Notations de Landau : $\mathrm{o}$ et $\mathrm{O}$

OShine
Modifié (12 May) dans Analyse
Bonsoir,

Je ne comprends pas la dernière égalité :  $\displaystyle\sum_{k=1}^{+ \infty} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}+o(1)=\dfrac{\pi^2}{6}+O ( \dfrac{\ln (n) }{n})$.

On a $\dfrac{\pi^2}{6}+o(1)= \dfrac{\pi^2}{6}+ u_n$ avec $u_n \longrightarrow 0$.
Et donc : $\dfrac{n}{\ln (n)} ( \dfrac{\pi^2}{6}+o(1))=\dfrac{n}{\ln (n)}  ( \dfrac{\pi^2}{6}+ u_n)$
mais $\dfrac{n}{\ln (n)} $ tend vers plus l'infini et n'est pas borné.
Il y a un problème quelque part :( 

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Réponses

  • JLapin
    Modifié (11 May)
    La suite constante égale à zéro est à peu près tout ce que tu veux…
    ça sort d’où ces égalités bizarres ? Enfin, ce n’est pas la bonne quantité que tu divises par ln(n)/n
  • J'ai lu ça dans le corrigé de XENS maths A.
    Je dois monter que $\dfrac{n}{\ln n} o(1)$ est borné. 
    Je ne vois pas.

  • J'ai lu ça dans le corrigé de XENS maths A.
    Alors poste dans le fil de discussion sur ce corrigé. Hors contexte, ta question n’a pas de sens.
  • Et je me répète mais le $=$ ici est un faux $=$ au sens où ça ne définit pas une relation symétrique. Ainsi, bien sûr qu'une suite bornée par $\frac{\ln(n)}{n}$ tend vers $0$ mais la réciproque est fausse. On attend toujours que tu ouvres un vrai cours (mini 20 pages) sur les développements limités/asymptotiques de suites.
  • J'ai étudié un cours de 50 pages dans le tout en un sur les développements limités/asymptotiques et là je révise le programme de MPSI donc je vais bientôt revoir ça, je suis sur les fonctions usuelles.

    @Alexique
    Oui tu as raison. 
    Je tapais le corrigé latex de xens maths A MP 2024 et je me suis rendu compte que j'ai écrit des bêtises dans la question $14.a$ avec les o et O.

    Je formule une question plus précise : peut-on exprimer $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$ à l'aide d'un $O( \dfrac{\ln n}{n})$ ? 
    Si non, je peux juste écrire : $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i^2} =_{n \longrightarrow + \infty} \dfrac{\pi^2}{6}$ ? 
  • Heu ... tu n'as pas une expression mathématique sérieuse pour remplacer ton bizarre $=_{n \longrightarrow + \infty}$ ? Du genre ce qu'on voit en lycée, ou une autre écriture globale de niveau bac+1 ?
  • Si on écrit : $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}+o(1)$ mais j'ai un problème, l'énoncé demande un résultat final avec du $O( \dfrac{\ln n}{n} )$.
  • Bibix
    Modifié (12 May)
    Si tu écris $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}+o(1)$, ça montre juste que tu ne comprends rien à ce que tu écris. Je te conseille de garder des écritures normales pour donner l'impression que tu fais des maths.

  • JLapin
    Modifié (12 May)
    OShine a dit :
    Si on écrit : $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6}+o(1)$ mais j'ai un problème, l'énoncé demande un résultat final avec du $O( \dfrac{\ln n}{n} )$.

    Essaye de recopier correctement le corrigé : ça t'évitera d'être plus ridicule que nécessaire.
    Et oui, celui-ci n'est pas assez détaillé et je doute que tu parviennes à le compléter sans aide extérieure même si c'est beaucoup plus simple que nombre de questions que tu fais croire avoir traitées.
  • C'est bizarre, toutes ces anomalies après avoir dit "J'ai étudié un cours de 50 pages ..." ! Que peut bien vouloir dire "étudier" ?
    Comment peut-on, après avoir fait une prépa, puis repris les cours de L1 depuis 5 ans, encore écrire ça ?
    Quand je pense que certains lui disent qu'il a fait des progrès ....
  • "Grand O" cette fois c'est une pléonasme!
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Quand je pense que certains lui disent qu'il a fait des progrès ....

