Hyperbole de Jeřábek et cercle circonscrit

(Question déjà posée ??)
Bonjour à tous,
l'hyperbole de Jeřábek d'un triangle $(ABC)$ inscrit dans un cercle $(\Gamma)$ recoupe ce cercle en un point $M$ ; en quel point l'hyperbole de Jeřábek du triangle $(ABM)$ recoupe-t-elle $(\Gamma)$ ?

Réponses

  • cailloux
    Modifié (12 May)
    Bonjour,
    Ça ne mange pas de pain : ETC répond 74.
    Tu voulais sans doute écrire :
    En quel point l'hyperbole de Jeřábek du triangle $(ABC)$ recoupe-t-elle $(\Gamma)$ ?



  • Bonjour, cailloux,
    je dis bel et bien $(ABM)$ ! Il s'agit d'une seonde hyperbole équilatère.
  • Bonjour john_john,
    Bon, je ne comprends plus; je n'aurais pas du me mêler de cette affaire où je ne vois qu'une hyperbole.
    J'attends la suite avec intérêt ...
  • john_john
    Modifié (12 May)
    Je ne voulais pas en dire trop ; disons alors plutôt qu'il s'agit a priori d'une seconde hyperbole. Au lieu du triangle $(ABC)$, on la refait avec le triangle $(ABM)$.
  • cailloux : je comprends ton embarras ; en effet, pour toi, l'hyperbole est celle qui passe par les points $A,B,C,M$ et $O$ et le fait de remplacer $C$ par $M$ donne forcément la même (j'avais, moi pris comme définition l'inverse isogonal de la droite d'Euler). En réalité, je voulais introduire indirectement ce point $M$ pour proposer une autre propriété : si $M'$ est le symétrique diamétral de $M$, montrer que sa droite de Steiner est l'axe d'Euler $(OH)$ du triangle initial $(ABC)$.
  • Rescassol
    Modifié (12 May)
    Bonjour,

    C'esr immédiat avec Morley circonscrit.
    On a $M\left(x_{74}=-\dfrac{s_2}{s_1}\right)$ et donc $M'\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)$.
    La droite de Steiner d'un point $M(m)$ du cercle circonscrit a pour équetion $-mz+s_3\overline{z}+(s_1m-s_2)=0$.
    L'hyperbole de Jérabek a pour équation $s_1z^2-s_2s_3\overline{z}^2-(s_1^2-s_2)z-(s_1s_3-s_2^2)\overline{z}=0$ et son centre est $X_{125}\left(x_{125}=\dfrac{s_1^2-s_2}{2s_1}\right)$ 
    La droite d'Euler du triangle $ABC$ a pour équation $s_2z-s_1s_3\overline{z}=0$
    Il n'y a plus qu'à recoller les morceaux.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Exactement ! Je suis (re)tombé un peu par hasard sur cette hyperbole en cherchant des hyperboles équilatères ayant (avec Morley circonscrit) une équation dont les coefficients soient des polynômes symétriques en les affixes et qui soient liées euclidiennement au triangle $(ABC)$. Si l'on tranforme $s_1z^2-s_2s_3\overline{z}^2-(s_1^2-s_2)z-(s_1s_3-s_2^2)\overline{z}$ en le multipliant par $z^2$, on obtient un polynôme de degré $4$ en $z$ si l'on se restreint au cercle unité. Ce polynôme est alors $(z-z_a)(z-z_b)(z-z_c)(s_1z+s_2)$ et il possède les propriétés attendues. Quant à moi, j'avais fait le chemin exactement inverse.
  • john_john
    Modifié (13 May)
    On peut aussi parvenir à l'hyperbole de  Jeřábek d'une autre façon, mais il faudra que je réfléchisse afin de savoir pourquoi la construction qui suit fournit précisément cette HE circonscrite, ayant une équation en des polynômes symétriques et euclidiennement liée au triangle.
    Toute HE a une équation de la forme $F(z,\bar z):=Az^2+A'\bar z^2+Bz+B'\bar z+C=0$ mais, réciproquement, une équation de cette forme fournit une HE s'il existe un complexe $t$ (forcément de module $1$) tel que $\bar F=tF$. On pourra additionner plusieurs équations de cette forme et obtenir encore une HE si elles correspondent à un même scalaire $t$ (il n'y a pas la même contrainte avec des équations cartésiennes classiques).

    Je pars des équations des coniques dégénérées du faisceau $(ABCH)$ ; l'une d'entre elles, savoir $(AB)\cup(CH)$ a pour équation $\displaystyle z^2/(ab)-ab\bar{z}^2+\big(\frac{ab-c^2}{abc}-\frac{a+b}{ab}\big)z+\big(\frac{ab-c^2}{c}+a+b\big)\bar z-\frac{(a+b)(ab-c^2)}{abc}$, où $t=-1$, et les autres s'en déduisent par permutation circulaire, avec le même $t$. La somme des trois donne alors  $\displaystyle\frac1{s_3}\cal F$, où $\cal F$ désigne l'équation de Rescassol.

    Cela dit, j'aurais aussi bien pu prendre comme polynôme de départ $(z-z_a)(z-z_b)(z-z_c)(s_1z-s_2)$, qui répond aux mêmes critères ! Au reste, cette HE circonscrite, qui ne passe pas par $O$, a-t-elle un nom ?
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