Un exercice de probabilités

Bonjour,
Je voudrais vous soumettre une question de probabilités à laquelle je n'arrive pas à répondre.

On considère une urne qui contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ indiscernables au toucher. On effectue une suite infinie de tirages. Quand on tire la boule $k$, on la remet dans l'urne et on enlève toutes les boules ayant un numéro $>k$. On note $X_{i}$ le numéro de la boule obtenue au $i$-ème tirage. Je me demandais ce que valait la limite de la suite $(P(X_{k}=1))$ lorsque $k$ tend vers l'infini.

C'est une suite croissante et majorée par $1$, donc, cette suite est convergente. Intuitivement, j'ai envie de dire qu'elle tend vers $1$, mais je ne parviens pas à le démontrer.

Auriez-vous une idée ?

Merci pour votre aide,

$\alpha$-Nico

Réponses

  • Bonjour. 

    Intuitivement, le numéro le plus élevé diminue. La probabilité qu'il reste le même indéfiniment est nulle, donc avec probabilité 1 le numéro le plus grand tend vers 1 et la suite de ces numéros devient stationnaire à 1 à partir d'un tirage. 

    Cordialement. 
  • LOU16
    Modifié (4 May)
    Bonsoir,
    $\forall (k,i)\in \N^*\times [\![1;n]\!], \quad p_{k i}:= \mathbb P(X_k=i)$
    $U_k :=(p_{k1},\:p_{k2},....p_{kn}),\quad A =(a_{ij})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in \mathcal M_n(\R) $ est définie par: $a_{ij} =\left\{\begin{array}{cc} \dfrac 1i&\text{ si }j\leqslant i\\0& \text{sinon.}\end{array}\right.$
    Alors:$\quad \mathbb P(X_{k+1}=j)=\displaystyle \sum_{i=j}^n\dfrac 1i \mathbb P (X_k =i)\: \:$ s'écrit: $\:\:\forall k\in \N^*,\:\:U_{k+1} =U_kA,\quad U_k =U_1 A^{k-1} ,\:\:\: U_1 =(\frac1n,\frac 1n,...\frac1n).$
    $A$ est diagonalisable, $\:\text {Sp }(A) =\Big\{\dfrac 1i \mid i\in[\![1;n]\!]\Big\},\:\: E: =(1,0,...0) \:$ engendre $\ker (A-\mathrm I_n).$
    $\forall i\in[\![2;n]\!],\:\:$soit $E_i\in \R^n$ tel que $\:\:\:\ker\left(A-\dfrac 1i\mathrm I_n\right) =\text{Vect}( E_i).\:\: \exists\: a,a_2,...a_n\in \R\: $tels que $U_1 =aE+\displaystyle\sum_{i=2}^n a_iE_i.$
    Ainsi: $\quad \displaystyle U_k =aE+\sum_{i=2}^n a_i\left(\dfrac 1i\right) ^{k-1}E_i, \quad \lim _{k\to +\infty} U_k =aE=  E, .\quad  \boxed{\lim_{k\to +\infty}\mathbb P(X_k=1) =  \lim_{k\to +\infty}p_{k1} =1.}$
    D'autre part, si on définit $T:=\inf\Big \{k\in \N^*\mid X_k =1\Big\},\:\:$ alors: $\quad\boxed{\forall n \geqslant 2, \:\:\:\mathbb E(T)=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \dfrac 1k.}$

  • Merci LOU16 pour cette réponse algébrique très convaincante !
    Merci Gerard0 pour cette réponse analytique tout aussi convaincante !
    J'étais de mon côté parti sur une preuve plus orientée "probas", peut-être avec l'utilisation d'une formule classique comme la formule des probabilités totales, mais je n'y suis pas parvenu...


  • Bonsoir,

    Pour une preuve plus probabiliste on peut remarquer que, à chaque instant, on a au moins une probabilité $1/n$ de tirer la boule $1$ (il y a au plus $n$ boules), indépendamment de ce qui s'est passé avant. Or
    $$\{X_k>1\}\subset\{X_1\neq 1,X_2\neq 1,\dots,X_{k-1\neq 1}\}$$.
    Donc
    $$\mathbb{P}(X_k>1)\leq (1-1/n)^{k-1}$$
  • Si tu veux un raisonnement probabiliste, inspire toi de ce  sujet http://mathsece.free.fr/sujetsentiers/HEC_2000_E_2-c.pdf
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


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