L'algèbre reine des maths courantes

lourrran

T'as raison.

parisse

Je ne suis pas d'accord avec lourran, la recherche de primitives est purement algorithmique (algorithme de Risch + diverses heuristiques). C'est plutôt dans le calcul exact d'intégrales définies qu'on peut faire preuve d'initiative. Tout cela ne sert probablement à rien pour un futur ingénieur, il me semble que c'est principalement un critère de sélection et l'occasion de faire pratiquer du calcul littéral aux étudiants. Ce qui est indispensable dans des cas simples, mais on peut sérieusement se poser la question dans des cas plus techniques où utiliser un logiciel de calcul formel est bien plus efficace, usage qui semble avoir complètement disparu de l'enseignement.

Chaurien

@hx1_210 Hum « les taupineries sont parfois bien utiles pour classer et écarter » : la litanie gauchiste sur mathématiques-instrument-de-sélection. On ne pourrait pas se renouveler ? 

Les prétendues « taupineries » sont des mathématiques comme les autres, et la recherche de primitives en était une part importante en 1960, mais non en 2024, époque où un esclave électronique le fait en un rien de temps, lorsque c'est possible. Le calcul d'intégrales définies, y compris généralisées,  et de sommes de séries, est aussi un exercice du plus haut intérêt. Voir les nombreux apports de @Fin de partie sur ce sujet.

Moi je n'ai pas d'« exercice royal », je suis démocrate . « Toutes les belles ont le droit de nous charmer ». Regardez chaque année la collection d'exercices posés aux oraux de Grandes Écoles, grande variété de problèmes, et que chacun travaille selon ses préférences. Hélas, mes préférences vont souvent à ceux que je ne sais pas résoudre .

Bonne journée.

Fr. Ch.

Chaurien

@biguine_equation • À propos du théorème de D'Alembert-Gauss. Il serait utile de préciser la référence de  « Démonstration du théorème de d’Alembert d’après M. Walecki - journal de mathématiques spéciales ». C'est sans doute un journal qui paraissait au XIXe siècle, qui n'est pas la RMS de Vuibert, laquelle débute en 1890. 

Une recherche m'a donné l'article de Walecki, dans une autre revue mathématique : http://www.numdam.org/article/NAM_1883_3_2__241_0.pdf. Démonstration plutôt compliquée que je n'ai pas suivie en détail,  mais je note qu'à la page 243, il affirme que le théorème est démontré pour une équation réelle de degré impair. Comme l'ont dit les camarades plus haut, c'est ici l'apport de l'Analyse.

Je répète avec les autres qu'il ne faut pas s'étonner si un théorème concernant spécifiquement $\mathbb C$ nécessite un passage par l'Analyse, réelle ou complexe. Pour les quelques démonstrations que je connais, les plus simples sont peut-être celles qui comportent le plus d'Analyse. 

Je ne suis pas spécialiste de l'Algèbre, mais j'ai l'impression que l'appellation « Théorème fondamental de l'Algèbre » appartient à l'histoire et ne se justifie plus aujourd'hui. Qu'en pensez-vous ?

AlainLyon

Quand j'ai fait pour la première fois de la théorie des graphes j'ai trouvé cette discipline beaucoup plus ludique que l'algèbre, beaucoup d'élèves ingénieurs de ma promo pensaient que ce n'étaient pas des maths, j'étais d'avis contraire et la disci- pline des mathématiques du fini m'apparaissait aussi importante que  la physique quantique. La combinatoire a trop souvent été mal vue des analystes et algébristes, à mon sens il faudrait l'enseigner dès les petites classes au lieu d'ennuyer les élèves avec les pensums d'aujourd'hui!

Foys

parisse a dit :

Je ne suis pas d'accord avec lourran, la recherche de primitives est purement algorithmique (algorithme de Risch + diverses heuristiques).

Lorsque que des valeurs absolues sont employées, il s'agit d'un problème indécidable. Pour le cas sans valeur absolue le problème de savoir si une fonction possède une primitve explicite est encore un problème ouvert.

cf https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson's_theorem

NB: le présent message parle de fonctions définies en termes de fonctions usuelles: 4 opérations, sin, log, exp etc.

gai requin

Je crois que la théorie de Galois différentielle résout ce problème de primitives calculables avec les fonctions élémentaires 🤔

Chaurien

Remarque. Une démonstration du théorème de D'Alembert-Gauss avec intervention minimale de l'Analyse est celle qui fait intervenir seulement en Analyse le fait qu'un polynôme à coefficients réels de degré impair a toujours une racine réelle. C'est le cas de la démonstration de Walecki citée plus haut. On trouve aussi une telle démonstration dans : Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann, Collection Méthodes, 1967, p. 53. Samuel indique que cette méthode est essentiellement due à Lagrange. Il y a quatre lemmes d'algèbre, dont un sur les extensions de corps, puis une page de démonstration.

biguine_equation

Chaurien : je me suis en effet trompé de référence. L’article dont je parle est bien publié dans le journal de mathématiques spéciales (1883) mais son auteur n’est pas Walecki.
Voici les bonnes références.

