Notations de Landau : $\mathrm{o}$ et $\mathrm{O}$

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Réponses

  • Bien vu, j'ai corrigé la coquille, j'avais écrit l'inégalité dans le mauvais sens dans ma comparaison série-intégrale.
    Ca ne change rien au résultat final, qui est très joli ! 

  • Mais c'est faux, tu démontres cette horreur $n(\sum_{i=n+1}^{\infty } \frac{1}{i^2} )$ tend vers 0
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • OShine
    Modifié (13 May)
    Je ne comprends pas le problème. J'ai bien divisé par $\ln (n)$ et multiplié par $n$ dans ma dernière inégalité.
    On montre que : $v_n = \dfrac{n}{\ln n} \times \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{i^2} \longrightarrow 0$.
  • OShine a dit :

    $\displaystyle\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2} dt \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \leq \displaystyle\int_{n}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2} dt$
    D'où : $\dfrac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{n^2}$

    explique moi ce D'où !
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Je ne risque pas d'utiliser des notions compliquées !
    Mais je trouve que cette page wikipédia que je donnais répond à à peu près toutes les lacunes que tu pouvais avoir. La notation $f(x)=\omicron(g(x)$, elle s'écrit aussi parfois $f(x)\in \omicron(g(x)$ ou encore $f(x) \prec g(x)$.
    Donc clairement, même si on utilise aujourd'hui un signe $=$ pour cette notion, on n'est pas du tout dans le registre de l'égalité.
    3 minutes de lecture ... qui sont plus efficaces que 50 pages d'un cours compliqué pour acquérir les bases fondamentales, ce qui te manque systématiquement.

    Maintenant, tu as 'résolu' l'exercice, en partant d'une indication : 'considérons une suite $(v_n)$ etc etc' D'où vient cette suite, pourquoi cette suite et pas une autre ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • bisam
    Modifié (13 May)
    Avec des connaissances du programme de Spé MP, on a en une ligne : \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\zeta(2)-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k(k-1)}+o(\frac{1}{k(k-1)})\right)=\zeta(2)-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})\] par sommation des petits $o$.
  • @gebrane
    J'ai fait une erreur grossière dans l'intégration du $1/t^2$.
    Je recommence.


  • bisam a dit :
    Avec des connaissances du programme de Spé MP, on a en une ligne : \[\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac{1}{k^2}=\zeta(2)-\sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{1}{k(k-1)}+o(\frac{1}{k(k-1)})\right)=\zeta(2)-\frac{1}{n}+o(\frac{1}{n})\] par sommation des petits $o$.
    Magnifique, merci beaucoup. Très astucieux.
    Je connais ces propriétés du cours de MP même si je n'ai pas encore revu ce chapitre, je les utilise souvent. 
    On a $\dfrac{1}{k(k-1)}= \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$ et ensuite on a des sommes télescopiques.
    Montrons que $\dfrac{1}{k^2}=\dfrac{1}{k(k-1)}+o \left( \dfrac{1}{k(k-1)} \right)$.

    On a : $k(k-1) \left( \dfrac{1}{k^2} - \dfrac{1}{k(k-1)}  \right) =\dfrac{k(k-1)}{k^2}-1 \longrightarrow 0$

  • OShine
    Modifié (13 May)
    @lourrran
    C'est une suite construite à partir du reste de la série. Il faut utiliser le reste pour faire apparaître le $\dfrac{\pi^2}{6}$.
    Je trouve ta méthode ingénieuse, c'est une belle idée. 
  • @gebrane
    On a plutôt : $\dfrac{n}{n+1} \dfrac{1}{\ln (n)} \leq v_n \leq \dfrac{1}{\ln (n)}$.
    On en déduit de même que $(v_n)$ converge vers $0$.

  • Il y a beaucoup d'aller-retours... une synthèse serait bien utile. La suite $v$ que je proposais, elle tend vers 0 ??

    Par exemple, à 14h09, tu écris : $v_n = \dfrac{n}{\ln n} \times \displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{i^2} \longrightarrow 0$
    Ah ?
    $\dfrac{n}{\ln n}$ , ça m'a l'air d'être une suite positive et croissante.
    La 2ème partie, $\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \dfrac{1}{i^2}$, idem, une suite positive et croissante.
    Je vois mal comment le produit de ces 2 suites pourrait tendre vers 0.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (13 May)
    C'est une coquille, j'ai démontré que $(v_n)$ tend vers $0$.
  • OShine
    Modifié (13 May)
    J'ai oublié de finir.
    Montrons que : $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2} -\zeta(2)= O( \dfrac{\ln n}{n})$.
    On a : $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2} -\zeta(2) = \dfrac{-1}{n}+o ( \dfrac{1}{n})$.
    Et : $\dfrac{n}{\ln (n)} \left( \displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2} -\zeta(2) \right)=\dfrac{-1}{\ln (n)}+o ( \dfrac{1}{ \ln (n) }) $
    Mais : $\dfrac{-1}{\ln (n)}+o ( \dfrac{1}{ \ln (n) })=\dfrac{-1}{\ln (n)}+\dfrac{1}{ \ln (n)} \varepsilon_n$ avec $\varepsilon_n \longrightarrow 0$ donc : $\dfrac{-1}{\ln (n)}+o ( \dfrac{1}{ \ln (n) }) \longrightarrow 0$ et finalement : $\dfrac{-1}{\ln (n)}+o ( \dfrac{1}{ \ln (n) })= O(1)$ d'où le résultat.

