ c'est pareil.
  • @Congru : Cette réécriture n'a pas d'effet quant à l'utilisation concrète de la définition de limite. Introduire des abréviations ne change rien au fait, qu'au final, pour prouver que l'ensemble est non-vide l'étudiant devra exhiber un élément lui appartenant (c'est le quantificateur existentiel) et pour tester l'inclusion il devra, comme toujours, prendre un élément générique dans l'ensemble de gauche et montrer qu'il appartient à l'ensemble de droite (c'est le quantificateur universel). 
  • @math2 j'ai été un peu naïf sur le coup :D
    @Cyrano tu as tout à fait raison.
    @raoul.S j'ai donné un cours une fois à des première S où j'ai défini l'ensemble des polynômes à une indéterminée à coéfficients dans $\mathbb R$ en utilisant l'ensemble des termes clos du langage approprié quotienté par la relation $aRb : \iff T\vdash a\sim b$ (où $T$ est la théorie appropriée). Erreur fatale.
  • 🥶
    Il faut apprendre de ses erreurs...
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