L’auteur de l’article décrit la méthode comme tu l’as expliqué:



La démonstration repose sur le déterminant de Sylvester de deux polynômes qui est nul si ces polynômes ont une racine commune. Quand on parcourt les articles de 1883, on voit que l’usage des déterminants commence à se répandre y compris en géométrie. Par exemple, le géomètre Emile Lemoine l’utilise pour exprimer qu’une droite est tangente à une conique. La géométrie des « anciens » ressemble parfois beaucoup à la nouvelle. 

hx1_210

@Chaurien : les taupineries visent à sélectionner et à classer car ce sont des exercices préparant à des Concours. Ce n'est pas là un jugement politique ou moral. 

(Le concours est infiniment plus progressiste comme outil de sélection que la naissance et il est identifié dès son avénement à la République. Il est donc bien plus républicain qu'orléaniste et donc historiquement  bien plus de gauche que de droite pour ceux que l'hémiplégie  passionnent. Mais ce n'était pas là l'objet de mon propos, d'autant que je récuse les visions métaphysiques, y compris en politique.)

Je prétends que les mathématiques de taupe ne sont ni toutes les mathématiques ni les plus belles mathématiques. Bien sûr les anciens taupins par nostalgie ont à leur égard une tendresse compréhensible. Cela n'en fait toute fois pas l'alpha et l'oméga de toutes mathématiques.

Je ne reviens pas sur  la pique de @lourran a propos des mathématiques qui n'ont pas le goût de le passionner et de ceux qui les pratiquent.

Le monde est infiniment riche et complexe, les mathématiques le sont donc aussi et comme toi je ne vois pas pourquoi il faudrait choisir donc renoncer

Soc

AlainLyon a dit :

 La combinatoire a trop souvent été mal vue des analystes et algébristes, à mon sens il faudrait l'enseigner dès les petites classes au lieu d'ennuyer les élèves avec les pensums d'aujourd'hui!

Pour le coup, j'aime aussi beaucoup les dénombrements et ce sont effectivement des problèmes intéressants que l'on peut présenter tôt dans la scolarité car ils ne nécessitent aucun prérequis particulier. C'est un bon moyen de poser des questions un peu élaborées à des élèves très faibles, sur lesquelles ils sont généralement d'accord pour réfléchir.

Les meilleurs peuvent aussi acquérir des réflexes de comptage qui leur serviront sur le très long terme.

parisse

@Foys : ce résultat d'indécidabilité n'est pas spécifique au calcul de primitive. En pratique, il n'a pas d'impact ce qui permet d'avoir des logiciels de calcul formel...

Calembour

Cyrano a dit :

En début de parcours universitaire, les théories algébriques ont l'avantage d'être immédiatement parfaitement définies via des structures axiomatiques (groupes, espaces vectoriels). On est alors amené à "jouer" avec un petit nombre d'axiomes pour démontrer des propriétés. C'est facile, ludique et clair. 

Cela a deux avantages en comparaison avec l'autre grande discipline qu'est l'analyse : 

1) Les structures algébriques utilisent des axiomes formulés au premier ordre alors qu'avec l'analyse on va directement dans le second ordre. 
2) L'analyse repose sur des bases non définies car très peu de professeurs construisent réellement $\R$ avec leurs étudiants. De plus les définitions d'analyse ont une complexité syntaxique qui devient rapidement élevée (e.g. les limites).

Ceci je pense contribue à percevoir l'algèbre comme étant simple et élégante.

Un point important je pense qui fait la différence chez les étudiants c'est qu'en règle générale, l'analyse nécessite beaucoup plus d'intuition. Par exemple, il faut parfois choisir "la bonne fonction" (par exemple dans la preuve du théorème de Darboux). 
Il faut aussi souvent trouver une majoration adéquate (par exemple pour appliquer le théorème de convergence dominée) ou "sentir le comportement de tel ou tel objet". Les hypothèses sont également souvent beaucoup plus fines. Par exemple avec des fonctions C-infinies qui ne coïncident pas avec leurs développement de taylor ou encore la distinction entre être deux fois dérivables et admettre un développement limité à l'ordre 2 par exemple, on peut également penser à des choses comme l'uniforme continuité.

