Fermé et topologie de la convergence uniforme

Blanc

Bonjour,
Merci de me donner une piste pour démontrer ce qui suit:

bisam

Si je ne m'abuse si $n\neq p$, $\|f_n-f_p\|_{\infty}=\|f_{n-p}-f_0\|_{\infty}\geq\|f_1-f_0\|_{\infty}>0$ et par conséquent, une suite d'éléments de $H$ ne peut converger que si elle est stationnaire.

Blanc

Bonjour Bisam,

Ta solution est trop abrupte pour moi.
Aurais tu la gentillesse de m'en détailler chacune des étapes ?
En te remerciant pour ta patience.

Blanc

Bonjour Bisam,

En fait  je ne vois pas comment on se rend  compte que la norme infinie de fn-fp est égale à la norme infinie
de fn-p  - f0.  Sinon tout est clair et je trouve trés jolie ta solution.

raoul.S

En fait  je ne vois pas comment on se rend  compte que la norme infinie de fn-fp est égale à la norme infinie
de fn-p  - f0. 

Car cet ensemble $\{\dfrac{1}{1+(x-p)^2}-\dfrac{1}{1+(x-n)^2}\mid x\in \R\}$ est égal à cet ensemble (changement de variable $x=y+p$) $\{\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+(y-(n-p))^2}\mid y\in \R\}$. 

Blanc

Merci Raoul
Le niveau de l'exercice était trop élevé pour moi.
Je reste admiratif devant la solution de Bisam  et ton explication est trés claire.

Merci beaucoup à vous deux .

Blanc

raoul.S

Pour rester moins ébloui il faut que tu constates que les $f_n$ sont des translations (entières) vers la droite  de la fonction $f_0$. Voici par exemple $f_0$ en bleu suivie de $f_1$ en rouge et $f_2$ en orange :

 

Donc on voit que la norme infinie entre deux telles fonctions ne peut pas se rapprocher de $0$...

zygomathique

salut

qu'on peut encore traduire très simplement par $ f_n(x) = f_0(x - n)$