    Ce sujet est un entraînement intense sur les relations de comparaison de suite ! 
  • Lirone93
    Modifié (13 May)
    $\dfrac{-1}{\ln (n)}+o ( \dfrac{1}{ \ln (n) }) \longrightarrow 0$
    Donc c'est terminé.
    Je ne comprends pas ce que tu essaies de faire après.
    Comme d'habitude, te donner une réponse ne sert àpas a grand chose, par rapport à l'appropriation du problème que tu dois avoir avant de poser une réponse avec des formules que tu ne maîtrises pas apparemment.

    Peut-être, devrais-tu t'entrainer à reproduire sur papier, le cours sur les notations de Landau avec les formules etc. jusqu'à ce que tu y arrives sans avoir à jeter des coups d'oeil dans le cours.

    Si tu y arrives, tu pourras mieux répondre a ce genre d'exercices d'analyse.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Soit... c'est toi qui sais ce que tu as fait.
    Un point de 'méthode de travail' quand même.
    Quand un énoncé dit ' Prouver telle propriété'. Et que toi, tu fais des calculs, et tu montres une propriété beaucoup plus forte, il y a un truc suspect. Ce n'est pas forcément faux, mais c'est suspect.
    Quand j'étais lycéen ou étudiant, quand on me demandait de démontrer un truc et que je montrais un truc beaucoup plus fort, je relisais systématiquement mon travail, très méticuleusement. Et à chaque fois, je constatais que j'avais fait une erreur.
    Ici, on nous demande de démontrer que telle fonction est un $\mathcal{O}(g(n))$, et toi, tu as montré que cette fonction est un $\omicron(g(n))$ avec la même fonction $g$ que celle de l'énoncé. C'est bizarre. Pourquoi ce piège, cette imprécision ? Le type qui a pondu l'énoncé a-t-il bien relu son travail ?

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @lourrran
    C'est bisam qui a donné le résultat, c'est un $o( \dfrac{1}{n})$ alors que l'énoncé donne un $O(\dfrac{ \ln n}{n}$ mais l'énoncé comporte beaucoup d'autres calculs et il ne se résume pas à ce calcul.
    Il y a 3 calculs combinés.

    @Lirone93
    Oui je détaille trop. De tout façon, je vais bientôt revoir le cours sur les o et O en refaisant tous les exemples du cours sans regarder.
  • Je retravaille les o et O car je refais mon corrigé avec tous les passages que j'avais mal rédigés en écrivant des $O( f(x))=O(g(x)$ etc.
  • @Oshine : Ta façon de "voir" les $o$ et $O$ est encore trop superficielle. Tu es obligé d'écrire des lignes de calcul pour savoir si ce que tu dis est vrai ou non.

    Il faut que tu en arrives à un point où ce sont des évidences. Ta démonstration devrait plutôt ressembler à ceci : \[\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}-\zeta(2)=-\frac{1}{n}+o(\frac 1n) = \frac{\ln(n)}{n}\underbrace{\left(\frac{-1}{\ln(n)}+o(\frac{1}{\ln(n)})\right)}_{\rm{borné}}=O\left(\frac{\ln(n)}{n}\right)\] et tu devrais être capable de la faire de tête.
  • @bisam
    D'accord, merci.
  • Lirone93
    Modifié (15 May)
    Exercice technique sur le même thème :



    et à mon avis très sympa à résoudre (comme dans la vidéo), si on veut s'amuser avec tout ça.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Dom
    Dom
    Modifié (15 May)
    Bonjour, 
    je ne viens plus trop sur ce forum (j'ai répondu en privé à ce sujet)

    La toute première question de ce fil cache au moins une confusion, sinon une incompréhension totale des notations. Ce passage, de mon point de vue le montre :

     $ \dfrac{\pi^2}{6}+o(1))=\  (\dfrac{\pi^2}{6}+ O(\dfrac{\ln (n)}{n}))$

     $\dfrac{n}{\ln (n)} ( \dfrac{\pi^2}{6}+o(1))=\dfrac{n}{\ln (n)}  ( \dfrac{\pi^2}{6}+ O(\dfrac{\ln (n)}{n}))$ et "zut ! ça tend vers l'infini" 
    Ceci est d'ailleurs juste et il n'y a pas d'erreur.

    On a bien : SI $A_n=O(\dfrac{\ln (n)}{n})$ ALORS $(\dfrac{n}{\ln (n)} A_n)_n$ est une suite bornée (on démarre la suite à $n=2$)
    Mais il semble que l'auteur comprenne :  
    "J'ai $A_n=2024+O(\dfrac{\ln (n)}{n})$ donc $(\dfrac{n}{\ln (n)} (A_n))_n$ est une suite bornée."

    Cordialement

    Dom
  • Bonjour Dom,
    j'ai remarqué ton absence sur le forum et je me suis dit que tu avais peut-être des copies à corriger. Puis-je savoir en message privé pourquoi tu as décidé de ne plus participer au forum comme avant ?
    Amicalement
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Je t’ai répondu. 
  • Oui et merci et je comprends tes raisons
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


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