Énoncé trop ouvert

Bonjour,

Encore pour aider un élève particulier de sup, celui-ci m'avait envoyé le premier exercice de sa feuille d'exercices sur les applications linéaires. La prépa est provinciale, l'exercice introductif donc a priori simple.

La question était :

"Soit u un endomorphisme d'un espace E (pas forcément de dimension finie) tel que Im(u) = Im(u^2).
Que dire de u ?"

La réponse qui me vient à l'esprit est "que dalle" et j'ai l'impression qu'on attendait uniquement de ne pas tomber dans le piège "u est un projecteur".

Mais si des gens ont des idées de choses pertinentes et surtout simples pour quelqu'un qui découvre l'algèbre linéaire ça m'ôterait un mystère de la tête.

Merci.

Réponses

  • Injectivité ? Surjectivité ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Les noyaux de $u$ et $u^2$ sont égaux.
  • JLT
    JLT
    Modifié (13 May)
    $E$ est la somme directe de l'image et du noyau de $u$ (au moins si on est en dimension finie).
  • il existe un autre endomorphisme $v$ tel que $u = u^2 \circ v$ (utiliser AC/une base de l'espace).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    Modifié (13 May)
    "Soit u un endomorphisme d'un espace E (pas forcément de dimension finie) tel que Im(u) = Im(u^2).
    Que dire de u ?"

    Que $E = Im u+Ker u$. C'est même une équivalence.


  • Désolé je ne peux pas citer, l'éditeur bug.

    On a que dalle sur injectivité et surjectivité six jeunes m'abusent (ou alors si c'est une demande sur une hypothèse manquante non, l'énoncé est complet).

    Décomposition en image et noyau même en dimension infinie ? J'ai des doutes (à moins que supplémentaire ne veuille juste dire que la décomposition est surjectif mais pas injective, dans ce cas oui).

    Mais une décomposition non directe est-elle une information bien pertinente ?

    Nous avons exploré toutes ces pistes mais avons tous deux un goût amer dans la bouche.
  • C'est déjà pas mal comme décomposition.
    Après, tu peux lui faire chercher des exemples où  la somme n'est pas directe pour compléter un peu l'exo.
  • Peut-être : $Im(u^k)=Im(u)$ pour tout $k \in N^*$?
  • Déjà fait. Il était parti dans tous les pièges (surtout "réciproques" à des théorèmes du rang en inversant image et noyau), donc on a vu tout ce qui allait ou non.

    C'est peut-être pour en avoir autant parlé que je suis aussi peu satisfait de cette réponse.
    Mais il y a une part de psychologie dans l'histoire aussi : qu'est-ce qu'un prof de sup attendrait d'un élève en posant cet exercice comme question 1 de sa feuille d'exercices ?

    C'est une partie que je trouve importante pour se forger aux questions ouvertes aux concours. Et là je n'ai pas de réponse.



  • qu'est-ce qu'un prof de sup attendrait d'un élève en posant cet exercice comme question 1 de sa feuille d'exercices ?


    Si ton élève peut poser la question à son prof, la réponse m'intéresse.


  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (13 May)
    Foys a dit :
    il existe un autre endomorphisme $v$ tel que $u = u^2 \circ v$ (utiliser AC/une base de l'espace).
    Je m'étais demandé par intuition purement géométrique si u était composée d'un projecteur et d'un isomorphisme, mais cela nous menait trop loin.
  • Rescassol
    Modifié (13 May)
    Bonjour,

    A priori, mon premier réflexe est de voir s'il y a des exemples évidents.
    Ici, les automorphismes et les projecteurs en sont.
    Après, faut voir ...

    Cordialement,
    Rescassol

  • C'est justement ce que je disais Rescassol : pour moi l'énoncé est avant tout un prétexte pour tester la tendance de l'élève à tomber dans le "c'est un projecteur (ou un automorphisme s'il y pense)" avec la preuve frauduleuse qui va avec, ou sa capacité à fournir des contre-exemples.
  • Bonjour;

    Il y a aussi les composées d'une homothérie et d'un projecteur.
    D'ailleurs, si $u$ est une solution, $\lambda u$ en est une aussi.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (13 May)
    C'est marrant, on mime la conversation que j'ai eue avec mon élève.

    Ensuite je lui ai demandé des choses plus pathologiques encore (dans R^2 pour rester simple).

    Ensuite j'ai évoqué la possibilité de décomposer l'espace selon noyau et image (si ce n'est un projecteur, c'est peut-être donc son frère), et c'est là qu'il m'a inventé des réciproques à des théorèmes du rang (comme évoqué plus tôt, on a bien décomposition mais ils ne sont pas en somme directe en dimension infinie).

    C'est donc là que j'ai sorti le contre-exemple sacré de l'algèbre linéaire en dimension infinie : la dérivation de polynômes.

    Mais je n'avais pas l'impression d'avoir répondu à la question "que dire de u ?".
    Déjà parce qu'une décomposition en somme non directe c'est -dans ma culture de l'algèbre linéaire qui se limite à un niveau prépa il est vrai- d'assez peu d'intérêt et, de mémoire d'homme, une chose que je n'ai jamais vraiment vue soulignée (on ne "casse" pas proprement l'espace, toujours dans ma culture de l'algèbre linéaire fondée sur la réduction pour finalité).
    Ensuite parce que même là je n'ai pas l'impression de répondre à "que dire de u ?", que je traduis comme "dans quelle catégorie d'endomorphismes remarquables classer u ?" ou bien "u peut-elle se décomposer d'une manière particulière ?".