En algèbre, on peut quand même automatiser un certain nombres de choses. Par exemple via l'algorithme d'Euclide ou le Pivot de Gauss. De plus, là où en analyse faire un calcul est souvent assez couteux (notamment sans calculatrice). En algèbre c'est quand même plus simple, notamment dans Z/nZ, ou dans les corps finis. J'ai l'impression qu'en cas de problèmes, l'étudiant peut plus facilement se ramener à une méthode systématique qu'en analyse.

Ceci fait peut être la différence au niveau de l'appréciation des étudiants. 

biguine_equation

L’algèbre est tout aussi intéressante quand on la voit par le prisme du dénombrement ou des probabilités. 

Ça jette une lumière crue sur des lois ou des propriétés qu’on ne remarque pas forcément aussi bien dans un cours classique (d’algèbre linéaire ou de théorie des groupes par exemple).

$\mathbf[1]$ On a deux entiers $n$ et $k$. Je considère une matrice $n \times n$ à coefficients entiers dans l’intervalle (discret) de $-k$ à $+k$. Quelle est la probabilité, lorsque $k \longrightarrow \infty$, que cette matrice vérifie une certaine propriété $P$ comme « être diagonalisable sur les rationnels » ou bien « être diagonalisable sur $\mathbb{C}$ ».

$\mathbf[2]$ Probabilité qu’une matrice $n \times n$  à coefficients dans un corps fini $K$ à $q=p^n$ éléments soit nilpotente. C’est un résultat connu (cf. Fine, Herstein) qui se généralise au cas d’un anneau commutatif (fini) $A$.

$\mathbf[3]$ On sait qu’il existe une infinité de matrices réelles dont les valeurs propres n’appartiennent pas à $\mathbb{R}$.
C’est le cas de la matrice 
\begin{equation}
M=
\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}

dont les valeurs propres sont $\{i,-i\}$ (les racines de $\lambda^2+1$).
Mais dans le cas où $K$ est un corps fini, un dénombrement est possible.
Problème: compter les matrices $n \times n$ à coefficients dans un corps fini $K$ (comme $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$) et dont les valeurs propres appartiennent à ce corps.

$\mathbf[4]$ J’ai un groupe fini $G$ contenant $n$ générateurs. Je prends $n$ éléments au hasard dans ce groupe. Probabilité que les $n$ éléments choisis engendrent tout le groupe.

$\mathbf[5]$ Je prends de manière aléatoire et indépendante, deux matrices $A, B$ dans l’algèbre des matrices $n \times n$ sur l’anneau des entiers modulo $k$.
Probabilité que $AB=I$.

etc…

Chaurien

Le dit Théorème Fondamental de l'Algèbre se démontre avec intervention obligatoire de l'Analyse. Mais l'Algèbre prend sa revanche car pour construire le corps $\mathbb R$ des nombres réels il y a une méthode qui fait marcher les structures algébriques. Je la rappelle, pardon à ceux qui connaissent tout cela par cœur. 

On désigne par $\mathcal C$ l’ensemble des suites de Cauchy rationnelles, attention, définies avec un $\varepsilon $ rationnel. Muni de l'addition et de la multiplication terme à terme, c'est un anneau commutatif unitaire. L'ensemble $\mathcal Z$ des suites rationnelles de limite nulle (attention, toujours définies avec $\varepsilon $ rationnel) est un idéal de l'anneau $\mathcal C$. Il y a donc un anneau-quotient $\mathcal R=\mathcal C / \mathcal Z$. En creusant un peu il apparaît que cet anneau-quotient est un corps, le corps des réels.

Parmi les constructions de $\mathbb R$, c'est celle que je préfère car elle montre bien la puissance de ce qu'on appelait naguère l'Algèbre moderne. J'ai lu qu'elle est due à Cantor, Méray et Heine, années 1870, mais je n'ai pas encore vérifié. Bien sûr, elle n'est pas présentable dans notre enseignement avant Bac+3, mais peu importe. Mon idée, c'est qu'aucune construction d'ensemble de nombre n'est utile dans notre enseignement avant Bac+3, sauf peut-être $\mathbb C$, et plutôt en exercice.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Médiat_Suprème

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor, un mathématicien allemand (1831 - 1916), publie en 1872 un article dans lequel il reprend les travaux de Heine de façon plus synthétique. La méthode par les suites de Cauchy est parfois appelée méthode de Cantor.

samok

J'ai remarqué que cela parle souvent d'Abel et de Galois mais rarement de Sturm en algèbre.

