Géométrie 4eme

Luffy

Bonjour,

Mon fils est au collège et nous travaillons ensemble les mathématiques avec le manuel "Démontrer pour comprendre" (Casamayou-Boucau). J'ai un parcours scientifique, j'ai eu un bac S spé maths mais ça date et je suis un peu rouillée... je bloque sur un exercice de géométrie de 4eme (chapitre rectangle, losange, carré) et je sollicite donc votre aide.

Voici l'exercice: 

a/démontrer que les bissectrices des angles intérieurs d'un parallélogramme forment un rectangle (OK pour celle-ci)

b/ Démontrer de plus que les diagonales de ce rectangle sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence des deux côtés consécutifs.

Je bloque pour démontrer que les diagonales sont parallèles aux côtés du rectangle, je ne vois vraiment pas comment faire!

merci d'avance pour votre aide

Bonne journée

JLT

Notons $ABCD$ le parallélogramme et $EFGH$ le rectangle. Alors $F$ est l'intersection des bissectrices de $\widehat{BAD}$ et $\widehat{CBA}$ donc est équidistant des trois côtés $(DA)$, $(AB)$ et $(AC)$. Donc $F$ est sur la parallèle à $(BC)$ passant par le centre $O$ du parallélogramme. Idem pour $H$, donc $(FH)\parallel (BC)$.
Ensuite, avec $FH=2FO$ et Thalès on répond à la dernière question.

Luffy

merci mais je ne comprends pas sur ma figure F ne semble pas équidistant des côtés (DA), (AB) et (AC)... le point d'intersection de deux bissectrices est supposé être a équidistance des côtés des angles? c'est une propriété?

de plus il n'est pas censé connaître Thalès, c'est dans le programme de troisième dans le manuel.

Y-a-t-il une autre façon de démontrer la question b?

Math Coss

Une figure ne peut pas faire de mal.

JLT

Il y a deux dessins selon que $AB<AD$ ou l'inverse. Je m'étais basé sur ce dessin mais ça ne change rien au raisonnement.

Luffy a dit :

 le point d'intersection de deux bissectrices est supposé être a équidistance des côtés des angles? c'est une propriété?

Soit $\Delta$ la bissectrice de $\widehat{BAD}$. Alors $\Delta$ est un axe de symétrie de la figure formée par les deux droites $(AB)$ et $(AD)$, donc tout point $F$ de $\Delta$ est équidistant des deux droites.

JLT

Bon sinon l'utilisation de Thalès est assez légère. Il sert juste à dire que si $P$ est le milieu de $[AB]$ alors $PO=BC/2$.

JLT

Sans Thalès : soit $Q$ le milieu de $[CD]$ alors $FH=PQ-2PF=PQ-AB=AD-AB$.

Luffy

Ok j'ai compris. Je vais pouvoir passer à autre chose!

Merci

Rescassol

Bonjour,

Pour le plaisir, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué:

% Luffy - 14 Mai 2024 - Géométrie 4eme

clear all, clc

syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC

A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
D=[1; -1; 1]; % ABCD est un parallélogramme

% Bissectrices
BissA=Wedge(A,Barycentre([B D],[a c])); % BissA=[0, -c, a-c]
BissB=[c, 0, -a];
BissC=Wedge(C,Barycentre([B D],[c a])); % BissC=[a-c, a, 0]
BissD=Wedge(D,Barycentre([A C],[c a])); % BissD=[-a, c-a, c]

% Quadrilatère EFGH
E=Wedge(BissA,BissD); % E=[a-2*c; c-a; -c]
F=Wedge(BissA,BissB); % F=[a; a-c; c]
G=Wedge(BissB,BissC); % G=[a; c-a; c]
H=Wedge(BissC,BissD); % H=[a; c-a; 2*a-c]

% Milieux des diagonales de EFGH
MilEG=SimplifieBary(MilieuBary(E,G)); % MilEG=[1; 0; 1]
MilFH=SimplifieBary(MilieuBary(F,H)); % La même chose
% Donc EFGH est un parallélogramme

EF2=Factor(Distance2(E,F,a,b,c)); % EF2=(a-c)^2*(a+b-c)*(b-a+c)/(4*a*c)
EH2=Factor(Distance2(E,H,a,b,c)); % EH2=(a-c)^2*(a+b+c)*(a-b+c)/(4*a*c)
FH2=Factor(Distance2(F,H,a,b,c)); % FH2=(a-c)^2
Nul=Factor(EF2+EH2-FH2) % Pythagore
% Nul=0 donc EFGH est un rectangle

% De plus EG^2=(a-c)^2 donc EG=|BC-AB|

Cordialement,

Rescassol

hx1_210

JLT a dit :

Notons $ABCD$ le parallélogramme et $EFGH$ le rectangle. Alors $F$ est l'intersection des bissectrices de $\widehat{BAD}$ et $\widehat{CBA}$ donc est équidistant des trois côtés $(DA)$, $(AB)$ et $(AC)$. 

