Surface d’une courbe elliptique

Bonjour, en parcourant mes « archives », je suis tombé sur ce problème (dont je donnerai les références complètes) et qui me semble un joli prétexte à un peu de calcul intégral.
Soient $a$ un réel positif et $(C)$, la courbe elliptique d’équation 
\begin{equation}
y^2=x(x^2-a^2)
\end{equation}
Le graphe de cette expression est constitué de deux courbes. L’une, ouverte, passant par $(a,0)$. L’autre fermée, une sorte de bulle, passant par $(-a,0)$. Voici par exemple, la courbe pour $a=1$

.

Calculer l’aire délimitée par la courbe fermée ainsi que la longueur de cette courbe.

Réponses

  • PetitLutinMalicieux
    Modifié (16 May)
    Bonjour
    Une aire de $\frac{a^4}{2}$ ?
  • Bonjour PLM. 
    Non.
  • L'aire est l'intégrale de la racine carrée d'un polynôme de degré trois, c'est l'archétype d'une intégrale elliptique.
  • Ah oui. Avec Y=y², je me suis dit que pour chaque grand "Y" positif, il y avait un petit "y" positif, et que c'était pareil. Ce n'est pas pareil du tout.
  • biguine_equation
    Modifié (24 May)
    Merci à PLM et MathCoss !
    L’aire de la « bulle » en question est 
    \begin{equation}
    A=\frac{2}{5}a^{5/2}\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{5}{4})}
    \end{equation}

    On exprime $y$ comme la racine carrée de l’expression de droite (ainsi que l’a suggéré MathCoss). On procède à la substitution trigonométrique qui va bien et qui conduit à la fonction Bêta. On conclut avec une propriété élémentaire de la fonction $\Gamma$. Cet exercice met en avant les différences entre une cubique et une courbe elliptique.
     
    Tous les détails dans la revue M500 dont certains numéros sont légalement téléchargeables.
  • Il y a un joli problème (302.1, page 15 du document attaché) impliquant un cercle et une hyperbole.
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