Paradoxes.

Jean-Louis

Bonjour toutes et tous ,

j'ai toujours été fasciné par les paradoxes de  Zénon, en particulier celui qui "démontre" qu'Achille ne rattrapera jamais la tortue. Il y a bien sûr la "démonstration" mathématique que l'on assène avec un petit air de supériorité...mais j'ai toujours pensé qu'on n'avait pas résolu  le paradoxe en ce sens que l'on n' a pas trouvé vraiment où l'erreur se situe dans le raisonnement. Qu'en pensez-vous? Merci d'avance pour ceux qui prendront la peine de me répondre.

Et quid du paradoxe de l'interro surprise (le nombre de lignes écrites sur ce paradoxe est phénoménal mais je ne sais pas s'il se dégage vraiment un consensus sur la "vraie" résolution.)

Cordialement.

Jean-Louis.

JLapin

Il n'y a rien de paradoxal. Simplement, ceux qui essayent de faire croire à une incohérence oublient volontairement et malicieusement de finir la phrase.

En fait, Achille ne rattrape effectivement jamais la tortue avant un certain temps T.

De même, si je cours un 100m contre Usain Blot avec un peu d'avance, je serai devant lui pendant un certain temps...

Pour l'interro surprise, je défie quiconque de parier 1000 euros au début de la semaine sur le jour d'apparition de celle-ci puisque apparemment, ce ne serait pas une surprise...

gerard0

Zenon lui-même savait qu'il n'y a aucun paradoxe. Il se moquait simplement des baratineurs de son époque.

Ces deux sujets ont été souvent traités sur le forum, inutile de reprendre un marronnier.

zeitnot

Un marronnier, en effet. 

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/764935/paradoxe-de-zenon

Jean-Louis

Je suis désolé mais dans le lien en question, je ne crois pas que l'on ait répondu "philosophiquement" parlant au paradoxe.

Et quant à l'interro surprise, il y a un raisonnement. Il cloche certainement quelque part mais où?

Désolé si je suis à côté de la plaque. Mettez cela sur le compte de mon grand âge.

Amicalement.

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

Si vous voulez considérer le "paradoxe" de Zénon d'un point de vue philosophique, c'est votre droit, mais ce n'est pas une question pour mathématiciens, et, entre nous, d'un point de vue philosophique, il y a des questions bien plus troublantes que la majorité des ados se sont posée au moins une fois : " Qu'est-ce qu'il y aurait s'il n'y avait rien ?" ou "le solipsisme est-il la seule conception du monde cohérente ?". Si vous voulez le considérer sous un angle scientifique, c'est très simple : il n'y a pas de paradoxe, juste un jeu sans conséquences..

lourrran

Quelle est la formulation PRECISE du paradoxe d'Achille. A partir du moment où on a une formulation précise, on peut détricoter mot à mot, et mettre en évidence une 'arnaque'. Parler du paradoxe de x ou y, sans s'appuyer sur quoi que ce soit, c'est parler dans le vide.
C'était peut-être l'objectif.

Jean-Louis

Vu la tournure que cette discussion prend, je préfèrerais que les administrateurs la ferment.

Merci.

Jean-Louis.

JLapin

Je suis désolé mais dans le lien en question, je ne crois pas que l'on ait répondu "philosophiquement" parlant au paradoxe.

Tu n'as rien dit sur ma réponse.

Quant au raisonnement sur l'interro, il n'existe pas vraiment car la notion d'effet de surprise n'est pas une notion mathématique. L'énoncé mathématique du paradoxe n'existe pas, donc il n'y a pas d'erreur de raisonnement à trouver dans la "solution".

Cyrano

Le paradoxe de Zénon a au moins eu le mérite de faire émerger la notion de potentialité chez Aristote, notion reprise après par le mathématicien dans sa conception "d'infini potentiel" qui se traduit formellement par la convergence.

Jean-Louis

En fait je me demande simplement si , en oubliant nos connaissances mathématiques, on peut montrer à Zénon où se situe son erreur de raisonnement.

