Des ressources pour apprendre en profondeur la théorie des ordinaux ?

lordeji

Alors en préambule je vais être concis pour ce que je demande et expliquer plus en détails mes recherches dans le paragraphe suivant pour ceux que ça intéresse.

J'ai une connaissance basique des ordinaux sur leur motivation, leur concept, leur construction, le fait qu'ils soient bien définis avec un bon-ordre, comment les manipuler et quelques exemples d'applications (uniquement issus de la chaîne youtube de "El Jj", cf. "Deux (deux ?) minutes pour... l'hydre de Kirby & Paris" et "Le plus grand de tous les nombres ?! - Deux (deux ?) minutes pour...").
Pour moi, par mon manque de connaissance sur ce sujet, cette théorie me semble n'être qu'un "jeu" mathématique, bien que tout les "jeux" mathématiques deviennent des outils bien concrets par le destin, et pourtant j'ai bien conscience que certains de ces outils sont utilisés dans des théorèmes majeurs (j'ai souvent entendu parler de "récurrence transfinie" en algèbre linéaire) et j'espère changer d'avis à ce sujet !
J'aimerais donc savoir si il existe des ressources gratuites, pas forcément élémentaires, creusant plus dans cette théorie. Quels sont les autres applications ? Existe-t-il une limite à la construction des ordinaux et si oui, pourquoi ? Et sûrement pleins d'autres questions que je me poserais au fur et à mesure que j'en apprendrai !
De préférence, j'aimerais des ressources à but d'enseignement car je n'ai très clairement pas le niveau pour lire des papiers de recherches à ce sujet et tout comprendre, mais ça ne me dérange pas de jeter un coup d’œil pour voir quelques résultats intéressants ou des exemples d'applications poussés.

Pour l'instant, la seule ressource intéressante que j'ai trouvé est cet extrait de cours : http://denif.ens-lyon.fr/data/logique_ulm/2007/cours/DehornoyChap2.pdf
Grâce au nom d'Url j'ai trouvé l'auteur, Mr. Patrick Dehornoy, malheureusement décédé en 2019, paix à son âme à cet homme que j'ai découvert pendent mes recherches et qui semble avoir eu un grand parcours, et beaucoup de ses cours n'étaient plus accessibles sur internet.
Heureusement, il existe un site d'archive qui contient ses notes de cours et j'ai donc pu retrouver tout le document lié au chapitre du lien ci-dessus (voir "Logique et théorie des ensembles, Notes de cours, FIMFA ENS, version 2006-2007" sur ce site : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/surveys.html) et dans mes recherches, j'ai vu que les ordinaux étaient généralement traités comme un simple chapitre dans des bouquins de théorie des ensembles ce qui n'est pas ce que je cherche car justement ils ne vont pas plus loin que ce que je connais déjà.

Renart

Effectivement les ordinaux ne sont pas qu'un jouet de matheux, la récurrence transfinie le prouve. Quant à l'hydre de Kirby et Paris c'est un résultat qui montre que ZFC et strictement plus forte que Peano, ce n'est pas rien... .

Je ne suis pas un spécialiste des ordinaux, je te donne donc des exemples d'applications issus de ce que je connais. En théorie de la mesure les ordinaux interviennent souvent. Ils permettent par exemple d'expliciter un peu plus la forme générale d'un Borélien de $\R$, ceci permet notamment de démontrer que la tribu de Borel a le même cardinal que $\R$ (et donc qu'elle est différente de la tribu de Lebesgue). En théorie des ensembles les ordinaux permettent de donner un sens à la notion de cardinal (et pas simplement de la comparaison de cardinaux).

Pour ta demande de livre je n'ai rien à te proposer mais je suis un peu surpris que la référence de Dehornoy ne te convienne pas. Si j'ai bien compris ce que tu dis 40 pages de cours sur les ordinaux devraient tout de même t'en apprendre un peu plus sur les ordinaux que deux vidéos de vulgarisations, fussent-elles d'El Jj.

Et pour ta question sur une limite de constructions d'ordinaux je ne suis pas certain de ce que tu veux dire par là. Pour tout ordinal $\alpha$ on peut toujours considérer $\alpha+1$, il n'y a donc pas le plus grand ordinal. Dans le même genre si $\alpha$ est un ordinal alors, vu comme un ensemble, on peut regarder $\mathcal P(\alpha)$ qui est l'ensemble des parties de $\alpha$. On peut munir $\mathcal P(\alpha)$ d'un bon ordre ce qui donne un nouvel ordinal $\beta$ et comme le cardinal de $\beta$ est strictement supérieur à celui de $\alpha$ on a $\alpha <\beta$.

Thierry Poma

Que penser du livre de Jean-Louis Krivine, certes de lecture difficile, mais qui aborde dès la page 19 le concept d'ordinal ?

