Dénombrement, principe des tiroirs et fonctions constantes

Joaopa

Bonjour à tous,

voici un exercice posé par un collègue. Soit $A$ et $B$ deux ensembles infinis, $C$ un ensemble fini non vide de cardinal $c$ et $d$ un entier naturel non vide. Pour toute fonction $f:A\times B\to C$,  existe t-il un sous-ensemble fini $E$ de $A$ et un sous-ensemble $F$ de $B$ tous deux de cardinal au moins $d$ tels que $f$ soit constante sur $E\times F$? Si oui, 

Dans le cas où $A$ et $B$ sont tous deux dénombrables, $A=\{a_0,a_1,\cdots\}$ et $B=\{b_0,b_1,\cdots\}$, si on note $A_g=\{a_0,\cdots,a_g\}$ (de même pour $B_g$) pour un entier $g$, peux t'on trouver un $g$ indépendant de $f$ tels que l'on peut prendre $E$ dans $A_g$ et $F$ dans $B_g$?

Pour la première partie, moralement on se dit que si on choisit un élélemnt de $A$ et si on prend suffisamment d'élements dans $B$ de sorte qu'avec le principe des tiroirs, on a une image qui revient très souvent, ,on pourra choisir des éléments de $A$ dont on va retomber sur la même image.

Mais bon comment quantifier?

Merci d'avance pour vos idées.

JLT

Soit $B'\subset B$ de cardinal $c(d-1)+1$. Soit $A'\subset A$ de cardinal $\geqslant (d-1)c^{c(d-1)+1}+1$. Considérons
$$\varphi : A'\to C^{B'},\quad \varphi(a)(b)=f(a,b).$$
Comme $|C^{B'}|=c^{c(d-1)+1}$, on a $|A'|>(d-1)|C^{B'}|$ donc il existe $h\in C^{B'}$ tel que $|\varphi^{-1}(h)|\geqslant d$. Soit $E\subset A'$ de cardinal $d$ tel que $\forall a\in E$, $\forall b\in B'$, $f(a,b)=h(b)$.
Comme $|B'|>(d-1)|C|$, il existe $x\in C$ tel que $|h^{-1}(x)|\geqslant d$. Soit $F\subset h^{-1}(x)$ tel que $|F|=d$. Alors $f$ est constante sur $E\times F$.
Ceci répond aux deux questions : on peut prendre $g=(d-1)c^{c(d-1)+1}+1$.

Joaopa

Super. Merci JLT. Je me mélangeais les pinceaux dans les choix des différents cardinaux.