J Lapin , j'avoue que je comprend pas bien ton argument sur le fait qu'on oublie malicieusement de donner une durée. 

Bonne soirée.

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

Ce "paradoxe" repose sur un découpage artificiel et surtout intellectuel du temps en une infinité d'étapes, puis à conclure que c'est impossible d'arriver au bout puisque l'infini n'a pas de fin (ce qui est d'ailleurs discutable, mais c'est un autre débat), vous pouvez mettre tous les événements évoluant, dans la même galère : il est impossible de manger un gâteau (manger = passer la ligne de vos lèvres), car il faut d'abord en manger la moitié, mais pour cela il faut avoir mangé la moitié de la moitié etc ; donc en fait vous n'avez même pas pu gouter le gâteau (j'ai un peu changé le "jeu" pour en montrer de façon patente son artificialité).

Cyrano

Le paradoxe de Zénon atteint toute sa force dans la formulation donnée par son élève Parménide. On peut le formuler comme suit : 

Supposons qu'un marcheur doive aller d'un point $A$ à un point $B$. Pour ce faire, il doit passer par le point situé à la moitié du chemin, mais aussi par le point à un quart du chemin, mais aussi par le point à un huitième du chemin, etc. Donc il doit passer par une infinité d'étapes ce qui montre qu'il ne peut jamais accomplir un telle action (on présuppose qu'un homme ne peut pas accomplir en un temps fini un nombre infini d'actions.) En réalité, c'est même pire que ça car il ne peut même pas commencer son chemin. En effet, à peine aurait-il déplacé son pied d'un iota, que ce micro-déplacement pourrait lui aussi être découpé en une infinité de sous-étapes. Autrement dit, aucun homme ne peut ne serait-ce que commencer à se déplacer. Conclusion : la notion de mouvement est erronée. Le mouvement, à proprement parler, n'existe pas.

Cette position n'est pas du tout celle d'un sophiste. L'idée que les mouvements sont des illusions et ne renvoient à rien de réel est connue sous le nom de monisme statique. 

Elle a eu son succès durant l'antiquité jusqu'à ce qu'Aristote propose un modèle explicatif de la réalité permettant de se dégager d'un tel paradoxe. Aristote explique que l'erreur de Parménide est de considérer que tous les points intermédiaires (celui à la moitié, au quart, etc.) sont actuellement présents. Or une chose peut exister sans être actuellement présente, elle peut juste être potentiellement présente. Pour Aristote, la notion de mouvement (et de changement en général) correspond à l'actualisation d'un potentiel. Ainsi si je mets un poteau au point $A$ et un autre poteau au point $B$ j'actualise la distance $|AB|$ qui est bien finie. Je ne rends pas actuelles l'infinité de distances intermédiaires possibles. Celles-ci restent potentielles et ne correspondent donc pas à une infinité de tâches à accomplir. 

De manière encore plus générale, il faut voir chez Aristote que "le tout" précède logiquement "la partie" ce qui est un peu contraire à la façon dont un mathématicien contemporain procéderait. Pour un théoricien des ensembles, le segment $AB$ est simplement l'ensemble des points qui le constituent. Mais rien ne dit que cette théorisation corresponde à ce qu'il se passe dans la vraie vie.

SMI

@Jean-Louis C'est un sujet qui m'intéresse ces temps-ci. Je n’ai pas complètement développé mon idée, mais j’ai l’impression que ce que montre le paradoxe de Zenon, c’est que la notion d’infini potentiel ne permet pas de décrire le monde réel de manière satisfaisante.
Il faut soit être capable de considérer comme un tout l’infinité des segments du parcours considéré, puisque la flèche arrive finalement sur la cible, ou Achille à dépasser la tortue. Soit il faut adopter un point de vue ultrafinitiste et s’interdire de découper "à l’infini" le trajet à parcourir...
Admettre l’infini actuel résout immédiatement le "paradoxe". Et refuser radicalement l’infini vide son énoncé de signification. 
Le "paradoxe" serait en fait un dilemme : choisir entre Cantor et Esenin-Volpin !