C'est pas $(AC)$ c'est $(BC)$ et tu éludes l'argument qui permet de dire que $F$ appartient à la parallèle à $(BC)$ passant par le centre du parallélogramme. (Tu en donnes la raison mais il manque ici à mon avis un raisonnement qui est loin d'être évident vu le niveau concerné.)

Si on se place niveau Quatrième, il faut revenir à la définition de la distance d'un point à une droite.

C'est un exercice fort intéressant mais difficile (qui est une variation sur la somme des angles d'un triangle pour la question 1). Merci de l'avoir proposé.

La rédaction correcte en restant au niveau Quatrième n'est pas si simple.

Remarque la droite  des milieux n'est plus au programme de Quatrième.

JLT

Oui pardon j'ai fait une faute de frappe, c'est effectivement $(BC)$ au lieu de $(AC)$. Et oui, il n'est pas évident si on ne connaît pas la droite des milieux/Thalès que la droite qui est équidistante de $(BC)$ et $(AD)$ passe par les milieux de $[AB]$ et $[CD]$, je n'ai pas prétendu donner une démonstration complète mais seulement les arguments principaux.

marc0075

la droite  des milieux n'est plus au programme de Quatrième. dommage car c'était le hors d'oeuvre de thalès

hx1_210

JLT a dit :

Oui pardon j'ai fait une faute de frappe, c'est effectivement $(BC)$ au lieu de $(AC)$. Et oui, il n'est pas évident si on ne connaît pas la droite des milieux/Thalès que la droite qui est équidistante de $(BC)$ et $(AD)$ passe par les milieux de $[AB]$ et $[CD]$, je n'ai pas prétendu donner une démonstration complète mais seulement les arguments principaux.

Je me doute bien que c'était une faute de frappe mais vu que l'auteur du fil ne l'a pas relevée et vu la rapidité de ton argumentation je suis légitimement inquiet du "on peut passer à autre chose".

Luffy

Bonsoir,
J’avais compris la faute de frappe à partir des  explications  de JLT sur l’axe de symétrie des bissectrices, je n’ai juste pas souligné la faute parce que je ne trouvais pas cela très glorieux de ne pas résoudre ce type de problème et vous avez l’air tous très fort, c’est aussi un peu intimidant! (Oui je vous assure) mais en même temps la géométrie c’est loin derrière moi, ce n’était pas ce que je préférais étant plus jeune mais aujourd’hui en la redécouvrant pour aider mon fils, je trouve ça sympa bizarrement et ce fichu problème m’a bien pris la tête!
J’ai trouvé l’exercice difficile pour un niveau quatrième…mais en même temps c’est ce que j’apprécie dans ce manuel.
J’ai compris la démonstration mais je ne suis pas sûre que mon fils y arrive étant donné que pour l’instant montrer que deux droites sont parallèles se résume plutôt à chercher du côté des propriétés angulaires des droites parallèles ou  démonter la présence d’un parallélogramme ou de deux droites perpendiculaires à une troisième, etc…bref  encore merci à ceux qui ont bien voulu m’aider!
bonne soiree à tous !

hx1_210

Luffy a dit :

étant donné que pour l’instant montrer que deux droites sont parallèles se résume plutôt à chercher du côté des propriétés angulaires des droites parallèles ou  ou de deux droites perpendiculaires à une troisième, 

Oui et c’est bien de cela dont il s’agit dans cet exercice. Il n’y a rien besoin de plus (si ce n’est le théorème de Thalès éventuellement sur la fin).
Si tu veux que cet exercice soit profitable à ton fils il faut qu’il rédige en détail le raisonnement en utilisant ces propriétés et sans élision ni argument d’autorité .

Et oui l’exercice est difficile.

