suite

bonjour, mille excuses pour cet écrit                        on a une suite telle que               . ,u_0=a,u_1=b.  et u_(n+2) = u_(n+1) +2/(n+2)u_n
 verifier que u_(n+1) > u_n. a et b sont strictement positifs

démontrer pour tout n>=2.    u_(n+1)/(n+1)^2 < u-n/n^2

sos pardon et merci d'avance. simeon

Réponses

  • Bonjour
    Veux-tu déposer ici même une photo de ton énoncé, s'il te plait ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Premier message incompréhensible et même incohérent.
    C'est quand même fort de laisser ça alors que le forum donne tout de suite un aperçu !
  • JLapin
    Modifié (15 May)
    L'énoncé a l'air correct en prenant
    $$u_{n+2} = u_{n+1} +\dfrac{2}{n+2}u_n$$
    mais cette propriété de décroissance ne me semble pas si simple à démontrer.
  • Dom
    Dom
    Modifié (15 May)
    Je tente… sans trop réfléchir… comme j’attends le bus…
    $a>0$ et $b>0$
    $u_0=a$ et $u_1=b$
    $u_{n+2}= u_{n+1} +\dfrac{2}{n+2}u_n$ [ATTENTION ICI !!! Le $u_n$ est peut-être au dénominateur… ]

    1) démontrer que : (pour quels $n$ ?)
    $u_{n+1}>u_n$
    2) démontrer que pour $n>2$ : 
    $\dfrac{u_{n+1}}{(n+1)^2} < \dfrac{u_n}{n^2}$



  • Bravo, vous avez de bons yeux et de l'imagination !
  • Un outil de calcul performant surtout :)
  • La positivité et croissance de u est triviale
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • L'énoncé a l'air valable avec $u_n$ au dénominateur également. Du coup, le doute m'habite.
  • NicoLeProf
    Modifié (15 May)
    Bonjour @Simeon-urbain,
    commençons par la première question.
    Tout d'abord, précisions l'énoncé : est-ce bien comme JLapin l'a écrit (et comme je le pensais) : $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+2}=u_{n+1}+\dfrac{2}{n+2} u_n$? (*)
    Ensuite, as-tu des infos sur $a$ et $b$ autres que le fait qu'ils sont des réels strictement positifs? Par exemple, $b > a$ ou pas nécessairement?
    Si on n'a pas cette dernière info sur $a$ et $b$, je peux quantifier la première question comme ceci : montrer que : $\forall n \in \mathbb{N}^*$, $u_{n+1} >u_n$.
    Et là, voici un indice pour toi Simeon : quand on a une relation de récurrence comme la relation (*) et en plus, lorsqu'on voit directement que $u_{n+2}-u_{n+1}=\dfrac{2}{n+2} u_n$, on a très envie de montrer d'abord que la suite $(u_n)$ est strictement positive sur $\mathbb{N}$ puis on pourra aisément montrer l'inégalité souhaitée dans la question $1$.
    Pour montrer que la suite $(u_n)$ est strictement positive, on observe que l'on va utiliser la relation (*) donc cela te fait penser à quel type de raisonnement? Raisonnement bien utile d'ailleurs quand on ne sait pas quoi faire et quand on n'a pas de formule explicite.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Qui peut conjecturer la limite de cette suite ?
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  • Ça, c'est faisable : la suite $(u_n)$ est croissante et si elle converge vers un réel strictement positif, un équivalent simple de $u_{n+2}-u_{n+1}$ montre une absurdité (à cause de la série harmonique).
    Donc $(u_n)$ diverge vers $+\infty$.
  • Désolé pour mon imprécision,  Je  ciblais la suite $$\frac {u_n}{n^2}$$ D'après la question 2 la suite est décroissante minorée par 0 donc convergente . Je conjecture numériquement que sa limite est 
    $$\frac{(b-a)+e^{-2}( 9a-5b)}{8}$$
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  • etanche
    Modifié (16 May)
    @gebrane jolie ta conjecture sur la limite de $u_{n}/n^2$, comment t’es arrivé à conjecturer la limite. Avec quel logiciel ? Merci.

