Trajectoires orthogonales

Bonjour,
Soit la famille de courbes $y^2 = (x^3 - a^3)/3x$ ; si l'on cherche les TO, on trouve les courbes de la forme $x^2 = (y^3 - b^3)/3y$... Ce résultat était-il prévisible ?
Bonne soirée...
Un con sacré vaut dix culs bénis.

Réponses

  • Prévisible, je ne sais pas mais le dessin me plaît. Voici les deux familles de courbes pour des valeurs de $a$ et $b$ entre $-20$ et $20$ dans un dégradé de couleurs (orange-rouge-rose pour une famille, vert-émeraude-bleu pour l'autre).

  • Le livre d'où sort cet exercice (Deltheil) suggère un rapport avec les fonctions holomorphes...
    Un con sacré vaut dix culs bénis.

  • Ah, oui ! La première équation équivaut (modulo le fait que $x$ ne s'annule pas) à $x^3-3xy^2=a^3$, la deuxième (idem pour $y$) à $3x^2y-y^3=-b^3$. Ce sont la partie réelle et la partie imaginaire de \[x^3+3\mathrm{i}x^2y-3xy^2-\mathrm{i}y^3=x^3+3x^2\mathrm{i}y-3xy^2+(\mathrm{i}y)^3=(x+\mathrm{i}y)^3.\] L'application $z\mapsto z^3$ est holomorphe, elle admet des inverses locaux (sauf au voisinage de $0$ où la dérivée s'annule) qui sont aussi holomorphes et les deux familles de courbes sont les images par ces fonctions holomorphes de deux familles de courbes orthogonales. Comme la différentielle d'une fonction holomorphe est une similitude, l'orthogonalité est préservée.
    Cet argument fonctionne pour n'importe quelle fonction holomorphe $f$ : les lignes de niveau de $\mathrm{Re}f$ et de $\mathrm{Im}f$ sont orthogonales. Voici un exemple avec $f=\cos^2$.

  • Dans le même ordre d'idée, on sait illico que les trajectoires z-orthogonales des ellipses $x^2 - y^2 = a$ sont les ellipses $xy = b$.
    Un con sacré vaut dix culs bénis.

  • Par exemple.

  • Ellipses qui ont même tendance à être des hyperboles ; ell'hips...

    L'alcool, NON, l'eau ferrugineuse, OUI :)
  • Si $F\neq F'$, les trajectoires orthogonales des ellipses de foyers $F,F'$ sont les hyperboles ayant ces mêmes foyers.


  • john_john
    Modifié (15 May)
    Si l'on ne connaît pas la propriété des bissectrices, le calcul est interessant aussi ; l'équation générale des coniques $C_\lambda$ de foyers $(\pm c,0)$ est $\displaystyle\frac{x^2}\lambda+\frac{y^2}{\lambda-c^2}=1$. Il s'ensuit que $\lambda^2-(x^2+y^2+c^2)\lambda+c^2x^2\stackrel{(1)}=0$ puis, après dérivation, $-(x+yy')\lambda+c^2x=0$ et donc $y'=\displaystyle\frac{(c^2-\lambda)x}{\lambda y}\cdot$ En le point $(x,y)$, il passe la conique $C_\lambda$ et la conique $C_\mu$, où $\lambda$ et $\mu$ sont les solutions de $(1)$. Les relations entre coefficients et racines donnent $y'_\lambda y'_\mu=\displaystyle\frac{(c^2-\lambda)(c^2-\mu)}{\lambda\mu}\frac{x^2}{y^2}=-1$.
  • Math Coss
    Modifié (15 May)
    Plus semblable au premier exemple, j'aime bien les lignes de niveau du module et de l'argument de $\frac{z-a}{z-b}$ vues comme images des cercles centrés en l'origine et des demi-droites d'origine l'origine (eh !) par l'homographie réciproque – deux faisceaux de cercles orthogonaux, l'un à points de base et l'autre à points limites.
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