Ericpasloggue

C'est un exercice que je donne en 5e dans le cas où $ABCD$ est un rectangle (et c'est un exercice difficile). Avoir un rectangle au départ simplifie un peu les choses. Je donne la première question du cas général en contrôle en 4e.

Pour la deuxième question, pas la peine d'aller chercher Thalès ou la droite des milieux. Des angles alternes-internes, éventuellement quelques triangles égaux et beaucoup d'huile de coude. Pour obtenir $AD-AB$, on peut considérer le point $T$ tel que $AFBT$ soit un parallélogramme. Il a le bon gout d'être un rectangle, d'où $TF=AB$.

Luffy

J'arrive en partie à faire la question 2 avec les outils dont dispose mon fils:

Soit T le point d'intersection de la bissectrice de l'angle C avec le côté AD (sur la figure de JLT, désolée je ne sais pas faire des figures comme vous, j'utilise encore une règle, un compas, une équerre)

Je compare les triangles AFT et THD qui son égaux j'en déduis que TH=AF, de plus l'angle FÂD =CTD (angles correspondants, désolée je n'arrive pas à faire la notation de l'angle CTD) donc ATHF a deux côtés opposés et égaux donc c'est un parallélogramme. Conséquence: AT parallèle à FH.

Mais pour la diagonale GE, Je ne trouve rien! pourtant j'ai beaucoup cherché.

Je me dis que la solution de JLT est peut-être celle recherchée dans le manuel, elle est tellement plus jolie...Peut-être que c'est une façon de différencier les très bons élèves des bons élèves, il y a sûrement certains élèves qui parviennent à sortir du cours et qui comprennent par eux-même que si F et O sont équidistants de (AD) et (BC) alors (FO) est parallèle à (AD) et (BC).

Personnellement j'en aurais été incapable.

JLT

Ce qu'on sait faire pour $(FH)$, on peut le faire pour $(GE)$ en remplaçant $(A,B,C,D,E,F,G,H)$ par $(B,C,D,A,F,G,H,E)$.

Domi

Il me semble que si on ne trace que les bissectrices sans déborder du parallélogramme et sans ajouter d'élément perturbateur , la solution apparait en observant certains triangles isocèles . Cet exercice est sans doute un problème ouvert permettant à l'élève d'explorer la figure , il n'est pas forcément bon de trop l'accompagner .

Domi     

Soc

@domi: Les points d'intersection peuvent être extérieurs au parallélogramme. La démonstration que ces triangles sont bien isocèles est le centre de la démonstration et n'est pas évidente du tout.

@luffy: Je n'ai jamais croisé d'élèves dont je pense qu'ils auraient pu trouver cela sans accompagnement, en ayant pourtant eu pas mal d'élèves brillants. Peut-être en étant beaucoup plus baignés dans la géométrie, mais même ainsi j'en doute.

Luffy

Je l’accompagne souvent en lui donnant des indices car les exercices sont souvent plus difficiles que ce qu’il fait au collège, il est dans une classe assez faible. Je lui donne ces exercices pour le stimuler un peu et je pense qu’il trouvera la question 1 sans aide. En revanche sur la question 2 je ne saurai pas l’accompagner et j’avoue que cela m’énerve un peu de ne pas trouver …j’ai l’impression que je n’arrive pas à visualiser cette figure comme il faut, je l’ai refaite plusieurs fois mais je finis toujours par retomber dans le même schéma de pensée…Je n’ai pas compris la réponse de JLT, je m’y pencherai dans la soirée.

JLT

Luffy a dit :

Soit T le point d'intersection de la bissectrice de l'angle C avec le côté AD (sur la figure de JLT, désolée je ne sais pas faire des figures comme vous, j'utilise encore une règle, un compas, une équerre)

Je compare les triangles AFT et THD qui sont égaux

Cela dit je n'ai pas compris ce passage. Est-ce que c'est bien $T=(AD)\cap (CH)$ ? Dans ce cas je ne vois pas comment $AFT$ et $THD$ peuvent être égaux puisque $THD$ est rectangle en $H$ alors que $AFT$ n'est pas rectangle.

Ou c'était $AFU$ et $THD$ qui sont égaux?

