Si les $X_n$ sont i.d alors $X_n/n$ converge presque sûrement ?

troisqua

Bonjour,

tout est dans le titre ! J'ai des $X_n$ réelles intégrables sur le même espace probabilisé et suivant la même loi. Je cherche à montrer que $\frac{X_n}{n}$ converge presque sûrement vers 0. J'ai pensé à utiliser la loi de queue et de faire apparaître ainsi des $\int P(X_n>t) dt$ mais ça ne débouche pas sur grand chose. Je pense que c'est classique mais j'avoue honteusement sécher. Une piste ?

troisqua

Je me réponds !

En écrivant $E\left(\left|X_{1}\right|\right)$ comme l'intégrale des $P\left(\left|X_{1}\right|>t\right)$ de $0$ à $+\infty$ et en utilisant Chasles sur les intervalles $\left[n\varepsilon;\left(n+1\right)\varepsilon\right]$ je pense avoir montré que $P\left(\left|X_{n+1}\right|>\left(n+1\right)\varepsilon\right)$ était le terme général d'une série convergente, ce qui doit permettre de conclure.

Bibix

Bonjour,

ça ne doit pas être évident de montrer ça car par exemple en prenant la densité $p(x) = \frac{1_{x > 1}}{x^2}$, on obtient $\mathbb{P}(|X_n| > n \varepsilon) = \frac{1}{n \varepsilon}$ pour tout $\varepsilon > 0$ donc on peut dire adieu à Borel-Cantelli.

Edit : Je n'avais pas vu que $X_n$ est supposée intégrable.

Lucas

Bonjour,

Le résultat est vrai. Une indication pour le prouver : montrer que pour tout $m\geq 1$, la variable aléatoire $Y_m=\sum_n \mathbf{1}_{X_n/n \geq 1/m}$ est finie.

troisqua

Merci Lucas et Bibix pour vos réponses. De mon côté j'ai écrit : Soit $\varepsilon>0$. On a :

$$E\left(\left|X_{1}\right|\right)=\int_{0}^{+\infty}P\left(\left|X_{1}\right|>t\right)dt=\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{k\varepsilon}^{\left(k+1\right)\varepsilon}P\left(\left|X_{1}\right|>t\right)dt\geqslant\sum_{k=0}^{+\infty}\int_{k\varepsilon}^{\left(k+1\right)\varepsilon}P\left(\left|X_{1}\right|>\left(k+1\right)\varepsilon\right)dt$$ donc $E\left(\left|X_{1}\right|\right)\geqslant\sum_{k=0}^{+\infty}\varepsilon P\left(\left|X_{1}\right|>\left(k+1\right)\varepsilon\right)=\sum_{k=0}^{+\infty}\varepsilon P\left(\left|X_{k+1}\right|>\left(k+1\right)\varepsilon\right)$ donc  \[ \sum_{k=0}^{+\infty}P\left(\frac{\left|X_{k+1}\right|}{k+1}>\varepsilon\right)\leqslant\frac{E\left(\left|X_{1}\right|\right)}{\varepsilon}\] ce qui permet de conclure il me semble.

Georges Abitbol

J’ai une démonstration rigolote. Soient, pour tout $n$, $S_n = \sum^{n-1}_{k=0} X_m$. Alors $\frac{X_{n+1}}{n+1} - \frac{S_{n}}{n(n+1)} = \frac{S_{n+1}}{n+1} - \frac{S_{n}}{n}$. Or, par la loi forte des grands nombres, $\frac{S_{n+1}}{n+1} - \frac{S_{n}}{n}$ et $\frac{S_{n}}{n(n+1)}$ tendent vers $0$ Presque sûrement, donc $\frac{X_{n+1}}{n+1}$ aussi.

Bibix

Mais on n'a aucune information sur la dépendance entre les $X_m$... Comment fait-on pour appliquer la loi forte des grands nombres dans ce cas ?

Georges Abitbol

Ah j’avais lu « iid » dans le titre… Mince.