Valeur exacte de cosinus pi/10

Bonsoir,

Je bloque sur la remarque finale de l'exercice 5.32.

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Réponses

  • Ben314159
    Modifié (9 May)
    Salut,
    Comme c'est écrit en noir sur blanc au début de la question 2. l'équation dont tu es parti, c'est $\cos(5x)\!=\!\cos(\frac\pi2)$.
    C'est quoi les solutions de cette équation ?
  • C'est évidemment une coquille. Il faut remplacer $\frac{\pi}{5}$ par $\frac{\pi}{10}$.
  • OShine
    Modifié (9 May)
    @Ben314159
    Je n'ai pas trop compris.
    $\cos(5x)=\cos( \dfrac{ \pi}{2} ) \iff 5x \equiv \dfrac{\pi}{2} [2 \pi] \ \text{ou} \ 5x \equiv \dfrac{-\pi}{2} [2 \pi]$
    Si $\cos(5x)= \cos( \dfrac{ \pi}{2} )$, il existe $(k,k') \in \Z^2$ tel que : 
    $5x=\dfrac{\pi}{2}+2 k \pi$ ou $5x=\dfrac{-\pi}{2}+2k \pi$ soit : 
    $x=\dfrac{\pi}{10}+ k \dfrac{2 \pi}{5}$ ou  $x=\dfrac{-\pi}{10}+ k \dfrac{2 \pi}{5}$

    Mais je ne comprends pas pourquoi les solutions sont les $\cos( (2k+1) \dfrac{\pi}{10} )$ avec $k \in [|0,4|]$.

    @Bibix
    Ok merci mais je bloque toujours sur la remarque. 

  • Ben314159
    Modifié (9 May)
    Tes solutions, c'est les $(4k\!+\!1)\dfrac\pi{10}$ et les $(4k\!-\!1)\dfrac\pi{10}$.  Sauf que les nombres qui s'écrivent $4k\!+\!1$ ou bien $4k\!-\!1$, ben c'est tout les nombres impairs, c'est à dire les $2k\!+\!1$.
    Et le $k$ on ne le fait varier que de 0 à 4 vu que les autres valeurs donnent les même cosinus que ces 5 là (fait un dessin)
  • gai requin
    Modifié (9 May)
    @OShine : $x\mapsto|\cos(5x)|$ est $\pi/5$-périodique donc les $\cos((2k+1)\pi/10)$, $0\leq k\leq 4$ , tous distincts, sont les solutions de l’équation de degré $5$ en $u$.
  • Tu y es presque pourtant avec ce que tu as écrit ici .
    Les solutions trouvées pour l'équation $\cos(5x)=0$ peuvent s'écrire plus simplement sous la forme $5x=\dfrac{\pi}{2}+k \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$ (ce qui rejoint l'explication de Ben ci-dessus).
    On obtient : $x=\dfrac{\pi}{10}+k\dfrac{\pi}{5}=\dfrac{\pi}{10}(2k+1)$.
  • Ok merci. Je n'ai pas réussi à montrer que $\{ \cos ((2k+1) \dfrac{\pi}{10} )  \ | \ k \in \Z \}= \{ \cos((2k+1) \dfrac{\pi}{10} \ | \ k \in [|0,4|] \}$. J'ai essayé la division euclidienne mais je bloque.

    Montrons que $\displaystyle\bigcup_{k \in \N} \{4k+1 \} \cup \{4k+3 \} =2 \N+1$.
    L'inclusion $\displaystyle\bigcup_{k \in \N} \{4k+1 \} \cup \{4k+3 \}  \subset 2 \N+1$ est évidente.
    Réciproquement, si $n \in 2 \N+1$, alors il existe $k \in \N$ tel que $n=2k+1$.
    Si $k$ est pair, alors $k=2p$ avec $p \in \N$ et donc $n=4p+1$.
    Si $k$ est impair, alors $k=2p+1$ avec $p \in \N$ et donc $n=4p+3$.