Luffy

Pardon c’était un faute de frappe je parlais du triangle AFB rectangle en F

Sato

L'important est de chercher dans l'état d'esprit de ce livre ("démontrer..."), c'est-à-dire en s'efforçant de n'utiliser que les connaissances des chapitres antérieurs. Cependant, l'axiomatique présentée n'est pas parfaite : on a déjà évoqué sur ce forum les difficultés que cela présente (choix à faire, manque de temps pour la mettre en pratique, peu d'intérêt de l'institution). On doit pouvoir s'autoriser quelques chemins de traverse tant qu'on ne "triche" pas. À l'exercice 6 du chapitre 29, par exemple, il est précisé qu'on suppose connue la notion de distance d'un point à une droite du chapitre 35.
J'ai ce livre sous les yeux. Cet exercice se trouve à la fin du chapitre 30. C'est au 32 que l'on traite la droite des milieux. Au chapitre 13, en 5e, on donne une définition de la bissectrice avec des angles, au chapitre 16 une caractérisation avec l'équidistance d'un point intérieur aux côtés de l'angle. Cependant, la distance d'un point à une droite n'est véritablement traitée qu'au chapitre 35 à l'occasion du théorème de Pythagore.
Il ne faut pas s'arracher les cheveux si on ne trouve pas en 4e. C'est un exercice de fin de chapitre. Ce n'est déjà pas si mal d'essayer des pistes et de s'efforcer de les mettre en forme avec rigueur. Je trouve cela bien pour l'élève motivé de voir que l'on peut "sécher", même avec des notions simples, sur des exercices un peu plus ambitieux qu'une application directe du cours. Si ce n'est qu'une fois de temps en temps, l'élève ne devrait pas le voir comme un échec mais comme quelque chose de formateur et motivant.

JLT

Sinon, en se basant toujours sur cette figure : 

$AFU$ et $THD$ ont des côtés deux à deux parallèles. De plus $AU=AB$ car $U$ est le symétrique de $B$ par rapport à $(AF)$. De même $DT=DC$ donc $DT=AU$, par conséquent $AFU$ et $THD$ sont égaux. On en déduit que $AF=TH$, et comme $(AF)\parallel (TH)$, $ATHF$ est un parallélogramme. En particulier $(FH)$ est parallèle à $(AD)$.
De plus $FH=AT=AD-DT=AD-DC$.

Luffy

J’ai utilisé le triangle AFB (comparé au triangle THD) et j’en tire les mêmes conclusions, (AT) parallèle à (FH) mais comment montrer que (GE) est parallèle à (DC)? 

JLT

Même démonstration en permutant circulairement les lettres. On définit $T'=(DH)\cap (AB)$, alors $BGC$ et $T'EA$ sont égaux et $BT'EG$ est un parallogramme.

Chaurien

@JLT fait montre de sa maîtrise de la géométrie élémentaire, liée sans doute à son expérience des Olympiades internationales. Encore faut-il savoir quel est le corps des théorèmes que l'on est en droit d'appliquer, mais il semble que c'est le corpus de la bonne vieille géométrie élémentaire de toujours, cas d'égalité des triangles, parallélogramme, rectangle, losange, etc. Pour que ce soit faisable par des élèves de Quatrième moyens, il faut des questions intermédiaires.

 Je joins par exemple une page de : Lebossé-Hémery, Algèbre, arithmétique et géométrie, Classe de Quatrième, Fernand Nathan 1940. C'était à peu près la même chose jusqu'au début des années 1960. L’exercice 54 étudie cette figure, et je laisse les autres pour information.

En toute amitié, j'émets quelques réserves sur la solution de @Rescassol.  D'une façon générale, pour moi la solution d'un problème de géométrie est un texte écrit en français (ou en une autre langue parlée par des humains dans le monde).

Maintenant, j'attends avec curiosité une solution avec un déterminant $6 \times 6$, pour nos petits élèves de Quatrième  .

Bonne après-midi.

Fr. Ch.

Domi

Il faudrait préciser le cadre dans lequel cet exercice a été donné . Si une figure a été fournie ( c'est certainement le cas ) , on évite les différentes variantes .

Avec ce dessin , au vu des triangles isocèles , la réponse est immédiate :

 
Domi

Luffy

@sato je ne trouve pas cela motivant de ne pas trouver la solution, et si les auteurs ont fait cela volontairement, c’est limite étant donné le temps que j’ai passé dessus. Mon fils ne comprend pas mon acharnement et me dis de passer à l’exercice suivant mais je n’arrive pas encore à m’y résoudre.
Sachant que je n’ai pas trouvé la solution, il me dit qu’il ne trouvera jamais et malheureusement il n’essaiera pas sérieusement de le résoudre.
c’est dommage….

stfj

Bonjour,

L'exercice est un petit $\color{green}\text{bijou}$.

