Un point de concours, et une ellipse qui passe par le point de Feuerbach

jelobreuil

Bonne nuit à tous,

Soit un triangle $ABC$, le cercle inscrit et son centre $I$, $A'$, $B'$ et $C'$ les pieds des bissectrices, $D$, $E$ et $F$ les milieux des côtés $BC$, $CA$ et $AB$, respectivement, $A_1$, $B_1$ et $C_1$ les points d'intersection des bissectrices et du cercle inscrit situés entre $I$ et les sommets.

1) Montrer que les segments $A_1D$, $B_1E$ et $C_1F$ concourent en un point $L$ (cette question était posée sur le site AoPS le 18 octobre dernier).

2) Montrer que les points $A'$, $D$, $B'$, $E$, $C'$, $F$ se trouvent sur une même ellipse qui passe par le point de Feuerbach $Fe$.

Bien cordialement, JLB

                       

 

Rescassol

Bonsoir,

Pour la deuxième question, avec Morley inscrit, je trouve pour équation de l'ellipse:
$s_1z^2-2s_3z\overline{z}+s_2s_3\overline{z}^2-s_2z-s_1s_3\overline{z}+2s_3=0$.
Elle passe bien par le point de Feuerbach $Fe\left(\dfrac{s_2}{s_1}\right)$.
En dehors de ce point, elle recoupe le cercle inscrit en trois points formant un triangle équilatéral, les racines cubiques de $s_3$.

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

Merci, Rescassol, de ces calculs et de cette précision ! 

Cette ellipse est sans doute connue, n'est-ce pas ? Porte-t-elle un nom particulier ?

Et ce triangle équilatéral, ne le retrouve-t-on pas dans un autre cadre ?

Bon dimanche, bien amicalement, JLB

Rescassol

Bonjour,

Voilà une figure pour la question $2$.
Tu trouveras d'autres renseignements sur cette ellipse à la rubrique de son centre $X_{1125}$ dans l'ETC.
En Morley inscrit, ce centre est $X_{1125}\left(\dfrac{s_2^2+s_1s_3}{2(s_1s_2-s_3)}\right)$.
On a déjà vu le triangle équilatéral  diverse occasions, racines cubiques de $s_3$ en Morley inscrit ou circonscrit, deltoïde de Steiner ou le fil "belle géométrie".

Cordialement,
Rescassol

jelobreuil

Merci beaucoup, Rescassol, de ces indications et de cette figure !

Est-ce une illusion ? Il me semble que les points $Fe$, $I$ et $J_2$ sont alignés et que, par conséquent, la droite $J_1J_3$ est la médiatrice de $FeI$ (qui n'est certes pas du iodure de fer ) ...

Bien cordialement, JLB

Rescassol

Bonjour,

Non, c'est une coÏncidence, D'ailleurs, si c'était le cas, par permutation circulaire, $Fe$ et $I$ seraient aussi alignés avec $J_1$ et $J_3$.

Cordialement,
Rescassol