    Montrons que $\{ \cos ((2k+1) \dfrac{\pi}{10} )  \ | \ k \in \Z \}= \{ \cos((2k+1) \dfrac{\pi}{10} \ | \ k \in [|0,4|] \}$.
    On effectue la division euclidienne de $k$ par $5$, ce qui donne $k=4p+r$ avec $p \in \N$ et $0 \leq r< 5$
    Donc $2k+1 =2(4p+r)+1=8p+ 2r+1$
    On a $\cos ( (2k+1) \dfrac{\pi}{10} )=\cos ( \dfrac{4 \pi p}{5} + \dfrac{\pi r}{5}+ \dfrac{ \pi}{10} )$
    Je bloque ici. 





  • gai requin a dit :
    @OShine : $x\mapsto|\cos(5x)|$ est $\pi/5$-périodique donc les $\cos((2k+1)\pi/10)$, $0\leq k\leq 4$ , tous distincts, sont les solutions de l’équation de degré $5$ en $u$.
    Je n'ai pas réussi à montrer que les solutions sont distinctes, je ne vois pas comment utiliser la péridocitié. 
    En plus il y a des valeurs absolues alors que dans l'équation il n'y en a pas.
    Posons $g(x)=| \cos(5x)|$.
    On a $g(x+ \dfrac{\pi}{5} )=| \cos( 5x+ \pi)| =| - \cos(5x) |= g(x)$.
    Or : $0 \leq k \leq 4 \iff 0 \leq \dfrac{(2k+1) \pi}{10} \leq  \dfrac{9 \pi}{10} \iff \cos( \dfrac{9 \pi}{10} ) \leq \cos (\dfrac{(2k+1) \pi}{10}) \leq 1 $.
    Ensuite je bloque. 
  • C'est pourtant simple : à toute mesure d'angle en radians correspond une unique mesure de cet angle appelée mesure principale. Il s'agit de la mesure de l'angle dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$.
    A quelle condition sur $k$ avons-nous $(2k+1)\dfrac{\pi}{10} \in ]-\pi;\pi]$? Quelles sont les mesures principales possibles des angles de cette forme? Comment la parité du cos sur un intervalle centré en $0$ permet-elle de conclure ensuite?
  • Par curiosité, quand tu dis : je n'arrive pas à prouver que.... 
    Pourrais tu développer, préciser : 
    - C'est évident que ... mais je n'arrive pas à le prouver.
    - Peut-être que ... mais je n'arrive pas à le prouver.
    - Je n'arrive pas à prouver que ... et je pense même que c'est faux.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gai requin
    Modifié (9 May)
    @OShine : $\cos x$ est solution de l’équation en $u$ ssi $|\cos(5x)|=0$.
    Or, on obtient une solution évidente avec $x=\pi/10$ puis les autres par $\pi/5$-périodicité de $x\mapsto |\cos(5x)|$ jusqu’à épuiser le degré $5$.
  • OShine
    Modifié (9 May)
    @lourrran
    J'ai essayé la méthode de la division euclidienne mais ça ne marche pas j'ai l'impression, ça ne se simplifie pas à la fin.
    Je ne comprends pas si j'ai faux ou si il y a une astuce que je n'ai pas vue.

    @NicoLeProf
    $(2k+1) \dfrac{\pi}{10} \in ]- \pi,\pi] \iff -10 < 2k+1 \leq 10 \iff -9 < 2k \leq 9 \\
    \iff -4,5 < k \leq 4,5 \iff k \in [|-4,4|]  $
    Si $k \in [|-4,-1|]$, on a $2k \in [|-8,-2|]$ et donc $2k+1 \in [|-7,-1|]$ et donc $\cos ( (2k+1) \dfrac{\pi}{10} )=\cos ( -(2k+1) \dfrac{\pi}{10} )$
    J'ai des difficultés ici, je ne vois pas trop comment justifier qu'on peut restreindre à $[|0,4|]$, je n'ai pas trop compris comment utiliser la parité.