J'ai d'abord pensé qu'il s'agissait d'un exercice proposé par le professeur de mathématiques du fils d'OP( Original Poster, autrement dit vous, @Luffy ). Mais grâce aux références, je sais maintenant qu'il s'agit d'un exercice tiré d'un livre aux éditions Ellipses écrit par un ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure et par un ancien élève de l'Ecole Polytechnique. Donc un exercice a priori un peu ambitieux pour son lectorat. Les auteurs ont certainement rappelé dans l'introduction à leur livre quelques banalités : un exercice intéressant ne sera souvent intéressant que s'il nécessite pas mal de recherches, d'échecs, ...

Ici, je pense qu'il faudrait conseiller au fiston après qu'il aurait longtemps cherché sans trouver : 
1. de considérer des parallélogrammes particuliers, en commençant pourquoi pas par le carré tout simplement, puis le rectangle, puis le losange et enfin le cas général : c'est une démarche générale : du particulier au général. En particulier, il y a parfois des difficultés quand l'enseignant de collège (j'en fais partie) demande légitimement des figures aussi générales que possible, ce qui ne signifie pas qu'on interdise de considérer des cas particuliers...

2. De bien observer ce qui se passe quand on passe du carré tout doucement au rectangle, ce qui fournit immédiatement que la longueur de la diagonale est la différence entre le grand côté et le petit, une fois qu'on a prouvé que la diagonale est parallèle.

Cordialement,
Stéphane.
_________________________
Ci-joint
* Un logiciel gratuit, geogebra (suivre l'hyperlien)
* 

Luffy

Merci JLT je crois que j’ai compris, fallait sortir du parallélogramme ABCD! je restais enfermée dedans! 

Sato

@Luffy, la plupart des exercices de cet ouvrage sont très accessibles. Quelques-uns sont vraiment ambitieux et c'est une bonne chose de varier les difficultés. À mon avis, l'important ici n'est pas de trouver la solution, mais de chercher une solution, de la relire, la critiquer, la mettre en forme, c'est cela qui est vraiment intéressant.
@JLT, pourquoi  $U$ est-il le symétrique de $B$ par rapport à $(AF)$ ? Comme on a vu précédemment que $\widehat{CBU}$ et $\widehat{BUA}$ sont deux droits, ils sont égaux, le cas d'égalité des triangles angle-côté-angle permet de dire que les triangles $AFB$ et $AFU$ sont égaux.
@Chaurien, ce livre fait reposer la plupart des démonstrations de géométrie sur les angles et le parallélisme avec les cas d'égalité des triangles. La démonstration de @JLT est dans cet esprit.

Rescassol

Bonjour,

Chaurien:

En toute amitié, j'émets quelques réserves sur la solution de @Rescassol.  D'une façon générale, pour moi la solution d'un problème de géométrie est un texte écrit en français (ou en une autre langue parlée par des humains dans le monde).

J'avais bien précisé que c'était pour m'amuser, il est évident que ma solution n'est pas pour le collège.
C'est malgé tout une solution correcte, même si elle n'est pas tout à fait rédigée en français.
Elle est tout à fait réalisable à la main, même si j'ai eu la flemme et utilisé mon esclave numérique.
Je précise enfin qu'il y a un certain nombre d'humains qui parlent et comprennent ce type de langage.

Cordialement,
Rescassol

JLT

Sato a dit :

@JLT, pourquoi  $U$ est-il le symétrique de $B$ par rapport à $(AF)$ ?

Le symétrique de la droite $(AB)$ par rapport à $(AF)$ est la droite $(AD)$ car $(AF)$ est la bissectrice de $\widehat{BAD}$.
Le symétrique de la droite $(BF)$ par rapport à $(AF)$ est $(BF)$ elle-même car $(BF)\perp (AF)$.
Donc le symétrique de $(AB)\cap (BF)$ est $(AD)\cap (BF)=U$.
(Cela dit ta démonstration est certainement plus dans l'esprit du programme du collège.)

Vassillia

+1 @Rescassol il y a des humains qui savent se servir d'un ordinateur, moi j'attends avec curiosité une compétition entre des humains se servant d'ordinateur et des humains ne se servant pas d'ordinateur mais j'ai comme l'impression que les seconds deviendront nettement moins compétiteurs d'un coup  

Tant mieux, cela fera plus de places intéressantes pour les premiers !

hx1_210

Je note que j’ai bien fait de relancer la discussion.