    Les questions ouvertes que j'ai vues en exercice ont toutes en réalité une réponse close ("si f est continue et involutive, que dire de f ?").
    Et le prof a refusé de répondre.

    Je reste donc face à une frustration. Surtout qu'encore une fois c'est un exercice de début de feuille de sup.

    Nous sommes tous parvenus à la conclusion de la décomposition de l'espace, mais nous parlons si j'ose dire "entre professionnels". Décomposer l'espace alors que nos seules connaissances en algèbre linéaire sont les définitions d'espace vectoriel, de combinaisons linéaires et d'applications linéaires c'est inouï : c'est comprendre toute l'algèbre sans en avoir fait de sa vie.

    Malgré tout j'ai établi une conjecture qui dépasse de loin le niveau attendu et ne repose que sur une intuition géométrique qui est que u se décompose comme produit d'un projecteur par un isomorphisme (en dimension finie).
    Si c'est vrai, c'est le genre de réponses que j'aurais trouvée satisfaisante : pour moi on parle vraiment de u. Pas de découper l'espace grâce à u. Non, de u, sa sensibilité, son être, son vécu.
  • JLapin
    Modifié (13 May)
    Je pense que l'exo c'est juste $Im u = Im u^2$ ssi $E = Im u+ Ker u$ ssi $\forall k\geq 1, Im u^k = Im u$.
    C'est vraiment une chaine d'équivalence de base, un pont aux ânes pour tout débutant en algèbre linéaire. C'est juste un peu bizarre que l'énoncé soit "incomplet".
    Et le prof a refusé de répondre.

    Il est bizarre. C'est le premier exo de sa feuille, il pourrait expliquer ses attentes aux élèves intéressés...
  • Pour moi c'était aussi un pont aux ânes mais pour lequel la réponse était "strictement rien", en réaction au réflexe qui voudrait voir un projecteur.

    C'est vraiment la tournure "Que dire de u ?" en particulier qui m'a fait poster ici.

    Mais j'imagine que le sujet est clos. Merci aux intervenants.
  • Chaurien
    Modifié (16 May)
    L'intitulé du fil est tout à fait correct. Je ne vois pas un élève de Math. Sup. donner la réponse attendue avec un énoncé aussi bêtement posé, sauf s'il a déjà vu l'exercice. J'ai posé cet exercice autrefois une feuille que je joins, pour Math Sup (exercice 3),  sous une forme « fermée ».
    $~~$ La question des énoncés « ouverts » ou « fermés » est une vraie question pour les professeurs. $~~$ Si vous posez dans un devoir un énoncé « fermé » comme : $~~~~$ « démontrer que trucmuche », le mauvais élève vous infligera quinze lignes d'inepties au terme desquelles il aura prétendument démontré « trucmuche», et vous pauvre professeur vous devrez vous les farcir, ces quinze lignes, et chercher l'erreur. Moi qui avais une sainte horreur de corriger des copies,  je préférais poser dans les devoirs des énoncés « semi-ouverts » comme : « déterminer truc pour que l'on ait machin ».
    Dans le cas présent, ma feuille d'exercices que je cite était faite pour être corrigée en classe, et  alors l'énoncé « fermé » convenait (= pas de copie à corriger). Pour un devoir, on pourrait opter pour une rédaction « semi-ouverte » comme : « Soit $u $ un endomorphisme d'un espace $E$ (pas forcément de dimension finie). Déterminer une relation entre $\ker u$ et $ Im~ u$ pour que $Im~u = Im~u^2$ ». Soumis à l'exercice tel qu'il a été posé initialement et stupidement, l'élève déluré pourrait répondre : « on peut en dire que $ Im ~u = Im~u^2$ », et nul ne pourrait lui donner tort.
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • Par curiosité, avec quoi tapais-tu ce genre de document en 1991 ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Chaurien
    Modifié (15 May)
    @nicolas.patrois Il me semble que j'en ai parlé, c'était ChiWriter, et j'ai vécu ça à l'époque comme un vrai progrès par rapport à la situation antérieure ou je donnais des énoncés manuscrits, d'ailleurs très lisibles, mais difficilement modifiables. 
    Bien sûr, ce n'est pas TeX, mais c'est quand même du beau caractère, non ? S'il y en a d'autres sur ce forum qui ont connu ça, on pourrait faire une sorte de club :).
  • Le nom me dit vaguement quelque chose mais c’est tout. C’est vrai que les caractères utilisés ont de la gueule.
    À cette époque, j'étais taupin.
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            -- Schnoebelen, Philippe
  • Chaurien
    Modifié (20 May)
    @nicolas.patrois Si tu étais taupin, alors comment se présentaient les énoncés que vous posait le professeur ?
  • De mémoire, manuscrits en HX.
    Il faut que j’aille fouiner dans mes archives pour être sûr.
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            -- Schnoebelen, Philippe
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