Exprimer une dérivée seconde

Si j'ai une fonction à variable réelle et à valeur réelle définie de la sorte $x  \mapsto f(a+tb)$ où $f$ est une fonction deux fois différentiable à n variables et à valeur réelles (a et b sont donc des vecteurs et t un scalaire réel). J'ai en remontant à la notion de dérivée directionnelle montrer que si $f$ est différentiable alors la fonction définie est dérivable en $t$ de dérivée $b^T \nabla f (a+tb)$. Je veux montrer que si je suppose que $f$ est deux fois différentiable j'ai la même conclusion mais cette fois sous la forme $< \nabla ^2 f (a+tb) b,b >$. Mais je n'arrive pas à y arriver de manière fluide. Est-ce que quelqu'un a une rédaction qui permet de voir ce lien aisément.

Réponses

  • math2
    Modifié (14 May)
    La manière sans doute la plus simple (mais pas la plus élégante) est de constater que ta dérivée première prend la forme $\sum_i b_i g_i(a+tb)$ avec $g_i=\frac{\partial f}{\partial x_i}$. Tu re-dérives cela comme tu as dérivé $t \mapsto f(a+tb)$, et la dérivée de $g_i(a+tb)$ prend la forme $\sum_j b_j \frac{\partial g_i}{\partial x_j}(a+tb)$ et il n'y a plus qu'à réarranger.

    PS : si $f$ est différentiable, nul besoin de parler de dérivée directionnelle (en pratique c'est au passage ce que tu calcules). La formule de composition donne le résultat.

  • Bonjour, Puisque sans retour, il semble que tu bloques encore !?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Non la réponse de @math2 me convient très bien merci. J'avais juste oublié avoir posé cette question !
  • Parfait
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