@Luffy faire des mathématiques c’est chercher et développer le goût pour les mathématiques c’est developper le goût pour la recherche
ce que l’ecole française par manque de professeurs aimant les mathématiques fait de plus en plus mal.

lourrran

J'ajouterais un peu de couleurs sur le dessin de JLT.
Déjà, oui, les points T et U me semblent ceux qui viennent 'naturellement' dans l'ordre de la construction, avant le point central. Et personnellement, à la place de $T$ et $U$, j'aurais noté ces points $C_1$ et $B_1$
Puis sur ce dessin, je recense tous les angles égaux entre eux. 
Dans l'ordre.

Ici, j'ai mis une lettre minuscule orange pour tout une série d'angles (b=a, c=a, d=c, e=a, f=d) , et pareil avec les angles marqués en violet.
Ce recensement des angles égaux me paraît une étape incontournable pour un élève qui essaie de gravir cet exercice.

stfj

@hx1_210 : j'ai du mal à imaginer qu'un professeur de mathématiques qui a forcément bac+5 en mathématiques depuis des décennies maintenant je crois, n'aime pas les mathématiques. 

Luffy

Alors je ne suis absolument pas dans le domaine des mathématiques, je suis ingénieure dans le domaine de la santé, et je travaille tous les jours avec des chercheurs.
Comme je le disais j’ai un bac S avec spe maths mais ça date et je suis rouillée surtout en géométrie. L’algèbre du collège reste facile pour moi, je galèrerai sûrement au lycée.
La géométrie n’était pas ma matière de prédilection mais aujourd’hui j’aime bien galérer  sur un problème et chercher jusqu’à trouver la solution c’est tellement satisfaisant ! Mais là j’étais bloquée, je suis pugnace quand je ne trouve pas je demande, c’est pourquoi j’ai posté sur ce forum et j’ai trouvé la première démonstration de JLC classe et facile alors j’ai voulu passer à autre chose car les autres démonstrations sont laborieuses je trouve.  

C était une erreur, ça ne me ressemble pas de laisser tomber!
tu as eu raison hx1-210 de relancer le sujet.

JLT

(modérateur on)

N.B. Dans ce fil, ainsi que ce sous-forum d'ailleurs, on privilégiera les discussions sur les exercices de niveau collège et lycée. Si vous voulez parler d'autre chose (par exemple de la compétence des professeurs), veuillez ouvrir une discussion dans un autre sous-forum.

(modérateur off)

stfj

Avec les notations de la figure, par construction $ADM$ est isocèle. Donc la bissectrice de $\widehat A$ est aussi la médiatrice issue de $A$. Et donc $H$ est au milieu. 

De même, $J$ est au milieu. Et donc $HJ\parallel AM$.

Domi

Tu as reposter deux fois le dessin que j'avais déjà proposé et qui permet dans ce cas de figure de répondre aux questions posées en repérant des triangles isocèles

Domi

stfj

@Domi : bonjour,

Tu écris :"Avec ce dessin , au vu des triangles isocèles , la réponse est immédiate"
De quels triangles isocèles parles-tu ?
Par ailleurs, je n'ai pas reposté deux fois le dessin; dans le dernier dessin j'ai rajouté un cercle pour expliquer la construction du point $M$ et expliquer ensuite que $H$ est le milieu de $DM$. En fait, ce n'est pas "immédiat" : il faut s'assurer que $M$ appartient à la bissectrice de $\widehat D$. Le mieux serait peut-être d'écrire la démonstration in extenso.

Cordialement,
Stéphane.

Domi

Tu as un triangle isocèle dans chaque angle du parallélogramme , après il faut regarder les longueurs .
Domi

hx1_210

La figure de @stfj est très éclairante, c'est aussi ma manière d'envisager ce problème. Et j'observe que beaucoup de ceux qui ont affirmé que tout cela était immédiat n'ont pas proposé de démonstration (utilisant les outils de la 4e), et encore moins immédiate. Et pour cause, le raisonnement passe par un nombre assez important d'étapes. 

Je me suis un peu penché sur la façon de rendre abordable ce problème à des quatrièmes et après quelques instants à bougonner (comme toujours) contre l'absence d'axiomatique claire dans la géométrie de collège (qui n'a rien de simple!) voici les questions que je poserais à mes (meilleures élèves. (J'ai mis un e et ce n'est pas une erreur).

j'ai ajouté quelques questions qui permettent de rebalayer le parallélogramme.

