Espaces projectifs

LoloDJ
Modifié (11 May) dans Géométrie
1. Soit $E=\left\{x\in\mathbb{R}^n \middle| \lVert x\rVert_{2}=1\right\}$ et, pour tous $x,y\in E$, $x \sim y$ si $y=\pm x$
2. Soit $F=\mathbb{R}^n \backslash \left\{(0,...,0)\right\}$ (où $n\geq 1$) et, pour tous $x,y\in F$, $x \sim y$ s'il existe $\lambda \in\mathbb{R}^*$ tel que $y=\lambda x$

L'ensemble quotient $F/\sim$ correspondant est appelé espace projectif réel de dimension $n-1$ et noté $\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{R}}$

Question :
Montrer que l'ensemble quotient $E/\sim$ est en bijection avec $\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{R}}$

Indication : Introduire une fonction convenable et montrer qu'elle passe au quotient en bijection...

J'avais pensé à prendre la fonction qui va de $E$ dans $E$ et qui à $x$ associe $x$ si $x.e_1\geq 0$ et $-x$ sinon où $e_1$ est le premier vecteur de la base canonique de $\mathbb{R}^n$
Qu'en pensez-vous ?

Autre question de compréhension : je ne vois pas bien en quoi $\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{R}}$ est de dimension $n-1$, si quelqu'un peut m'expliquer...




Mots clés:

Réponses

  • salut

    je considérerai plutôt la fonction qui a tout vecteur x non nul associe le vecteur $ \dfrac 1 {||x||} x $ qui est alors de norme 1

    Ce ne sont pas les signes, les symboles qui constituent la science ; le seul principe qui y domine, c’est l’esprit de sagacité auquel les objets soumis servent d’auxiliaire.                BHASCARA

  • stfj
    Modifié (12 May)
    Bonjour,
    Dans le cas $n=2$, on comprend de quoi l'exercice se fait le lointain écho : 
    Soit $X\in \mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}$ et $\bar X:=\{Y\in \mathbb R^2\setminus \{(0,0)\}: \exists \lambda\in \mathbb R^*, Y=\lambda.X \}$

    $\bar X$ est tout simplement la droite vectorielle $\mathbb R. X$ privée de $\{(0,0)\}$, autrement écrit $$\bar X=\mathbb R^*. X$$(cf dessin)
    C'est aussi la classe d'équivallence de $X$ pour la relation d'équivallence $\sim $ sur $\mathbb R^2\setminus\{(0,0))\}$
    _______________________________
    Considérons alors $\varphi $  définie comme suit $$\varphi : E\to \{\mathbb R^*.Z, Z\in \mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}\}$$ $$X\mapsto \mathbb R^*.X$$
    $\varphi$ n'est pas une bijection puisque $\forall X\in E, \varphi(X)=\varphi(-X)\text{(cf dessin)}$

    Par contre, en suivant les indications fournies, tu devrais, à partir d'ici, être en mesure de conclure.
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    "Je ne vois pas bien en quoi $\mathbb P_\mathbb R^{n-1}$ est de dimension $n−1$" est une très bonne remarque. La réponse la plus simple est qu'il n'y a rien à voir. A se demander si la personne qui a posé l'exercice le sait elle-même. On aurait dû écrire 

    L'ensemble quotient $F/∼$ correspondant est appelé "espace projectif réel de dimension $n−1$" et noté $\mathbb P_{R}^{n-1}$

    Ce qui est entre guillemets doit être pris comme un seul signifiant : c'est le nom quelque peu arbitraire-en première approche- donné à $F/\sim$. On remarquera que $F$ n'a même pas d'origine et n'EST PAS un espace vectoriel dont on pourrait parler de la dimension en tant qu'espace vectoriel.
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    Il existe évidemment une réponse moins simple mais Hors-Sujet ici. Il est en effet fort à douter que même les glorieux fondateurs et développeurs au 19è siècle de la géométrie projective reconnaîtraient leur bébé ici. Alors, pour quelqu'un qui ne connaît rien à ces tortueux développements, associer la géométrie projective à un tel exercice est d'une bêtise et d'une violence inouïes.
  • Si on est un peu fainéant on peut utiliser la projection canonique $\pi:F\to F/\sim$ afin d'éviter d'introduire une nouvelle fonction. En effet on constate que $E\subset F$, et la restriction de $\pi$ à $E$ fournit alors directement une application surjective $\pi\mid_{E}:E\to  F/\sim$ qui en passant au quotient donne la bijection cherchée.

