Pappus caché dans Yaglom

gipsyc
Modifié (May 2024) dans Géométrie
Bonjour,

Un problème sur le théorème de Yaglom.

Pour rappel : 

Prenons 3 cercles a, b, c tangents comme sur le schéma, définissant trois points de contact D, E et F.

Au départ d'un point quelconque G sur le premier cercle, projetons-le directement ou indirectement sur le
troisième cercle c au travers des points de contact, d'un cercle à l'autre.
Le théorème de Yagloo nous dit que les points U et X obtenus directement ou indirectement forment un diamètre du troisième cercle.

Et maintenant le problème.

Soient

  • 3 cercles 1, 2 and 3 de centre O₁︎, O₂︎ et O₃︎  tangents en T₁︎, T₂︎ et T₃︎.

Soit un point P₁︎ défini par les critères  suivants, à des fins de standardisation du problème :

  • droite 𝑝 par O₁︎ parallèle à O₂︎O₃︎ 
  • 𝑝 ∩  cercle 1 = {X} de sorte que  XT₂︎  < XT₃︎ 
  • Y = antipôle de T₃︎  sur le cercle 1

Plaçons le point  P₁︎,sur l'arc mineur (XY). Tout autre positionnement donnerait une construction différente mais équivalente.


Ensuite, en utilisant une règle , projetons P₁︎  successivement d'un cercle à l'autre, dans le sens antihoraire, au travers des points de contact T₃︎,  T₁︎  et T₂︎, ce qui nous donne les points P₂︎, P₃︎ et P₄︎ sur les cercles 2, 3 et 1.

Par le théorème  de Yaglom, P₄︎ est l'antipôle de P₁︎ dans le cercle 1.

De la même manière, dans le sens horaire au travers des points T₂︎, T₃︎ et T₁︎, on obtient à partir du point P₁︎ les points P₃︎' , P₂︎' et P₄︎' sur les cercles 3, 2 et 1.

Par le théorème de Yaglom P₄︎' = P₄︎, antipôle de P₁︎ dans le cercle 1.

Par le théorème de Yaglom P₁︎O₁︎P₁︎', P₂︎O₂︎P₂︎' et P₃︎O₃︎P₃︎' constituent dans chaque cercle un diamètre.

Par le théorème de Reim, ces trois diamètres, non représentés sauf le premier, sont parallèles entre eux.

Poursuivons notre problème. Par analogie (mais pas exactement) avec le théorème de Pappus, soient 

  • P₁︎P₂︎ ∩ P₃︎P₄︎ = B
  • P₁︎P₃︎ ∩ O₁︎P₃︎ = C
  • P₄︎P₂︎' ∩ O₁︎P₂︎ = A

Finalement, les questions : montrez que

  • le point B est sur le cercle inscrit au △O₁︎O₂︎O₃︎  
  • les points A, B et C sont alignés

En déduire d'autres triplets de points alignés.

Cordialement,


Jean-Pol Coulon 

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