    Il ne faut pas prendre tout ce que dit notre farceur préféré au premier degré :)


  • Je parle de ce passage en rouge que je ne comprends pas.
    Après, je ne fais pas à 100% confiance en ce corrigé, j'ai trouvé de nombreuses erreurs de calcul. 


  • Une bonne âme pour écrire une réponse correcte et davantage détaillée ? A votre bon coeur.
  • bisam
    Modifié (12 May)
    Ce passage encadré est au minimum mal rédigé. Si on imagine qu'il faut le lire dans le sens de lecture usuel, de gauche à droite et de haut en bas (comme celui qui est au-dessus), il est faux.

    Ce qui est embêtant, @Oshine, c'est que tu as l'air de penser que c'est faux... puisque tu viens demander, mais tu ne sembles pas savoir le prouver par toi-même. Pourtant, c'est évident : une suite qui tend vers $0$ ne peut pas forcément s'écrire comme le produit d'une suite bornée et de $n\mapsto\frac{\ln(n)}{n}$.
    Il suffit de trouver un contre-exemple pour te convaincre...
    Un truc qui tendrait vers $0$ plus lentement que $n\mapsto\frac{\ln(n)}{n}$ devrait convenir.
    $n\mapsto \frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}$ par exemple
  •  Bonjour,

    Attention de ne pas confondre le grand  O avec celui de "OShine".

    Cordialement,
    Rescassol

  • @bisam
    Merci.
    Si je prendre $w_n= \dfrac{\ln n}{\sqrt{n}}$ alors $w_n=\dfrac{\ln n}{n} \times \sqrt{n}$ et la suite $(\sqrt{n})$ n'est pas bornée.
    Du coup toute la correction de la question 14.a est fausse ? 
    Comment "rentrer" le $\pi^2 /6$ avec les $O( \dfrac{\ln n}{n} )$ vu qu'on a que du $\pi^2 /6 + o(1)$ ? 



  • JLapin
    Modifié (12 May)
    Tu devrais envoyer un mail à l'auteur du corrigé en lui demandant d'écrire des précisions dans son corrigé. Il y a deux adresses mail à ta disposition pour cela.
  • Il n'y a aucun problème dans l'encadré rouge, qui donne deux expressions asymptotiques de $\sum\limits_{k=1}^n\frac 1 {k^2}$.
    Il n'est dit nulle part qu'il y a une relation de conséquence entre la première et la deuxième.

    Et je vois d'où OS sort son $=_{n \longrightarrow + \infty}$ dont il ne comprend pas l'usage !!

  • @Oshine : Ce que tu as écrit en reprenant mon contre-exemple est malheureusement insuffisant pour prouver que $\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}$ n'est PAS un $O(\frac{\ln(n)}{n})$. C'est (encore...) un problème de quantificateur.
  • JLapin a dit :
    Tu devrais envoyer un mail à l'auteur du corrigé en lui demandant d'écrire des précisions dans son corrigé. Il y a deux adresses mail à ta disposition pour cela.
    J'ai déjà envoyé un mail pour l'erreur sur la question 9 ils ne m'ont pas répondu. 
  • @gerard0
    Je ne comprends pas d'où sort la relation : 
    $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2} = \dfrac{\pi^2}{6}+ O( \dfrac{\ln n}{n} )$.

  • bisam a dit :
    @Oshine : Ce que tu as écrit en reprenant mon contre-exemple est malheureusement insuffisant pour prouver que $\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}$ n'est PAS un $O(\frac{\ln(n)}{n})$. C'est (encore...) un problème de quantificateur.
    Par l'absurde, si $\frac{\ln(n)}{\sqrt{n}}$ est un $O(\frac{\ln(n)}{n})$, alors $\exists M>0 \ \exists n_0 \in \N \ \forall n \geq n_0 \implies \sqrt{n} \leq M$.
    Ce qui est absurde car $(\sqrt{n})$ tend vers plus l'infini, donc $\exists n_1 \geq n_0 \ u_n \geq M+1$.


  • Je ne comprends pas d'où sort la relation :


    Relance la question toutes les heures. Tu auras forcément une réponse.