  • OShine, erreur de calcul, c'est : $-11<2k<9$. Je te laisse corriger et écrire toutes les valeurs possibles de $k$ sur un brouillon.
    Ensuite, tu pourras calculer $(2k+1)\dfrac{\pi}{10}$ de tête pour chacune des valeurs de $k$ dans ton intervalle d'entiers et là, tu vas finir par comprendre pourquoi je te parle de parité.
  • Ce que tu dis n'a rien à voir avec la question que je te posais.
    Tu dis : j'ai essayé ...
    Ben314159 t'a conseillé de faire un dessin. Un dessin, c'est l'outil universel pour acquérir des bons réflexes.
    Et comme tu ne dis pas 'J'ai fait un dessin'... ça veut dire que tu n'en as pas fait. Donc comme déjà dit 100 fois, tu manipules des trucs totalement abstraits, tu alignes des calculs, sans jamais rien comprendre aux objets que tu manipules.
    Avec tes élèves, pour qu'ils n'aient pas les mêmes lacunes que toi, n'hésite pas à leur répéter régulièrement, dès que l'exercice s'y prête : faites un dessin. Problème, comment faire pour savoir si tel exercice s'y prête !


    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • OShine
    Modifié (9 May)
    Ah d'accord, en effet c'est $-11 < 2k \leq 9 \iff -5 \leq k \leq 4$.
    On a : 
    • Pour $k=-5$, $\cos ((2k+1) \dfrac{\pi}{10} )=\cos ( \dfrac{-9 \pi}{10} ) =\cos ( \dfrac{9 \pi}{10} )$ ça correspond à la valeur obtenue pour $k=4$.
    • Pour $k=-4$, $\cos ((2k+1) \dfrac{\pi}{10} )=\cos ( \dfrac{-7 \pi}{10} ) =\cos ( \dfrac{7 \pi}{10} )$ ça correspond à la valeur obtenue pour $k=4$.
    En fait $-5 \leq k \leq -1 \iff -9 \leq 2k+1 \leq 0 \iff 0 \leq -(2k+1)  \leq 9$
    Et $0 \leq k \leq 4 \iff 0 \leq 2k+1 \leq 9$.


  • gai requin a dit :
    @OShine : $\cos x$ est solution de l’équation en $u$ ssi $|\cos(5x)|=0$.
    Or, on obtient une solution évidente avec $x=\pi/10$ puis les autres par $\pi/5$-périodicité de $x\mapsto |\cos(5x)|$ jusqu’à épuiser le degré $5$.
    Ok merci.
     On a donc $\dfrac{\pi}{10}$, $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{\pi}{5}=(2 \times 1+1) \dfrac{\pi}{10}$, $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2\pi}{5}=(2 \times 2+1) \dfrac{\pi}{10}$, $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{3\pi}{5}=(2 \times 3+1) \dfrac{\pi}{10}$ et $\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{4\pi}{5}=(2 \times 4+1) \dfrac{\pi}{10}$
  • OShine
    Modifié (9 May)
    @lourrran
    Ce chapitre sur les complexes n'est pas abstrait, le dessin consiste à faire un cercle trigo dans 90% des cas.
    Par contre $\pi /10$ on ne le rencontre pas souvent. 
    Ma solution avec la division euclidienne fonctionnait, j'ai juste fait une coquille, j'ai divisé par $4$ au lieu de diviser par $5$.

