La suite 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4, etc...

Un petit exo.

Je considère la suite
$u_1 = 1$
$u_2 = u_3 = 2$
$u_4 = u_5 = u_6 = 3$
$u_7 = u_8 = u_9 = u_{10} = 4$
etc...

Comment attraper une expression explicite de $u_n$ ?

On a

$\dfrac{u_n(u_n - 1)}{2} + 1 \leq n \leq \dfrac{u_n(u_n - 1)}{2} + u_n$

Puis
$u_n^2 -u_n+2 \leq 2n < u_n^2 + u_n + 1$

Puis
$\sqrt{2n-3/4} - 1/2 < u_n \leq \sqrt{2n-7/4} + 1/2$

Puis
$\lfloor \sqrt{2n-3/4} - 1/2 \rfloor  < u_n  \leq \lfloor \sqrt{2n-7/4} + 1/2 \rfloor$

Il me "reste" à montrer que la différence des deux extrémités est $\leq 1$.

Avez-vous plus simple ?

PS : en écrivant ce message, je me dis que j'aurais dû d'abord regarder sur l'OEIS. Bingo, j'ai trouvé un article... Bon, je laisse quand même mon message !

Réponses

  • Bonjour,
    Je trouve: $\quad u_n =\Big\lceil{ \dfrac {\sqrt{8n+1}-1}2\Big\rceil }$
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