Montrer que l'adhérence d'une partie est fermée

jbil

Bonjour,

J'ai rouvert un vieux cours de topologie et je bute sur la démonstration que l'adhérence d'une partie $A$ d'un espace topologique $(X,T)$ est fermée.

Voici la démonstration proposée dans le cours :  Soit $x \in {\overline A}^c$, il existe un voisinage $V_x$ de $x$ dans $X$ ne rencontrant pas $A$. Donc $V_x \subset {\overline A}^c$, qui est donc ouvert.

Ce que je ne comprends pas est la partie "Donc $V_x \subset {\overline A}^c$".

En effet, comme $V_x$ ne rencontre pas $A$, il me semble qu'il est plus juste de dire que $V_x \subset A^c$. Auquel cas je ne sais pas comment poursuivre la démonstration pour prouver que ${\overline A}^c$ est ouvert.

Merci d'avance pour toute aide.

Congru

En effet, tu peux trouver un contre exemple à cet argument.

ex: dans le plan, tu peux prendre deux disques fermés dont l'intersection est un singleton.

Congru

Tu peux corriger cette démo en commençant par prouver que l'adhérence de l'adhérence c'est l'adhérence.

Ensuite tu prends $V_x$ qui ne rencontre pas l'adhérence.

raoul.S

Ce que je ne comprends pas est la partie "Donc $V_x \subset {\overline A}^c$ "

En effet comme l'a fait remarquer Congru c'est une coquille. Il faut ajouter ouvert dans ton cours à propos de $V_x$, ça donne :  "il existe un voisinage ouvert $V_x$ de $x$" etc. Et là ça marche car un ouvert est voisinage de chacun de ses points.

Foys

Soit $x$ non adhérent à $A$. Soit $V$ un voisinage de $x$ ne rencontrant pas $A$. Soit $W$ un ouvert de l'espace contenu dans $V$ et tel que $x\in W$. Alors aucun élément de $W$ n'est adhérent à $A$ (en effet $V$ est un voisinage de tels éléments et ne renontre pas $A$). Donc en fait $x$ est intérieur au complémentaire de l'adhérence $A$ et ce complémentaire est un ouvert de $X$ ce qui conclut (il vaut mieux publier ce genre d'exercice avec les définitions des notions puisque pour certains auteurs l'adhérence d'une partie est par définition le plus petit fermé qui la contient).

jbil

Merci à tous

@Foys : Vous avez raison. Je me rends compte qu'il faut préciser les éléments utilisables pour la démonstration.

A ce stade de ce cours, seuls étaient définis le voisinage d'un point, puis l'adhérence d'une partie $A$ comme l'ensemble des points pour lesquels tout voisinage rencontre $A$.

Cependant vous m'avez tout de même fourni une très bonne piste que je vais exploiter dans un message ultérieur.

Merci

jbil

Je soumets à la sagacité des uns et des autres ma démonstration afin d'enrichir le cours de topologie cité plus haut de notes personnelles.

Au passage, en avançant sur ce sujet je me rappelle du prof et de sa méthode. Il avait l'habitude de faire ce genre de raccourcis dans les démonstrations pour nous obliger à chercher.

Démonstration : Pour montrer que $\overline A$ est fermé, nous allons montrer que le complémentaire est ouvert.

Soit $x \in {\overline A}^c$ et $V_x$ un voisinage de $x$ ne rencontrant pas $A$. Ce voisinage existe puisque $x$ n'est pas adhérent à $A$.

Soit alors $O_x$ un ouvert contenant $x$ et inclus dans $V_x$. Alors $O_x \cap \overline A = \emptyset$.

En effet, si $y \in O_x \cap \overline A$, alors $y \in \overline A$. Mais $y \in O_x \subset V_x$. Donc $V_x$ est voisinage de $y$ et comme $V_x$ ne rencontre pas $A$, $y \notin \overline A$.

C'est une contradiction. Par conséquent $O_x \cap \overline A = \emptyset$.

Il vient alors que $O_x \subset {\overline A}^c$.

Ceci montre que ${\overline A}^c$ est voisin de chacun de ses points. C'est donc un ouvert. Ce qui induit que $\overline A$ est fermé.

Bien cordialement

Champagne

Voisinage ouvert... 

raoul.S

jbil a dit : 
Alors $O_x \cap \overline A = \emptyset$.
En effet, si $y \in O_x \cap \overline A$, alors $y \in \overline A$. Mais... C'est une contradiction. Par conséquent $O_x \cap \overline A = \emptyset$.

Tu peux remplacer toute cette partie par : Alors $O_x \cap \overline A = \emptyset$. En effet $O_x \cap \overline A \subset V_x \cap \overline A =\emptyset$.

Edit : mal réveillé.

GaBuZoMeu

Bonjour,

La démonstration est parfaitement correcte sans aucune modification ni ajout.

Rappel : un ouvert de $X$ est une partie $U\subset X$ tel que, pour tout $x\in X$, $U$ contient un voisinage (et donc est un voisinage) de $x$.

Il est inutile de préciser "voisinage ouvert".

Non, j'ai mal lu la démonstration ! Il faut effectivement prendre $V_x$ ouvert.