La question subsidiaire consiste à déterminer si ce que je viens d'écrire a un fond de sérieux, ou devrait se plutôt se trouver dans le fil "blagues mathématiques"...

Amicalement
s.

lourrran

La distance qui sépare le point de départ et le point d'arrivée peut être divisée en une infinité de segments.
Le temps qui sépare le point de départ (quand j'ai commencé à taper ce message) et le point d'arrivée (quand je clique sur le bouton publier) peut être divisé en une infinité de segments.  
Une somme infinie de durées toutes très petites, ça va nous prendre combien de temps. Recevrez vous ce message cette année, dans un siècle, dans une éternité ?

Zenon envisage de découper une distance en une infinité de segments, mais il refuse de découper un intervalle de temps en une infinité de segments. Belle erreur arnaque, on en parle encore 2 millénaires plus tard (2 millénaires ... disons même une éternité, parce qu'on peut diviser cette durée en une infinité de segments)

JLapin

J Lapin , j'avoue que je comprend pas bien ton argument sur le fait qu'on oublie malicieusement de donner une durée. 

Tu comprends bien qu'avant un certain temps T, Achille n'a pas rattrapé la tortue et après T, Achille l'a doublée.

L'astuce pour créer le paradoxe et berner l'auditeur c'est de laisser croire que ce temps T est infini alors qu'il est évidemment fini.

C'est plus clair ?

Jean-Louis

JLapin, mais dans le raisonnement de Zénon, je vois pas comment faire apparaître ce temps T...

Sinon, il me semble que l'on peut diviser un segment en un nombre infini de morceaux, mais en maths seulement. Dans la vraie vie, il y a des limitations liées à la structure de l'espace temps.

Mais bon , merci pour vos efforts pour me faire comprendre, mais j'avoue que depuis mon jeune âge, je suis fasciné par ce paradoxe.

Accessoirement, il y a quelque chose qui m' a valu beaucoup de réflexion pour le comprendre, c'est que les entiers standard de N forment un ensemble fini. Ce qui découle de : dans tout ensemble infini il y a au moins un élément non standard. Ça n'a rien avoir et je m'en excuse.

Bonne fin d'après-midi.

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

@Jean-Louis  "les entiers standard de N forment un ensemble fini. Ce qui découle de : dans tout ensemble infini il y a au moins un élément non standard"

Dans quelle théorie ? Parce que dans les théories usuelles, c'est faux.

lourrran

C'est quoi un entier standard ?
Donne une définition précise.
J'ai fait une rapide recherche, je trouve un truc où on parle d'entier standard, un truc en relation avec l'informatique, un truc tout à fait valide, dans le contexte de l'informatique. Mais normalement, pas du tout valide dans le contexte de ta question.

gerard0

Jean-Louis : "dans le raisonnement de Zénon, je vois pas comment faire apparaître ce temps T". Justement, c'est ça la frouille !!

Jean-Louis

Standard n'est pas défini comme la relation d'appartenance. Là on est dans ZFC + IST (de Nelson)

Jean-Louis.

Médiat_Suprème

ZFC + IST n'est pas une théorie "par défaut", mais dans ce cas, rien ne prouve que les entiers standards forment un ensemble.

JLapin

JLapin, mais dans le raisonnement de Zénon, je vois pas comment faire apparaître ce temps T...

Il suffit de prolonger le raisonnement en faisant intervenir la relation fondamentale $v=\dfrac{d}{t}$.

Jean-Louis

Oui JLapin mais tu raisonnes en matheux.

gerard0

Sois sérieux, tu ne peux pas demander sur un forum de maths de traiter le texte de Zenon sans les maths. Si tu veux raisonner comme au temps de Zenon, étudie le texte en grec ancien ainsi que les maths de l'époque. Et va sur un forum d'histoire. 

JLapin

Oui JLapin mais tu raisonnes en matheux.

Non, la formule $v = d/t$ est connu par tous, dès le plus jeune âge. Pas besoin de faire des études de mathématiques.