Problème sur les opérateurs / analyse complexe
Salut ! Auriez-vous une idée pour déduire l'expression (en jaune) à partir de l'expression de l'opérateur f(A) ? j'avais pensé au théorème des résidus, mais le problème est qu'aucun pôle ne se trouve à l'intérieur du contour car $\lambda$ se trouve à l'extérieur de $S_{\alpha}$ qui lui contient le contour.
si jamais voici la définition de S_alpha et A est un opérateur pas forcément borné


si jamais voici la définition de S_alpha et A est un opérateur pas forcément borné


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Si $f = \frac{1}{\lambda - \cdot}$, alors $\lambda$ est un pôle simple de $f$, non ?
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Bibix a dit :Si $f = \frac{1}{\lambda - \cdot}$, alors $\lambda$ est un pôle simple de $f$, non ?
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Bibix a dit :Si $f = \frac{1}{\lambda - \cdot}$, alors $\lambda$ est un pôle simple de $f$, non ?
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Si le spectre de $A$ est inclus dans $S_{\alpha}$, alors pour tout $z$ appartenant au contour $\Gamma$, on a $\rho(A)< |z|$, donc la série de terme $\frac{\|A^n\|}{|z^n|}$ converge bien, donc $(zI-A)^{-1}=\frac{1}{z}(I-\frac{1}{z}A)^{-1}=\frac{1}{z}(I+\frac{1}{z}A+ \cdots +\frac{1}{z^n}A^n+ \cdots)$.Soit $\phi$ une forme linéaire continue sur la $C^*$-algèbre dans laquelle on travaille (c'est-à-dire contenant $A$).$\phi(\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^n dz)=\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}}\phi( A^n)dz=2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}\phi(A^n)$ si $n=0$, et $0$ sinon (par le théorème des résidus, car $f=\frac{1}{\lambda- \cdot}$ n'a pas de pôle, ni de zéros dans $S_{\alpha}$).Ceci étant valable pour tout $\phi$, on a $\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^ndz=2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}A^n$ si $n=0$, et $0$ sinon.Donc $2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}I=\sum_n \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^ndz=\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2} (zI-A)^{-1}dz$.Non, je dois me tromper...
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marco a dit :Si le spectre de $A$ est inclus dans $S_{\alpha}$, alors pour tout $z$ appartenant au contour $\Gamma$, on a $\rho(A)< |z|$, donc la série de terme $\frac{\|A^n\|}{|z^n|}$ converge bien, donc $(zI-A)^{-1}=\frac{1}{z}(I-\frac{1}{z}A)^{-1}=\frac{1}{z}(I+\frac{1}{z}A+ \cdots +\frac{1}{z^n}A^n+ \cdots)$.Soit $\phi$ une forme linéaire continue sur la $C^*$-algèbre dans laquelle on travaille (c'est-à-dire contenant $A$).$\phi(\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^n dz)=\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}}\phi( A^n)dz=2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}\phi(A^n)$ si $n=0$, et $0$ sinon (par le théorème des résidus, car $f=\frac{1}{\lambda- \cdot}$ n'a pas de pôle, ni de zéros dans $S_{\alpha}$).Ceci étant valable pour tout $\phi$, on a $\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^ndz=2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}A^n$ si $n=0$, et $0$ sinon.Donc $2i \pi\frac{-f(0)}{\omega^2}I=\sum_n \int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2}\frac{1}{z^{n+1}} A^ndz=\int_{\Gamma} \frac{f(z)}{z^2- \omega^2} (zI-A)^{-1}dz$.Non, je dois me tromper...
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Je viens de réussir à montrer que $(\dfrac{1}{λ-z})(A)x = (λ-A)^{-1}x$ est équivalent à dire que 1(A)=id, où f(z)=1. Donc j'aimerai montrer cette seconde expression qui me semble plus simple, mais je suis encore face au problème avec le pôle.
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