    PS : question d'ajouter un peu de topologie, on en déduit que $\mathbb{P}^{n-1}_{\mathbb{R}}$ est compact et connexe par arcs.
  • En résumé, deux demi-droites  antipodiques forment une droite.
    Question à cent sous: comment décrit-on les droites dans le contexte où est posé cet exercice ?
  • GG
    GG
    Modifié (14 May)
    Un point de vue alternatif est de considérer qu'un espace projectif n'est autre qu'un espace vectoriel $V$ et que la géométrie projective est simplement (d'abord) l'étude du treillis de ses sous-espaces pour la relation $\subset$ ( d'où $ \inf (A, B ) = A \cap B$ et $\sup (A, B ) = A + B $ ).
    Les sous-espaces de dim $1$ s'appellent les points (projectifs) et sont décrétés de dimension $0$, ceux de dim $2$ s'appellent les droites (et sont de dim $1$), ceux de dim $3$ s'appellent les plans (et sont de dim $2$), etc.
    Ainsi, si $V$ est de dimension $n$, l'espace projectif est, O surprise, de dimension $n-1$.
    Selon la tournure des phrases, la relation $A \subset B$ se lit "$A$ est contenu dans $B$" ou "$B$ passe par $A$ ".
    Les premières propositions sont alors du style :
    Par deux points passe une droite et une seule,
    Par trois points non alignés passe un plan et un seul, etc.
    Deux droites coplanaires se rencontrent en un point et un seul, etc.
  • GG
    GG
    Modifié (15 May)
    J'aurais peut-être dû préciser ceci pour étayer mon point de vue. Lorsque l'on prend conscience qu'un espace vectoriel de dimension $n$ est aussi bien un espace vectoriel dont les droites vectorielles sont les sous-ensembles de dim $1$, qu'un espace affine de dimension $n$ dont les droites affines sont les classes des droites vectorielles, qu'un espace projectif de dimension $n-1$ dont les droites projectives sont les plans vectoriels, on conprend mieux par exemple le commentaire de J. Dieudonné dans sa préface à l'édition française du célèbre "Survey of modern algebra" de MacLane et Birkhoff : "Le traditionnel et ennuyeux chapitre sur les espaces affines et les espaces projectifs, qui ne consistent qu'en simples traductions de l'Algèbre linéaire, aurait sans doute aussi gagné à être considérablement allégé."
    Si l'on dit "Non, non, un espace projectif n'est pas un espace vectoriel $V$, mais l'ensemble de ses droites vectorielles, ou encore "plus rigoureusement" l'ensemble de ses droites vectorielles privées de leur origine, soit les classes d'une certaine relation d'équivalence sur $V \setminus \{0\}$", on fait preuve d'un esprit bureaucratique qui ne fait qu'obscurcir des vérités toutes simples. C'est du moins mon opinion personnelle.
  • raoul.S
    Modifié (15 May)
    GG a dit : 
    ou encore "plus rigoureusement" l'ensemble de ses droites vectorielles privées de leur origine, soit les classes d'une certaine relation d'équivalence sur $V\setminus\{0\}$", on fait preuve d'un esprit bureaucratique qui ne fait qu'obscurcir des vérités toutes simples.

    Disons que ça dépend. Si tu étudies les propriétés topologiques de l'espace projectif, alors tu as plutôt intérêt de le voir comme un espace quotient, comme dans l'exo ci-dessus. Autrement si tu fais seulement de la géométrie alors effectivement ça complique.

  • @raoul.S, oui, tu as raison. Je ne pensais qu'à l'aspect purement géométrique.
  • Foys
    Modifié (15 May)
    pldx1 a dit :
    En résumé, deux demi-droites  antipodiques forment une droite.
    Question à cent sous: comment décrit-on les droites dans le contexte où est posé cet exercice ?

    Des cercles équatoriaux sans doute (avec égalisation artificielle des points antipodaux: vous êtes à la fois en France et en Nouvelle-Zélande).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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