  • JLT
    JLT
    Modifié (10 May)
    Soit $n$ un entier impair. L'intervalle $[\![-9;10]\!]$ contient $20$ entiers consécutifs donc il existe $m\in [\![-9;10]\!]$ congru à $n$ modulo $20$. On a $\cos\frac{n\pi}{10}=\cos\frac{|m|\pi}{10}$ avec $|m|\in [\![0;10]\!]$ impair donc de la forme $2k+1$ avec $k\in [\![0;4]\!]$.
  • Bref, par décroissance de $\cos$ sur $[0;\pi]$, $\cos(\pi/10)$ est la plus grande solution (facilement identifiable) de l’équation en $u$.
  • Ce n'est pourtant pas la mer à boire en mettant les quantificateurs aux bons endroits.
    Fixons d'abord $u\in [-1,1]$ et posons $x=\arccos(u)$. Alors $x\in[0,\pi]$ et $u=\cos(x)$.
    Compte tenu des calcul effectués à la question 1, on a alors les équivalences : \[\begin{align}16u^5-20u^3+5u=0 & \Leftrightarrow \cos(5x)=0 \\ & \Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}, 5x=\frac{\pi}{2}+k\pi \\ & \Leftrightarrow \exists k\in \{0,1,2,3,4\}, x=\frac{(2k+1)\pi}{10} \\ & \Leftrightarrow \exists k\in \{0,1,2,3,4\}, u=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{10}\right)\end{align}\]
    Le passage de la 2ème à la 3ème ligne est assuré par le fait que $x\in [0,\pi]$.
  • @bisam
    Je ne comprends pas vraiment ta solution.
    $u= \cos(x)$ est acquis, je ne comprends pas toutes ces complications, si pourquoi tu prends un $u$ fixé dans $[-1,1]$.
    On a directement une équation avec du $\cos(x)$ devant, donc on pose $u= \cos(x)$.

  • Quand le corrigé dit "les 5 racines trouvées sont blablabla", il parle bien des racines de l'équation $16u^5-20u^3+5u=0$... et c'est pourquoi je suis reparti de là.
  • Pourquoi $u$ est fixé dans $[-1,1]$ ?

  • Si tu en trouves 5 dans $[-1,1]$, tu les as toutes pour des questions de degré.
  • Bisam dit : fixons $u$ dans $[-1,1]$, et posons $x=arccos[u]$
    S'il ne prend pas la précaution de s'imposer $u$ dans $[-1,1]$ , a-t-il le droit de poser  $x=arccos[u]$ ? Non, parce que $arccos$ n'est définie que sur  $[-1,1]$

    On cherche des racines $u$ qui sont des cosinus d'angles. Donc on ne s'intéresse qu'aux racines entre $-1$ et $1$.

    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • JLapin a dit :
    Si tu en trouves 5 dans $[-1,1]$, tu les as toutes pour des questions de degré.
     Merci.
  • Chaurien
    Modifié (12 May)
    La résolution « par radicaux » de l'équation $z^5-1=0$ dans $\mathbb C$ donne : $\cos \frac{2\pi }5=\frac{-1+\sqrt{5}}4$, $\sin \frac{2\pi }5=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}2}$, juste avec deux équations du second degré.
     Faut-il la rappeler ?
    Et l'on a : $\frac{\pi }{10}=\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{5}$, d'où : $\cos \frac{\pi }{10}=\sin \frac{2\pi }5=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}2}$, et :  $\sin \frac{\pi }{10}=\cos \frac{2\pi }5=\frac{-1+\sqrt{5}}4$.
    L'énoncé proposé est un exemple de l'art de compliquer quelque chose de simple.

  • Chaurien
    Modifié (12 May)
    On peut ajouter que la résolution par radicaux de l'équation $z^5-1=0$ dans $\mathbb C$ donne aussi : $\cos \frac{4\pi }{5}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$, $\sin \frac{4\pi }{5}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}2}$.
    Et l'on a : $\frac{\pi }5=\pi-\frac{4\pi }5$, d'où : $\cos \frac{\pi }5=-\cos \frac{4\pi }5=\frac{1+\sqrt{5}}4$, et :  $\sin \frac{\pi }5=\sin \frac{4\pi }5=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}2}$.
  • Je ne vois pas pourquoi l’étude d’un polynôme de Tchebychev serait si compliquée mais effectivement, il existe d’autres méthodes.
  • gebrane
    Modifié (12 May)


    Boff!. Pour tuer cette mouche, il vaut mieux se ramener à une équation d'ordre deux (l'ordre 5 de Chaurien est là juste aussi  pour le plaisir de compliquer). Je pose \( x = \frac{\pi}{10} \), d'où 

    \[ 4\sin^2(x) + 2\sin(x) - 1 = 0 \]

    ce qui donne \( \sin\left(\frac{\pi}{10}\right) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \) et \( \cos\left(\frac{\pi}{10}\right) = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{4}} \).
    Le 😄 Farceur


