Calcul d'intégrale multiple

Calculer ∭ | 𝑥^2 − 𝑦^2 | 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑠𝑢𝑟 ∆= { (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³⁺, 𝑥^2 + 𝑦^2 ≤ 𝑧^2 et 0 ≤ 𝑧 ≤ 1}
On pourra utiliser les coordonnées polaires. 

Réponses

  • Bonjour.

    La mise en œuvre est facile, on intègre sur z, et l'intégrale en x et y restante se traite en polaire.
    Commence les calculs, et si tu bloques, viens exposer ce que tu as fait ...

    Cordialement.
  • Gerard0 je ne comprends pas bien votre explication 
  • lourrran
    Modifié (15 May)
    Ton expression peut s'écrire sous la forme $\int f(z) dz$
    où $f(z)$ est une certaine fonction, simple à intégrer ou pas, je ne sais pas.

    La première étape suggérée par gerard0, c'est de dire :
    Soit $A = \int \int\int |x^2-y^2|dx dy dz$
    Alors $A = \int f(z) dz$ où $f(z) =$ ... 

    A toi de compléter les ...
    Dans un premiers temps, ce que tu vas obtenir, c'est une formule un peu compliquée. Il va falloir trouver des trucs pour la simplifier (passer en coordonnées polaires)
    Et quand tu auras une forme simple voire très simple pour $f(z)$, tu pourras revenir à la question initiale, calculer $\int f(z) dz$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • ƒ( z ) = x^2 - y^2-z^2 
    je comprends bien la fonction f(z)
  • M4d a dit :
    ƒ( z ) = x^2 - y^2-z^2 
    je comprends pas bien la fonction f(z)

  • Non...
    $f(z) = \int\int |x^2-y^2|dx dy$ avec comme limites pour les intégrales : les bonnes valeurs sur $x$ et sur $y$ pour avoir  $x^2+y^2 \le z^2$
    Ou encore, avec des mots plutôt que des symboles mathématiques : $f(z)$ est l'intégrale de la fonction $|x^2-y^2|$ sur le disque de rayon $z$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0
    Modifié (15 May)
    M4d, il serait préférable pour toi de commencer par des calculs d'intégrales multiples plus simples. On dirait que tu n'as aucune connaissance sur le sujet. Lourrran, plein de bonne volonté, est en train de faire l'exercice à ta place. Ce qui est hors charte (voir en particulier la fin du 1).
    À l'époque où j'ai vu ces notions seul, dans des bouquins, j'aurais su faire sans aide. Maintenant qu'il y a plein de choses sur Internet, ta façon de faire n'est plus acceptable.
  • lourrran
    Modifié (15 May)
    Rassure-toi, je ne serais pas allé plus loin. Jusque là, c'est simple, c'est la méthode 'automatique' qu'on déroule sans même réfléchir. Après, il faut prendre un papier et un crayon pour faire les calculs sans trop se tromper. Et je m'arrête systématiquement à ce moment là.
    En fait, dans la formation mathématique, on avance en principe étape par étape.
    Et là, le challenge, c'est de trouver les questions intermédiaires pour se ramener à des exercices qu'on sait faire.
    En année 1, on pourrait avoir l'exercice : 
    Q1) Soit z un réel, calculer $\int \int |x^2-y^2| dx dy$  pour $x^2+y^2 \le z^2$
    Q2) En déduire $\int \int \int |x^2-y^2| dx dy dz$   pour $x^2+y^2 \le z^2$ et $0 \le z \le 1$

    Et en année 2, on a l'exercice que tu proposes... et c'est à toi de deviner la question intermédiaire.

    Il y a plein d'exercices comme ça, où le déclic, c'est de décomposer en 2 questions plus simples, avec une question intermédiaire. Et ce déclic, on l'a si on a des bases solides. On ne peut pas l'avoir si on a vaguement plus ou moins compris/mémorisé le cours de l'année précédente.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Normalement, si on a appris à traiter des intégrales multiples (vu en cours et appris ce cours), les explications de ma première réponse suffisent. La réponse assez fréquente de M4d, "je ne comprends pas bien" (déjà 2 fois ici), c'est en fait une façon cachée de dire "je ne fais rien, je n'ai rien appris, j'attends qu'on fasse mon travail à ma place".
    J'imagine qu'à 5 ans il tendait encore la main à sa mère pour marcher ...
  • J'ai souvent l'impression que les gens qui demandent de l'aide font des maths 'sur le pouce', par exemple en attendant le bus, ou sur leur téléphone, mais pas avec un stylo à la main, pas dans un lieu adapté pour faire des maths.
    Et en particulier pour les 4 messages postés par M4d.
    Ceci n'enlève rien au problème que tu soulèves, bien au contraire.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Bonsoir , Gerard0 et louran , j'ai compris nos messages , je vais essayer de bien réviser la partie du cours et vous revenir.
    Néanmoins j'ai posté un nouveau exercice je bloque à la question 1 - a ) j'ai besoin d'indication 
  • C'est dans le nouveau sujet qu'il faut le dire !!
  • Bonjour,  j'ai révisé le cours et voilà ce que j'ai fait.Verifiez svp
  • Bonjour.

    Le calcul sur x²-y² est assez bizarre. Quand on remplace x et y par leurs valeurs, ça donne une différence, pas un produit.
    D'où sort le $\frac{pi}4$ ?
    D'autre part, qu'est devenue l'intégrale sur $\theta$ ?

    Maîtrises-tu vraiment ce qui est écrit, ou n'est-ce qu'un mauvaise copie ? On ne peut t'aider que si tu fais sérieusement le travail
  • JLT
    JLT
    Modifié (21 May)
    1) Qu'est-ce que cette égalité $r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos^2\theta$ ?
    2) Quand on transforme l'intégrale avec les coordonnées polaires, il faut remplacer $dxdy$ par $rdrd\theta$ (il manquait un $dr$ dans ton calcul).
    3) Comme dit gerard0, on ne comprend pas d'où sort le $\pi/4$.
    4) D'où sort le $3$ dans l'intégrale $\int_0^3$ ?
    5) D'où sort le $\frac{z^3}{3}$ ?
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