Mines-Ponts PC 2024 : Q1

LoanSupOp
Modifié (13 May) dans Analyse
Bonjour,

Petite interrogation sur la première question du sujet de maths de l'épreuve CCMP Maths PC. Le sujet est ici :

Math1PC2024.pdf (cpge-paradise.com

Je propose cette rédaction, qui ne fonctionne pas car $k$ dépend de $x$. Avez-vous quelque chose à proposer ?

Si $\vert x \vert \leq 1$, $\vert f(x) \vert \leq \sum_{i=0}^da_i \vert x \vert ^i \leq \sum_{i=0}^da_i = C(1+\vert x \vert ^k)$ avec $C = \sum_{i=0}^da_i/2$ et $k=0$.

Sinon, $\vert f(x) \vert \leq \vert x \vert ^d \sum_{i=0}^da_i \vert x \vert ^{i-d} \leq  \vert x \vert ^d \sum_{i=0}^da_i \leq  (\vert x \vert ^d + 1) \sum_{i=0}^da_i = C(1+\vert x \vert ^k)$ avec $C = \sum_{i=0}^da_i$ et $k=d$.

Merci pour vos commentaires

Réponses

  • Tu remarqueras qu'en prenant $C = \sum\limits_{i = 0}^d a_i$ dans ton premier cas, tu as bien la majoration pour $k = d$.
  • Evidemment ... merci !
  • Une autre méthode est ce qui suit : si l'on a un polynôme majorant $P$ de degré $d$, remarquer que $x\in\R\mapsto\displaystyle\frac{P(x)}{1+|x|^{d+1}}$ est majorée parce qu'elle est continue et de limite nulle en $\pm\infty$ ; ainsi, $k=d+1$ convient, la valeur de $C$ n'ayant pas d'importance ici. Je pense que cet argument classique est suffisant en Spé ; sinon, cela se démontre classiquement.

    Nota bene : donner les mêmes noms à $C$ et à $k$ dans ta disjonction de cas n'était pas une bonne idée ; tu aurais mieux fait de les appeler $C_1,C_2,k_1,k_2$.
  • Bonjour
    Et pour le sujet mines-ponts mp vous penser quoi?
  • Bien plus intéressant que le sujet PC-PSI. C'est aussi du gros calcul avec des intégrales impropres mais on n'a pas besoin d'admettre des résultats toutes les 5 minutes ou faire des hypothèses de 5 lignes.

  • $ \sum_{i=0}^da_i \vert x \vert ^i\leq (1+|x|^d) \sum_{i=0}^da_i \frac{\vert x \vert ^i}{1+|x|^d}\leq (1+|x|^d) \sum_{i=0}^d |a_i| $ vrai ou faux :mrgreen:
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • SchumiSutil
    Modifié (13 May)
    A noter que cette preuve - par interpolation le long du semi-groupe d'Ornstein-Uhlenbeck - est principalement due à mon directeur de thèse Michel Ledoux (bien qu'il ne le dise pas, c'est lui qui a contribué à populariser cette preuve), après les travaux fondateurs de Bakry et Emery sur les semi-groupes de diffusions.

    Une variante, plus simple, consiste à démontrer l'inégalité de Poincaré 
    $$\int_{\R} f^2 d\gamma - \left(\int_{\R} f d\gamma\right)^2 \leqslant  \int_{\R} (f')^2 d\gamma,$$
    où $\gamma$ est la densité de la loi normale centrée réduite et en considérant la fonction $h$ $t \mapsto \int_{\R} (P_t f)^2 d\gamma$ avec $$P_t f ~:~ x \mapsto \int_{\R} f(e^{-t} x + \sqrt{1-e^{-2t}} y) d\gamma(y).$$
    (le membre de gauche étant alors $h(0) - \lim\limits_{t \to + \infty} h(t) = \int_0^{+\infty} h'(s) ds$, $h'$ se traitant alors plus facilement).   





  • gebrane
    Modifié (13 May)
     SchumiSutil, Une   blague?
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


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