  • $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{i^2} = \dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac 1 n+O\left( \dfrac 1{n^2}\right)$ en utilisant de l'intégration.
    Classique @bisam ?
  • Je m'intéresserais à la suite (v), définie par $\displaystyle v_n=\sum_{i=n+1}^{+\infty} \frac{1}{i^2}$
    Voire, allons tout de suite à l'essentiel, la suite définie par $\displaystyle v_n=(\frac{\pi}{6}-\sum_{i=n+1}^{+\infty} \frac{1}{i^2} ) \times \frac{n}{ln(n)}$
    Si cette suite tend vers 0 alors ...
    Si elle est bornée, alors ...
    Et si elle n'est pas bornée, alors ...
    Et donc on va tenter de montrer que cette suite ...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine a dit :
    J'ai lu ça dans le corrigé de XENS maths A.
    Je dois monter que $\dfrac{n}{\ln n} o(1)$ est borné. 
    Je ne vois pas.


    La réponse à ta question c'est qu'on ne peut pas répondre.
     
  • C'est une coquille c'est ln(n)/n 
    Le 😄 Farceur


  • @lourrran
    Je ne comprends pas trop ta méthode.

    @gai requin
    Possible mais je ne vois pas comment démarrer.

    @gebrane
    Sais-tu démontrer ce développement asymptotique ? 



  • @gebrane
    Sais-tu démontrer ce développement asymptotique ? 

    Non, car on a convenu que tu as dépassé mon niveau. Si tu ne trouves pas pourquoi, je pourrais le trouver
    Le 😄 Farceur


  • Je ne sais pas faire. 
    Je connais le classique développement de la série harmonique mais pas celui-ci. 
    Le sujet donne le développement de la série harmonique dans l'énoncé. 

  • Je compte sur toi pour trouver le comment. Je suis le seul qui te fait confiance. Ne me laisse pas tomber camarade
    Le 😄 Farceur


  • Sans indication, je ne trouverai jamais.

    @gai requin
    Une piste pour démarrer ? 



  • Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Oshine, il y a une formule à tout faire . Formule d’Euler Mac-Laurin
    Mais bon, une indication pour donner un DA a tout ordre  : la transformé de Laplace de t en k est 1/k²,  $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{+\infty}te^{-kt}$ et tu poses $t=-\ln(1-x)$  tu intervertis somme et intégrale, tu tombes sur une somme géométrique et utilise le DL en série entiere de $\ln(1-x)$ pour arriver en fin à $\frac{\pi^2}{6}-\sum_{k\geq1}\frac{\Gamma(k)\Gamma(n+1)}{k\Gamma(k+n+1)}$ Youppi 
    Le 😄 Farceur


  • Les accusations de chinoiseries ne vont pas tarder à tomber :)
  • Le site est bizarre, je viens de voir l'indication de l'informaticien, peux-tu demontrer que  $\displaystyle v_n=(\frac{\pi}{6}-\sum_{i=n+1}^{+\infty} \frac{1}{i^2} ) \times \frac{n}{ln(n)}$ tend vers 0 en utilisant $\int_{n+1}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2} \le \sum_{k = n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2} \le \int_{n}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2}$
    Le 😄 Farceur


  • @gebrane
    Ca me semble trop compliqué ta méthode avec  Formule d’Euler Mac-Laurin.
    On est dans un sujet d'écrit de 4 heures, et c'est une question qui ne demande même pas de démontrer ce résultat, mais c'est un juste un résultat à utiliser.

  • OShine
    Modifié (13 May)
    @lourrran
    Je vais essayer ta méthode qui semble plus accessible.
  • Oshine, retiens la deuxième méthode que je t'ai proposée. Elle pourrait te servir un jour (c'était mon but).
    $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}=\sum_{k=1}^{n}\int_{0}^{+\infty}te^{-kt}=...=\frac{\pi^2}{6}-\sum_{k\geq1}\frac{\Gamma(k)\Gamma(n+1)}{k\Gamma(k+n+1)}$
    Le 😄 Farceur