    Avec la relation de récurrence est-il possible de trouver une équation différentielle vérifiée par $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} u_nx^n$ ?
    Puis résoudre cette équation différentielle, et développer en série entière la fonction solution et identifié explicitement $u_{n}$.
    (Méthode que l’on a déjà vu sur le forum).

    Avec Wolfram Alpha on a une expression de $u_n$ avec les factorielles et la fonction Gamma incomplète 
    https://www.wolframalpha.com/input?i=solve+u%28n%2B2%29%3Du%28n%2B1%29%2Bu%28n%29%2F%28n%2B2%29+%2C+u%280%29%3Da%2C+u%281%29%3Db
  • gebrane
    Modifié (16 May)
    Très bonne idée etanche, Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} u_nx^n$, alors 
    $\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n+2}x^{n+2}=x\sum_{n=0}^{+\infty}u_{n+1}x^{n+1}+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{2}{n+2} u_n x^{n+2}$
    D'où $f(x)-a-bx = x(f(x)-a)+\sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{2}{n+2} u_n x^{n+2}$
    Puis on drive 
    $$f'(x)-b=f(x)-a+xf'(x)+2xf(x)$$
    Soudain , J'ai la flemme, pourquoi ferais-je le travail de celui qui ne prend même pas le soin de son énoncé ? Croit-il qu'on est en manque d'exercice ?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Bonjour à tous et merci de vos aides . Pardon pour ce mauvais énoncé (pardon gerbante je ne manque ,pas de respect  pour aucun de vous, au contraire).acceptez mes excuses et ma considération.  merci cordialement S_U
  •  (pardon gerbante je ne manque ,pas de respect  pour aucun de vous,
    Je suis devenu une personne gerbante ! ..

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  • Soudain , J'ai la flemme

    Moi aussi :)

    https://artofproblemsolving.com/community/c7h1155017p5477236

    Très belle conjecture de limite @gebrane !!



  • Bravo
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  • Soudain, je reprends du courage pour continuer, on a $f'(x)-b=f(x)-a+xf'(x)+2xf(x)$
    C'est une équation simple à résoudre, donc j'ai demandé à wolfram de faire la sous-traitance . Il me donne cette solution $f(x) = \frac{a x^2}{2 (x - 1)^3} - \frac{3 a x}{2 (x - 1)^3} + \frac{5 a}{4 (x - 1)^3} - \frac{b x^2}{2 (x - 1)^3} + \frac{3 b x}{2 (x - 1)^3} - \frac{5 b}{4 (x - 1)^3} + \frac{c_1 e^{2 - 2 x}}{(1 - x)^3}$. On peut déterminer $c_1$ par $f(0)=a$ Mais après je bloque 

     ( je n'ai pas envie de regarder la solution du lien de JL)
    A méditer
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  • On peut aussi trifouiller l'ordre $3$ pour des limites rigolotes. Soit par exemple la suite $u$ définie par $u_{1}=0,u_{2}=0, u_{3}=1$ puis par

    $$u_{n}=u_{n-3}+\frac{3}{n-3}\left(u_{n-1}+2u_{n-2}+3u_{n-3}\right)$$

    Alors sauf erreur on a

    $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{6}}{27u_{n}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\exp\left(\frac{\pi}{2\sqrt{3}}\right)$$

  • Mais du coup, le $u_n$ est au numérateur ou au dénominateur dans ton énoncé ?

  • gebrane
    Modifié (16 May)
    Ce probleme me rend fou, je simplifie en posant a=b et mon équation devient $(2x+1)f(x) =   (1-x) f'(x)$ ayant la solution $$f(x) = c \frac{e^{2 - 2 x}}{(1 - x)^3}$$ ( Avec $c=e^{-2} a$ car $f(0)=a$). Est ce que  $\lim_{n\to \infty} \frac {u_n}{n^2}$ a un lien avec $\lim_{x\to 1} (1-x)^3 f(x)$. Normalement je dois arriver à $\lim_{n\to \infty} \frac {u_n}{n^2}=e^{-2}\frac a2$ et pour cela j'ai besoin de démontrer que $\lim_{n\to \infty} \frac {u_n}{n^2}=\frac 12 \lim_{x\to 1} (1-x)^3 f(x)$
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  • Boécien
    Modifié (16 May)
    gebrane a dit :
    Est ce que  $\lim_{n\to \infty} \frac {u_n}{n^2}$ a un lien avec $\lim_{x\to 1} (1-x)^3 f(x)$.
    Oui cela a un lien, le comportement asymptotique des coefficients d'une fonction génératrice est lié aux singularités de la fonction en question.
    Tu peux par exemple regarder cette page.
  • Bon si tu n'as pas trouvé le théorème du transfert le voici (en gros).
    Soit