  • OShine
    Modifié (12 May)
    D'où sort le $4 \sin^2 (x)+2 \sin(x)-1=0$ ? 
  • Je rappelle l'indication de JLT : "Si tu ne vois pas pourquoi, prends un papier et un crayon, et réfléchis.
    Le 😄 Farceur


  • Je ne vois pas.
  • C'est un petit jeu
    Le 😄 Farceur


  • gai requin
    Modifié (12 May)
    @OShine : Développe $\sin(5x)$.
  • gai requin
    Modifié (12 May)
    @gebrane : Soit $\zeta=\exp(i\pi/10)$.
    1) Quel est le degré de l'extension $\Q\subset\Q(\zeta)$ ?
    2) Combien y a-t-il d'extensions quadratiques de $\Q$ contenues dans $\Q(\zeta)$. Lesquelles ?
  • Gai requin veut me bruler vif, à moi au feu 
    Oshine, le jeu est de se amener à un angle connu, par exemple $2x+3x$ donc $\sin(3x)=sin(\frac{\pi}2 - 2x)$ et pense à la linéarisé de $\sin^3(x)$
    Le 😄 Farceur


  • Voici une autre solution. Notons $\theta=\frac{2\pi}{5}$ et $A_k=(\cos k\theta,\sin k\theta)$. Le pentagone $A_0A_1A_2A_3A_4$ a pour isobarycentre $O$ donc $0=\sum_{k=0}^5 \cos k\theta = 1+2\cos\theta+2\cos 2\theta=4\cos^2\theta+2\cos\theta-1$, ce qui donne $\cos\theta=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$ et donc $\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}$.
  • P.S. En lien avec la question de gai requin, soit $p$ un nombre premier et $\zeta=e^{2\pi i/p}$ alors $\Q[\zeta]$ possède une unique extension quadratique, il s'agit de $\Q[\alpha]$ où $\alpha=\sqrt{(-1)^{(p-1)/2}p}=\sum_{k=0}^{p-1}e^{2\pi i k^2/p}$.
  • NicoLeProf
    Modifié (13 May)
    En réponse à ceci @gai requin (je débute avec ce genre de notions) : 
    1) $e^{i \pi/10}$ est algébrique sur $\mathbb{Q}$ car racine du polynôme $X^{10}+1$ non nul et à coefficients rationnels.
     De plus, il n'existe pas de polynôme non nul à coefficients rationnels annulant $e^{i \pi/10}$ de degré strictement inférieur à $10$. Donc le polynôme $X^{10}+1$ est le polynôme minimal de $e^{i \pi/10}$ sur $\mathbb{Q}$ et on conclut que le degré de $\mathbb{Q}(e^{i \pi/10})$ est égal à $10$.
    Je pars bien ou pas? (je cherche la suite ce soir) :D
    (pour 2), je pense qu'il y a seulement une seule extension quadratique de $\mathbb{Q}$ contenue dans $\mathbb{Q}(e^{i \pi/10})$ et c'est $\mathbb{Q}(e^{i \pi/2})$).
  • gai requin a dit :
    @OShine : Développe $\sin(5x)$.
    On a développé $\cos(5x)$ ça ne sert pas ? 
  • NicoLeProf a dit :
     le degré de $\mathbb{Q}(e^{i \pi/10})$ est égal à $10$.