Mais c'est peut-être dû à la règle de l'Hospital.

Congru

@Médiat_Suprème y a-t-il des axiomatisations de $\mathbb R$ au premier ordre ? (Avec une théories universelles quitte à rajouter des symboles de fonction au langage)

Médiat_Suprème

Dans la mesure où on peut construire un modèle vérifiant toutes les formules du premier ordre du corps ordonné $\mathbb R$, mais qui n'est pas archimédien, c'est mal barré.

Congru

Merci @Médiat_Suprème

Foys

@Chaurien pour construire $\R$ (montrer qu'il existe), il faut bien passer par des étapes qui n'en parlent pas (sous peine de circularité...)
Parmi les constructions possibles il y en a une assez méconnue qui est la suivante:
Soit $E$ l'ensemble de toutes les fonctions $f$ de $\Z$ dans lui-même telles que $\{f(p+q) - f(p) - f(q) \mid p,q \in \Z\}$ est borné. Alors $E$ est un sous-groupe additif de $\Z^{\Z}$, l'ensemble $I$ des fonctions bornées de $\Z$ dans $\Z$ est lui-même un sous-groupe de $E$ et on peut poser $\R:= E/I$. Noter que $E$ est stable par composition; on peut établir assez facilement, successiivement, que pour tous $f,f',g,g'\in E$:

(i) si $f\in I$ alors $g \circ f$ et $f \circ g$ sont aussi dans $I$

(ii) si $f - f'\in I$ alors $g \circ f - g \circ f'$ et $f \circ g - f' \circ g $ sont dans $I$

(iii) si $f - f'\in I$ et $g - g'\in I$ alors plus généralement $g \circ f - g' \circ f' \in I$
(iv) dans le ca général $f \circ (g+g') - f \circ g - f \circ g'$ et $(g' + g) \circ f - g \circ f - g' \circ f$ sont dans $I$.

Ainsi $\circ$ passe au quotient et donne une application bilinéaire; comme elle est de plus associative et possède l'identité comme neutre à gauche et à droite, $\R$ est muni d'une structure d'anneau.

Les autres propriétés de ces objets sont proposées en exercices (pas forcément simples) aux lecteurs (la commutativité de $\circ$ notamment).

Médiat_Suprème

Cette méthode, dite des quasi-endomorphismes, tire ses bases chez Eudoxe de Cnide et R.D. Arthan leur a consacré plusieurs papiers.
Plus de détails dans le fichier que j'ai posté plus haut.

marco

@Foys : merci pour la définition de $\R$ par les quasi-endomorphismes, je ne connaissais pas. Est-ce qu'elle admet des généralisations intéressantes (à d'autres groupes que $\Z$) ?

Chaurien

Je ne trouve pas de référence à R.D. Arthan. Merci de préciser.

Héhéhé

Elles sont dans le pdf plus haut.

Médiat_Suprème

Et les 2 liens sont encore vivants.

gimax

Bonjour @Médiat_Suprème : peux-tu nous dire d'où es extrait le pdf que tu as mis en ligne (vu qu'il s'agit d'une section II.8) ? En tous les cas merci pour le texte, il est très instructif, je ne connaissais pas toutes ces méthodes de construction !

Médiat_Suprème

Bonjour @gimax,
Voilà le document complet en 3 messages..

Médiat_Suprème

Suite

Médiat_Suprème

Fin

Congru

Médiat_Suprème a dit :

Bonjour @gimax,
Voilà le document complet en 3 messages..

Pas mal cette collaboration. C'est toi qui a fait la partie sur les ordinaux ? Et le livre a-t-il été publié ?

Médiat_Suprème

Pour les ordinaux, un premier draft a été écrit par un autre auteur et je l'ai repris (il y a beaucoup d'erreurs ?), Non, il n'a pas été publié (j'ai écrit 85 à 90% du texte, mais je ne sais pas comment joindre les autres auteurs pour avoir leur permission).

Congru

@Médiat_Suprème le livre est impressionnant, j'espère que tu vas réussir à contacter les autres auteurs car ce serait dommage qu'un tel livre ne soit pas publié.

Chaurien

Pour ceux qui comme moi s'étonnent de l'importation de termes anglais qui ont leur équivalent en français :

https://www.larousse.fr/dictionnaires/anglais-francais/draft/576824

Médiat_Suprème

En étant un chouïa open minded, cela ne bother plus

gimax

Merci @Mediat_Suprème. Cet ouvrage a l'air très beau ; j'espère aussi que tu réussiras à le faire publier !