  • Ta solution est trop technique pour moi, l'énoncé ne donne pas la définition de la fonction Gamma, donc à mon avis ce n'est pas la solution attendue ici.
    De plus, je n'ai pas encore revu les interversions série-intégrale. 
  • Avec la méthode de @lourrran j'arrive à : 
    $\dfrac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\sum_{i=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{i^2} \leq \dfrac{1}{n^2}$
    Donc : $\dfrac{n}{\ln (n)} ( \dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{n^2} ) \leq v_n \leq \dfrac{n}{\ln (n)} ( \dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{(n+1)^2} )$
    Mais je ne vois pas à quoi sert tout ça. 
  • Ecris les détails pour voir ?
  • Oshine, je t'ai donné une indication $\int_{n+1}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2} \le \sum_{k = n+1}^{+\infty}\dfrac{1}{k^2} \le \int_{n}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2}$
    Le 😄 Farceur


  • gebrane a dit :
    Le site est bizarre, je viens de voir l'indication de l'informaticien, peux-tu demontrer que  $\displaystyle v_n=(\frac{\pi}{6}-\sum_{i=n+1}^{+\infty} \frac{1}{i^2} ) \times \frac{n}{ln(n)}$ tend vers 0

    Ton indication est excellente mais le résultat principal que tu lui proposes de montrer est douteux :)
  • Quand même c'est un copier coller ( par flemme) malheureux , il fllait voir 
    $$\displaystyle v_n=(\frac{\pi}{6}-\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2} ) \times \frac{n}{ln(n)}=(\sum_{i=n+1}^{\infty } \frac{1}{i^2} ) \times \frac{n}{ln(n)}$$ 
    Le 😄 Farceur


  • Tu es plus fort qu'Oshine : tu as repéré la coquille tout seul ;)
  • OShine
    Modifié (13 May)
    Merci @gebrane . Il reste une coquille c'est $\dfrac{\pi^2}{6}$ et non pas $\dfrac{\pi}{6}$.

    @JLapin
    Soit $n \geq 1$. 
    La fonction $f : t \mapsto \dfrac{1}{t^2}$ est continue et décroissante sur $]0,+\infty[$.
    $\forall k \geq 2 \ \ \displaystyle\int_{k}^{k+1} f(t) dt \leq f(k) \leq \displaystyle\int_{k-1}^{k} f(t) dt$
    Donc : $\displaystyle\int_{n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2} dt \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \leq \displaystyle\int_{n}^{+\infty} \dfrac{1}{t^2} dt$
    D'où : $\dfrac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{n^2}$
    Donc : $\boxed{\dfrac{n}{(n+1)^2 \ln n} \leq v_n \leq \dfrac{1}{ n \ln (n)}}$
    On a : 
    $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n \ln n} =0$
    Puis : $ \dfrac{n}{ (n+1)^2 \ln (n)} \sim \dfrac{1}{n \ln(n)}$ donc $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty}  \dfrac{n}{ (n+1)^2 \ln (n)}=0$.
    Par le théorème d'encadrement, on en déduit : 
    $\boxed{\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} v_n=0}$.

    Donc : $\left(  \dfrac{\pi ^2}{6} -\displaystyle\sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{1}{k^2} \right)  \dfrac{n}{ \ln (n)}=o(1)$
    D'où : $\dfrac{\pi^2}{6} -\displaystyle\sum_{k=1}^{n^2} \dfrac{1}{k^2} = o \left( \dfrac{\ln (n)}{n} \right)$
    Soit : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6} +o \left( \dfrac{\ln (n)}{n} \right)$
    Un petit o étant un grand O, car toute suite convergente est bornée, il vient finalement : 
    $\boxed{\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6} +O \left( \dfrac{\ln (n)}{n} \right)}$

    Il est fort @lourran :o cette méthode n'utilise que des connaissances élémentaires de sup. 

    PS : coquille corrigée suite à la remarque de @gebrane
     


  • JLapin a dit :
    Tu es plus fort qu'Oshine : tu as repéré la coquille tout seul ;)
    Oshine a repéré une autre coquille, donc ni moi ni toi ne sommes plus fort qu'Oshine . Il faut vivre avec cette triste vérité
    Le 😄 Farceur


  • Oshine comment tu as déduit cette horreur $$\dfrac{1}{n^2} \leq \displaystyle\sum_{k=n+1}^{+\infty} \dfrac{1}{k^2} \leq \dfrac{1}{(n+1)^2}$$
    Le 😄 Farceur


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