Exercice de mesure niveau sup

Bonjour, me revoilà après tout ce temps. J'espère que tout le monde va bien.

Ma question concerne une question posée par un élève particulier en prépa sur un exercice de base.

Soit E un espace probabilisé tel qu'il existe n événements indépendants tous de probabilité non égale à 0 ou 1. Montrer que E est de cardinal minimum 2^n.

Mon raisonnement est de montrer que toutes les intersections possibles des évènements possibles sont vraiment distinctes et donc exhiber un élément pour chacune d'elles (ce qui se fait bien par récurrence en utilisant les hypothèses).
Il me manque un élément pour avoir le compte, mais pour ça j'utilise le fait qu'il existe un élément de E hors de tous les évènements indépendants puisque leur probabilité vaut 1 - le produit de (1 - leur proba) et donc ne vaut pas 0.

Mais je trouve ça très élaboré, sachant que c'est un exercice de prépa... disons plus CCP que X.

Je me demande si je loupe une évidence. Je ne vois pas un débutant en probas de sup raisonner comme ça, si ce n'est faire le lien entre le 2^n et les intersections possibles, il faut encore le mettre en forme.

Loupe-je quelque chose de trivial ?

Merci à vous.

Réponses

  • Par récurrence sur $n$ ? Les $A_i\cap A_n$ pour $1\leqslant i\leqslant n-1$ sont indépendants dans l'espace probabilisé $A_n$, et idem pour les $A_i\cap A_n^c$ ?
  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (13 May)
    J'y ai pensé sans le mener à bout puisque je trouvais louche de ne pas utiliser l'indépendance globale.
    Merci pour la réponse.

    Je persiste à trouver ça un peu astucieux pour un sup malgré tout (changer d'espace probabilisé pour ses besoins alors que le saint espace E est celui qu'on ne nomme que par habitude tellement on a peur des histoires de tribus etc est un réflexe de déjà aguerri).
  • Foys
    Modifié (13 May)
    Il aurait peut-être mieux valu écrire "non presque sûrs et non presques impossibles", voire le le très inélégant "non (presque sûrs ou presque impossibles)" car l'énoncé est en l'état difficile à comprendre (je trouve).

    L'idée est la suivante: Soient $(A_i)_{1\leq i \leq n}$ lesdits événements, pour tout $b\in \{0,1\}$ et tout événement $Z$ on pose $f(b,Z):= Z$ si $b=1$ et $Z^c$ si $b=0$; enfin pour tout $e\in \{0,1\}^n$ soit $B_e$ l'événement $\bigcap_{i=1}^n f(e_i, A_i)$. Alors les événements $(B_e)_{e \in \{0,1\}^n}$ sont deux à deux distincts et tous de probabilité non nulle (car elle vaut dans chaque cas un produit de réels non nuls grâe aux hypothèses). Le résultat suit immédiatement.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Oui, la distributivité du non porte à confusion, j'édite.

    Mais encore pareil : un élève de sup provinciale irait pondre ça ?
  • Un élève de sup l'écrirait certainement avec plein de pointillés... mais s'il a fait un peu d'informatique, il sait que $2^n$ est le nombre de mots à $n$ lettres pris dans un alphabet à $2$ caractères et il pense à prendre comme caractères "rien" et "la barre qui signifie le complémentaire de l'ensemble".

    Il y a aussi des élèves brillants dans des classes de province, et les profs qui les ont cherchent souvent à leur donner de quoi vraiment s'occuper plus que 2 minutes. On prend un sujet facile avec 4 questions... et on enlève les 3 premières. Voilà qui devrait convenir.
  • Riemann_lapins_cretins
    Modifié (14 May)
    Bisam : il y a des élèves brillants dans toutes les prépas mais la promotion dont il est question n'est pas brillante. Le major est loin de savoir faire l'exercice, même avec les pointillés.

    C'est juste que j'ai observé une tendance du prof à adapter le niveau de ses exercices à celui de sa promotion (des choses plus ou moins ambitieuses sur les premières feuilles, puis de la technique pure ensuite avec quelques exercices théoriques trop basiques pour que mon élève ait l'impression de vraiment progresser en les faisant) plutôt que de recycler ses feuilles (il n'est prof dans ladite prépa que depuis peu, peut-être ceci explique-t-il certaines choses dans ses feuilles).

    En bref, ce n'est pas dans ses habitudes de proposer quelque chose d'aussi ambitieux, surtout pour un sujet aussi inédit et difficile à appréhender que les probas (bien que ce soit plutôt un exercice ensembliste une fois compris le véritable rôle des hypothèses d'indépendance et de probas dans ]0, 1[ ). Encore plus pour un exercice de début de la première feuille sur les espaces probabilistes.

    Je ne voulais pas être méprisant envers les prépas provinciales (ce serait me tirer une balle dans le pied). Je me demandais vraiment s'il y avait une résolution propre plus simple, aussi et surtout par souci pédagogique (je dois guider un élève, plutôt dans le top de sa classe, et c'est le genre de corrections qui ont tendance à le décourager, lui faire penser qu'il est nul, trop loin du niveau de ses ambitions...). C'est surtout pour lui que je pose la question.
  • J'ai essayé de créer $X(\omega) = \sum_k \mathbf{I}_{ \{ A_k \} } ( \omega ) $; et calculer son espérance et sa variance mais pour la variance je trouve 0. Big problem. :s 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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