    (pour 2), je pense qu'il y a seulement une seule extension quadratique de $\mathbb{Q}$ contenue dans $\mathbb{Q}(e^{i \pi/10})$ et c'est $\mathbb{Q}(e^{i \pi/2})$).
    Les deux réponses sont fausses.
  • @NicoLeProf : $\cos(\pi/10)$ est de degré $4$ sur $\Q$ donc le degré cherché est un multiple de $4$.
    $\sin(\pi/10)$ est de degré $2$ sur $\Q$ donc, comme $i\in\Q(\zeta)$, il y a au moins trois telles extensions quadratiques.
  • LOU16
    Modifié (18 May)
    Bonjour,
    Les extensions quadratiques de $\Q$ contenues dans $\Q(\zeta)$ sont: $\:\Q(\mathrm i),\:\: \Q(\sqrt 5)\: $ et$\:\:\Q(\mathrm i\sqrt 5).$
    D'autre part, $\:\Q(\zeta) $ contient trois extensions de $\Q$ de degré $4$ qui sont: $\Q(\zeta^2),\:\:\Q(\zeta +\zeta^{-1}) \:$ (toutes deux cycliques) et $\:\Q(\zeta+ \zeta^9) =\Q(\mathrm i , \sqrt 5).$
    Voici le graphe qui décrit les relations d'inclusion entre les sous-corps de $\Q(\zeta):$
    $$\xymatrix{&\Q(\zeta)\ar@{-}[ld]\ar@{-}[d]\ar@{-}[rd]\\ \Q(\zeta^2)\ar@{-}[rd] &\Q(\zeta+\zeta^9)\ar@{-}[d]\ar@{-}[rd]\ar@{-}[ld]&\Q(\zeta+\zeta^{-1})\ar@{-}[ld]\\\Q(\mathrm i)\ar@{-}[rd]&\Q(\sqrt 5)\ar@{-}[d]&\Q(\mathrm i\sqrt 5)\ar@{-}[ld]\\ &\Q }$$
    Pour une partie $S$ finie de $\C, \:\: \Pi_S:=\displaystyle \prod_{p\in S}p.\quad$ 
    Soit $n=2^k\displaystyle \prod_{i=1}^r p_i^{a_i},\:\:k\in\N, a_i\in\N^*, \:\:p_i \text{ premiers distincts impairs}.\quad q_i := \sqrt{(-1)^{(p_i-1)/2}p_i}$
    Alors les extensions quadratiques de $\Q$ contenues dans $\Q\left[\exp\left(\dfrac {2\mathrm i \pi}n\right) \right]\:\:$ sont les  $\Q\left(\Pi_S\right)\:$ où $S$ décrit l'ensemble des parties non vides de  $\:\:\left\{\begin{array}{ll} \{q_1,q_2\dots q_r\}& \text { si }k\in\{0,1\}\\\{\mathrm i, q_1,q_2,\dots q_r\}& \text { si }k=2\\ \{\mathrm i ,\sqrt 2,q_1,q_2,\dots q_r\}& \text { si }k\geqslant 3.\\  \end{array}\right.$





  • Et on dit merci Galois 😉
  • Généralisation : soit $n\in\N^*$. Déterminer les extensions quadratiques de $\Q$ contenues dans $\Q[e^{2\pi i/n}]$.
  • gebrane
    Modifié (13 May)
    NicoLeprof, mon ami, je te remercie d'être si solidaire avec moi au point de te faire brûler à ma place.


    J'explique en détail ma proposition. Je note $x = \frac{\pi}{10}$ et remarquons que $2x+3x=\frac{\pi}2$ d'où $\sin(3x)=\sin(\frac{\pi}2 - 2x)=\cos(2x)=1-2sin^2(x)$. Pour avoir une formule uniquement avec $\sin(x)$, il est utile de se rappeler que $\sin(3x)=3\sin (x)-4sin^3 (x)$ d'où une équation d'ordre 3 en $X=\sin(x)$:
    $$4X^3 -2X^2-3X+1=0$$
    Mais $X=1$ est une racine d'où la factorisation $(X-1)(4X^2 +2X-1)=0$. Mais $\sin(\frac{\pi}{10})\neq 1$, d'où 
    OShine a dit :
    D'où sort le $4 \sin^2 (x)+2 \sin(x)-1=0$ ? 

