Tension d'une somme de VA

Fulgrim

Bonsoir à tous, 
J'ai $(X_n)_n, (Y_n)_n$ deux familles de variables aléatoires (VA) à valeurs dans un espace topologique $\mathcal{S}=D_E[0,\infty]$ (l'espace des fonctions càdlàg à valeurs dans $E$) telles que $X_n$ converge en loi vers $X$ et $Y_n$ converge en loi vers $Y$. Il est faux d'en déduire que $X_n + Y_n$ converge en loi vers $X+Y$. En revanche je pense avoir démontré que la famille $(X_n+Y_n)_n$ est tendue, en particulier il existe une sous-suite qui converge vers une VA $Z$, (qui peut être différente en loi de $X+Y$). Est-ce que ce résultat est vrai ?

Mon raisonnement est le suivant :
 - $(X_n)_n$ et $(Y_n)_n$ sont tendues, donc pour tout $\epsilon >0$ il existe un compact $K¹_\epsilon \subset \mathcal{S}$ tel que $\mathbb{P}(X_n \in K_\epsilon) > 1-\epsilon$. Idem pour un compact $K^2_\epsilon$ pour la famille $(Y_n)_n$.
 - les compacts de $\mathcal{S}$ sont caractérisés par le théorème sur la capture d'écran jointe (tirée du "Billingsley, convergence of probability measures").
 - avec un peu de patience, à partir de $X_\epsilon^1$ et $X_\epsilon^2$ et des critères du théorème, je peux construire un compact $K_\epsilon$ tel que $\mathbb{P}(X_n+Y_n \in K_\epsilon) > 1-\epsilon$, CQFD.

Est-ce que ma stratégie a une chance de marcher ? Quelle que soit la réponse, le théorème est-il quand même vrai ?

Calli

Salut,
Il me semble qu'on peut remplacer tes étapes 2 et 3 par ce qui suit (prouvant que ton théorème est vrai).
On a $\Bbb P(X_n+Y_n\in K^1_\epsilon+ K^2_\epsilon)\geqslant \Bbb P(X_n\in K^1_\epsilon\text{ et }Y_n\in  K^2_\epsilon)>1-2\epsilon$. Et $K^1_\epsilon+ K^2_\epsilon$ est compact car l'application $(f,g)\in \mathcal{S}^2\mapsto f+g$ est continue.

Fulgrim

Ah oui, c'est encore plus simple merci ! c'est $K^1_\epsilon + K^2_\epsilon$ que je construisais bien sûr haha.
Par contre j'étais sur le point d'écrire que mon théorème me paraît faux, car j'en déduis un théorème faux de la manière suivante :

$((X_n,Y_n,X_n+Y_n))_n$ est tendue par mon théorème.
Ainsi, pour toute sous-suite $n_k$, il existe une sous-sous-suite $n_{k_l}$ telle que $(X_{n_{k_l}},Y_{n_{k_l}}, X_{n_{k_l}}+Y_{n_{k_l}}) \mapsto (X,Y,Z)$ en loi. Or, $X_{n_{k_l}}+Y_{n_{k_l}} = f(X_{n_{k_l}},Y_{n_{k_l}})$, où $f$ est la fonction continue somme. Donc $X_{n_{k_l}} + Y_{n_{k_l}} \mapsto f(X,Y) = X+Y$.
Cette limite étant la même pour toute sous-suite, on a bien que $X_n+Y_n \mapsto X+Y$ en loi.
Or cette conclusion est fausse, en général... Pour trouver l'erreur maintenant je sèche ^^"

Fulgrim

Je pense que l'erreur se situe quand je suppose implicitement que $(X,Y)$ a la même loi quelle que soit la sous-suite que je prends. C'est faux, à chaque choix de sous-suite correspond sa loi jointe limite $(X,Y)$.
Merci pour ton aide

Calli

Oui c'est ça ! En fait il faudrait plutôt dire : il existe une sous-suite $(n_{k_l})$ telle que $(X_{n_{k_l}},Y_{n_{k_l}}, X_{n_{k_l}}+Y_{n_{k_l}}) \overset{\rm loi}\longrightarrow (X',Y',Z)$ avec $X'\sim X$ et $Y'\sim Y$. Donc $X_{n_{k_l}} + Y_{n_{k_l}} \overset{\rm loi}\longrightarrow  X'+Y'$, où la loi de $X'+Y'$ dépend de la sous-suite.