Congru

As-t-on besoin d'analyse pour faire de l'algèbre ? Ce qui es sûr c'est qu'on a besoin d'algèbre pour faire de l'analyse.

math2

En fait dans ma pratique de l'analyse je n'ai pas tant l'impression de faire de l'algèbre. 

J'utilise les opérations de base de $\R$ ou $\C$ ...  Si être dans $\R$ c'est faire de l'analyse, je ne fais quasiment jamais d'algèbre.

Lorsque je résolvais des équations de récurrence ou différentielles linéaires, je faisais du sous-espace affine sans le savoir et je ne me portais pas plus mal. Certes c'est très intéressant de mettre en lumières les points communs aux différentes équations et de constater la structure des lignes de niveau des applications linéaires, mais dans l'absolu on fait des maths très bien sans ...

Et sans être un expert de ces domaines, j'ai cru comprendre que probabilités et analyse ont pris une place majeure dans l'étude des nombres premiers. 

gimax

D'accord avec @math2 : à moins de considérer que faire des additions et des produits c'est faire de l'algèbre, on peut très bien faire de l'analyse sans faire d'algèbre. Évidemment, je n'inclus pas l'algèbre linéaire dans l'algèbre si les corps de base considérés sont $\R$ ou $\C$ tant la topologie (evn, Banach...) est présente dans l'étude des $\R$-ou-$\C$ espaces vectoriels.

gimax

Quant à la question de faire de l'algèbre sans analyse, j'imagine que oui... encore que la frontière peut devenir rapidement poreuse. On a pris l'habitude de classer les mathématiques en grandes branches : analyse, algèbre, algèbre linéaire, topologie, géométrie, probabilités et etc... Mon sentiment est qu'en pratique, quand on travaille sur une question mathématique, on est souvent amené à faire des incursions dans plusieurs de ces branches. @math2 en a donné un bel exemple avec l'arithmétique avec laquelle on peut tomber sur des probas ou de l'analyse complexe. À titre personnel, c'est sans doute là que je suis le plus sensible à la beauté mathématiques : quand on va faire appel à des techniques qui à première vue semblent sans rapport avec la question initiale comme les probas ou l'analyse complexe en arithmétique ou comme l'algèbre en topologie.

biguine_equation

Dans un fil voisin, il y a un problème tiré d’une gazette roumaine. 
Si un groupe fini $G$ a un automorphisme d’ordre supérieur à $\vert G \vert /2$, alors $G$ est abélien.
Un énoncé simple avec des notions de L3 et une démonstration très difficile et technique de 25 pages !
C’est un des charmes naturels de l’algèbre.

Foys

L'étude des espaces de Hilbert (de dimension infinie) est-elle de l'analyse? De l'algèbre?
Clairement les deux à la fois à mon avis.

Congru

Intéressant cet anecdote @math2, mais @math2 et @Gmax si on arrive à démontrer un théorème d'algèbre à l'aide de l'analyse et à l'aide d'autres méthodes, ce qui reste c'est que c'est un théorème de la théorie sur laquelle on travaille, donc il existe une preuve du langage et sous la théorie dans laquelle on travaille, on n'a juste pas réussi à en trouver une, peut-être à cause du niveau de difficulté auquel on est confronté, ou parce que les mathématiques de notre époque ne sont pas encore assez avancées sur le domaine étudié.

@Foys, pour moi tout dépend de l'aspect qu'on étudie sur les espaces de Hilbert. Mais puiqu'il y a du $\mathbb R$ je dirais qu'on est déjà entrain de faire de l'analyse. Et le "théorème fondamental de l'algèbre" est pour moi un théorème d'analyse.

math2

Comme déjà dit, les choses sont tellement imbriquées et passionnantes que vouloir absolument cloisonner, voire donner un titre de "reine" à l'une des branches, est pour moi un non-sens.

Mon anecdote rejoint la note humoristique de Caldero dans sa vidéo sur le conditionnement de matrice. Les algébristes raisonnent en exact, ignorent souvent le conditionnement d'une matrice (c'est au passage curieux qu'il faille suivre un cours d'ana num pour en entendre parler), mais ne se voient résoudre à la main des systèmes linéaires à quelques milliers d'inconnues, donc le font faire par une machine, qui leur dit que certaines variances sont strictement négatives (!) et ils étalent leur étonnement car, je cite "le déterminant est loin de zéro". Mais trève de plaisanterie sur fond d'une anecdote véridique, sur cet exemple on voit encore que la mise en pratique d'une question purement algébrique fait intervenir des questions (a priori) jamais vues en cours d'algèbre.