    $$f(z)=\sum_{n\geq0}u_{n}z^{n}$$

    et

    $$g(z)=\sum_{n\geq0}v_{n}z^{n} $$

    Si $f$ et $g$ ont toutes les deux $1$ comme plus petite singularité alors

    $$f(z)\sim g(z)\ \left(z\rightarrow1\right)\Rightarrow u_{n}\sim v_{n}\ \left(n\rightarrow\infty\right)$$

    Dans ton cas 

    $$f(x)=c\frac{e^{2-2x}}{(1-x)^{3}}\sim_{x\rightarrow1}\frac{c}{(1-x)^{3}}=g(x)=\sum_{n\geq0}\frac{c}{2}(n+1)(n+2)x^{n}$$

    On a donc

    $$u_{n}\sim\frac{c}{2}n^{2}$$

  • Boécien, Tu es merveilleux. Je ne connaissais pas ce résultat. Toutes mes félicitations 
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  • jandri
    Modifié (18 May)
    La limite conjecturée par @gebrane et démontrée dans le lien donné par @JLapin donne un équivalent de $u_n$ quand $(b-a)+e^{-2}( 9a-5b)\neq0$.

    Quand cette quantité est nulle on montre facilement que $\lim u_n=0$ mais quel est alors un équivalent de $u_n$ ?
    Je l'ai obtenu avec un peu de calculs.


  • gebrane
    Modifié (18 May)
    Jandri, bonjour.

    Je préfère de loin la preuve que j'ai initiée et complétée par Bohécien.
    Ta question est vraiment un défi. Ne donne pas la solution 
    Ajout  Je pense que bisam peut en créer un très beau sujet pour les prepas
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  • Boécien
    Modifié (18 May)
    Pour le cas  $(b-a)+e^{-2}(9a-5b)=0$  la méthode du transfert est très efficace. En reprenant le résultat de gebrane:

    $$f(x)=\frac{1}{(x-1)^{3}}\left(\frac{ax^{2}}{2}-\frac{3ax}{2}+\frac{5a}{4}-\frac{bx^{2}}{2}+\frac{3bx}{2}-\frac{5b}{4}+c_{1}e^{2-2x}\right)$$

    Il suffit juste de pousser le développement de $e^{2-2x}$ lorsque $x\rightarrow1$ pour avoir

    $$f(x)\sim_{x\rightarrow 1}\frac{p(x)}{(1-x)^{i}}$$

    avec $p(x)$ un polynôme tel que $p(1)$ soit non nul et $i \leq3$. Je laisse gebrane finir les calculs.

    EDIT: a priori cela ne marche pas...

  • Bonjour, je vous remercie tous pour vos compétences et votre gentillesse

      amicalement S_U
  • Si $u_{0}=a$,$u_{1}=b$ et

    $$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{2}{n+2}u_{n}$$

    J'obtiens en notant $\ell(a,b)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u_{n}}{n^{2}}$

    $$u_{n}=\ell(a,b)\left(n^{2}+7n+10\right)+O\left(\frac{2^{n}}{(n+3)!}\right)$$

    Et si la limite  $\ell(a,b)$ est nulle

    $$u_{n}\sim C(a,b)\frac{(-2)^{n}}{(n+3)!}$$

    Pour une constante $C(a,b)$ dépendant de $a$ et $b$.



  • Je trouve comme @"Boécien" avec $C(a,b)=18a-10b$.
  • Oui c'est ça et on voit qu'il n'y a plus de cas non trivial à considérer car $\ell(a,b)=0$ et $C(a,b)=0$ impliquent $a=b=0$.
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