Si @Luffy tu veux aider ton fils avec des questions intermédiaires n'hésite pas.

1) Montrer que la somme de deux angles consécutifs d'un parallélogramme vaut 180 degrés.
2) En déduire que les droites $(AE)$ et $(DE)$ sont perpendiculaires
3) Montrer que les triangles  $ADB$ et $CDB$ sont égaux. (merci Luffy pour la coquille)
4) En déduire que $AD=BC$ et $AB=CD$

5)Soit $O$ le point d'intersection de $(AC)$ et de $(DB)$, montrer que $AOD$ et $COB$ sont égaux. En déduire que les côtés opposés d'un parallélogrammes sont égaux et que ses diagonales se coupent en leur milieu.

6) En déduire que $DAB$ et $BCD$ sont symétriques par rapport à $O$. De même $ADC$ et $CBA$ sont symétriques par rapport à $O$.

7)En déduire que les $E$ et $G$ sont symétriques par rapport à $O$.
8) $(DE)$ coupe $(AB)$ en $E'$, et $(BG)$ coupe (CD)$ en $G'$. Montrer que $E'$ et $G'$ sont symétriques par rapport à $O$. En déduire que $EE'=GB$. De même, ED=GB.

9) En déduire que les triangles $AEE',AED,CGG'$ et $CGB$ sont égaux.

10) En déduire que $EGG'D$ est un parallélogramme. Conclure quant-aux droites $(EG)$ et $(DC)$.
12) Montrer que $ADE'$ est isocèle en $A$.

13) En déduire que EG=DC-DA

Ouf!

Comme on le voit, on utilise la géométrie d'Euclide c'est-à-dire angles et parallélisme et les cas d'égalité des triangles.

Mais ce n'est pas facile même si c'est intéressant (Quand on pense que certains pensent qu'en collège, on ne fait  pas de mathématiques et qu'un niveau bac suffit largement).

Je n'ai jamais donné ce problème en entier à des élèves de quatrième car c'est bien trop chronophage (et ils ne sont plus assez solides pour tenir la distance!) mais entre la 5e et la 4e, une bonne partie des questions est traitées en classe.

Dom

Rien que « bissectrice » et « équidistance aux côtés », c’est limite du hors programme. 

En pratique en tout cas…
La chasse aux angles, oui, c’est très bien. 

Le fait que deux angles consécutifs d’un parallélogramme sont supplémentaires est un théorème de 5e (immédiat avec les angles correspondants, etc.). 

JLT

Si « bissectrice » est hors programme on ne peut même pas poser l'exercice !

hx1_210

@Dom la bissectrice est au programme.  Et comme le montre saucissonnage du problème on peut rester, à la mode d'Euclide sur des enchainements de chasse aux angles et de triangles égaux, en panachant avec la symétrie centrale.

Dans les faits c'est tout à fait dans l'esprit du programmes (du moins le versant euclidien, pas le versant groupes de transformation qui a été ajouté sans se soucier de l'incohérence, mais nous en avons déjà discuté ).

Ce qui est passé de mode c'est de faire des démonstrations... mais rien ne l'interdit sinon que lorsque l'ont appartient à une équipe qui pratique le teach to test et le ludique à la mode, les élèves ont rarement l'endurance pour pratiquer ce genre de mathématiques sans souffrir et en vouloir à leur professeur.

Bref, je découvre ce bouquin qui est une jolie tentative de faire aimer par la pratique les mathématiques aux collégiens.

Dom

Zut. 

J’ai cherché la mention « bissec » dans les pdf en faisant Ctrl + F et rien n’est sorti. 

Les pdf consultés sont : programme Cycle 4 (2020), les attendus de fin de 5e, fin de 4e et fin de 3e, et enfin les repères annuels de progression pour le cycle 4. 

En cherchant la mention « médiat », ça sort bien des occurrences.

Quelqu’un pourrait-il fournir une source qui prononce le mot « bissectrice » ?
Mea culpa si je m’y suis pris comme un manche. 

Cordialement

Dom

JLT : on peut tout de même parler d’une droite qui s’appuie sur tel angle pour poser l’exercice (au moins la question du rectangle). 

biely

Je viens de faire comme Dom et j’ai lu aussi ceci https://www.neoprofs.org/t132212-angles-6e-la-bissectrice