    Le 😄 Farceur


  • @JLT : Le cas $n=20$ suggère que ça ne doit pas être si facile 🤔
    On peut déjà regarder les sous-groupes de $(\Z/n\Z)^{\times}$ d’indice $2$, ce soir pour moi !
  • Chaurien
    Modifié (13 May)
    Pour calculer les cosinus et sinus des $\frac {k \pi}{10}$, $k$ entier, je persiste à affirmer que le plus simple est de partir de l'équation $z^5-1=0$ dans $\mathbb C$. C'est en apparence une équation de degré $5$, ce qui n'a pas échappé à @gebrane, bravo ;), mais on se débarrasse de la solution $z=1$ sans calcul, bien plus simple que l'équation degré $3$ du message précédent.
     Il vient : $z^4+z^3+z^2+z+1=0$, équation réciproque comme on disait naguère, qui se transforme immédiatement en $y^2+y-1=0$ en posant $y:=z+\frac 1z$. Équation du second degré, particulièrement simple, solutions : $y=\frac{-1+\varepsilon \sqrt{5}}{2}$, $\varepsilon =\pm 1$. 
    L'inconnue $z$ est à son tour racine de l'équation du second degré : $z^{2}-yz+1=0$, dont le discriminant est : $y^{2}-4=\frac{-5-\varepsilon \sqrt{5}}{2}$, négatif pour les deux valeurs de $\varepsilon =\pm 1$. D'où : $z=\frac{1}{2}(\frac{-1+\varepsilon \sqrt{5}}{2}\pm i\sqrt{\frac{5+\varepsilon\sqrt{5}}{2}})$, ce qui représente quatre solutions : 
    $z_{1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}$, $z_{2}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}-\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=\overline{z}_{1} $, $z_{3}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}$, $z_{4}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}-\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=\overline{z}_{3} $.
    Par ailleurs, les solutions de l'équation $z^{5}-1=0$, autres que $z=1$, sont les complexes $\omega _{k}=e^{\frac{2ki\pi }{5}}=\cos \frac{2k\pi }{5}+i\sin \frac{2k\pi }{5}$, $k\in \{1,2,3,4\}$. Veine : parmi les quatre solutions $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$, $z_{4}$, deux solutions distinctes sont situées dans deux quadrants distincts. Les signes des parties réelles et imaginaires permettent donc de dire qui est qui entre les $z_{k}$ et les $\omega _{k}$, en sorte que : $\omega _{1}=e^{\frac{2i\pi }{5}}=\cos \frac{2\pi }{5}+i\sin \frac{2\pi }{5}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}=z_{1}$, 
    $\omega _{2}=e^{\frac{4i\pi }{5}}=\cos \frac{4\pi }{5}+i\sin \frac{4\pi }{5}=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+\frac{i}{2}\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}=z_{3}$,  
    Ainsi, l'on a en même temps, tout d'un coup, les cosinus et sinus de $\frac {2 \pi}5$ et $\frac {4 \pi}5$, et juste avec les formules d'angles associés, de :
    $\frac {3 \pi}5=\pi- \frac {2 \pi}5$, $\frac {\pi}5=\pi-\frac {4 \pi}5$,  $\frac {\pi}{10}=\frac { \pi}2-\frac {2 \pi}5$, $\frac {3\pi}{10}=-(\frac { \pi}2-\frac {4 \pi}5)$, etc. 
    Pas de formule de sinus ou cosinus $2x$ ou  $3x$ ou $4x$, pas d'équation à résoudre pour passer de $\frac {2 \pi}5$  à $\frac {\pi}5$ puis à $\frac {\pi}{10}$. Aucun calcul compliqué. 
    Contrairement à ce que dit le dictionnaire, les complexes, c’est plus simple ;).
    Bonne après-midi.
    Fr. Ch.
  • JLT
    JLT
    Modifié (13 May)
    Sauf erreur de ma part, si $n=2^k\prod_{i=1}^r p_i^{\alpha_i}$ où les $p_i$ sont des nombres premiers distincts et $\alpha_i\in\N^*$, alors le nombre d'extensions quadratiques de $\Q$ incluses dans $\Q[e^{2\pi i/n}]$ est égal à $2^r-1$ si $k\in \{0,1\}$, $2^{r+1}-1$ si $k=2$ et $2^{r+2}-1$ si $k\geqslant 3$.
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