Renart

J'en profite pour mettre un exercice de théorie de la mesure qui peut se résoudre joliment via les ordinaux.

Soit $(X,T,\mu)$ un espace probabilisé tel que pour tout $A\in T$ non négligeable il existe un ensemble mesurable $B\subset A$ tel que $0<\mu(B)<\mu(A)$. Montrer qu'il existe un ensemble mesurable de mesure $1/2$.

Il existe aussi des résolutions "à la main" sans passer par les ordinaux mais elles demandent, à ma connaissance, plus d'astuce.

nicolas.patrois

Je propose le livre de Martial ?

Le livre Ensembles de nombres ?

Tous les deux sont disponibles en pdf à partir du phôrum.

Poirot

@Renart : Je suis très intéressé par une correction. J'ai envie de faire la construction transfinie suivante : 

Je prends $A_0 = X$. Si $A_{\alpha}$ est défini et vérifie $\mu(A_{\alpha}) > \frac12$, je prends pour $A_{\alpha + 1}$ un des $B$ que l'on peut trouver inclus dans $A_{\alpha}$ par hypothèse vérifiant de plus $\mu(A_{\alpha + 1}) \geq \frac12$, ce que je peux trouver, quitte à considérer le complémentaire dans $A_{\alpha}$ d'un tel $B$ (et évidemment pour $\lambda$ limite, $A_{\lambda}$ est l'intersection des $A_{\alpha}$ avec $\alpha < \lambda$).

Est-ce le genre de chose que tu as en tête ?

Renart

C'est ça oui ! Je ne suis pas sûr de comprendre la construction de ton $B$, il faut être un peu plus précis. Par exemple si $\mu(A) = 3/4$ et que l'on obtient un ensemble $B$ de mesure $3/8$ on est bloqué. L'idée est de découper $A$ en $2^n$ ensembles de mesure strictement positive, l'un d'eux forcément sera de mesure $\le 1/2^n$ de sorte que $A\backslash B$ sera bien de mesure supérieure à $1/2$ pour $n$ assez grand.

On a donc une suite décroissante d'ensembles $(A_\alpha)_{\alpha \in \Omega}$ (où $\Omega$ est le premier ordinal non dénombrable) avec la convention que la suite est stationnaire à partir du rang $\alpha$ si $\mu(A_\alpha)=1/2$. Puisque les $\alpha \in \Omega$ sont tous dénombrables les $A_\alpha$ sont tous mesurables. 

Supposons que $(\mu(A_\alpha))_{\alpha \in \Omega}$ soit strictement décroissante, on aurait alors une suite indénombrable de réels, strictement décroissante et minorée. Ceci est absurde car une famille indénombrable de réels non nuls n'est jamais sommable. Il existe ainsi un ensemble $A_\alpha$ tel que $\mu(A_\alpha)=1/2$.

Poirot

Oui tu as raison, mon choix de $B$ n'est pas clair. Je l'ai fait pour $\alpha = 0$ et me suis dit que ça marchait à chaque étapes. Merci pour la correction. Je me demande quel genre d'énoncés similaires des "maths de tous les jours" on pourrait traiter de cette manière avec les ordinaux.

Médiat_Suprème

Un très beau théorème qui se démontre en 3 lignes avec les ordinaux : la convergence des suites de Goodstein.

raoul.S

Concernant l'exo de @Renart il me semble que l'on peut utiliser le même type de preuve pour montrer plus généralement que pour tout $x\in [0,1]$ il existe un mesurable $A$ tel que $\mu(A)=x$. Ou bien quelque chose m'échappe ?

Renart

Oui le $1/2$ n'a rien de spécial, on aurait pu prendre $1/\pi$.

bisam

Autre exercice utilisant les ordinaux (que l'on trouve dans Krivine, il me semble... mais je dis ça de mémoire en l'ayant lu il y a 25 ans) : on peut montrer que pour toute famille dénombrable de cercles 2 à 2 disjoints de l'espace, il existe une famille de cercles 2 à 2 disjoints contenant la précédente et dont la réunion est l'espace tout entier.

lordeji

Bonjour, je tiens à remercier tout le monde pour vos réponses.
Même si je n'ai pas répondu plus tôt je prends compte de vos remarques, vos propositions d'exercices, vos recommandations et travaillerai dans mon temps personnel pour affiner mes connaissances.

Pour répondre plus précisément : 
@Renart La référence de Dohornoy m'était déjà suffisante en effet et je la trouve excellente maintenant que j'ai eu le temps de la feuilleter, mais je me disais que, peut-être, il y avait d'autres ressources encore plus complète que celle là donc c'était une invitation à explorer encore plus comme, par exemple, @Thierry Poma et @nicolas.patrois (merci à vous) qui m'ont recommandé des livres sur la théorie des ensembles qui, certes, traitent des ordinaux mais dont le thème central n'est pas ces derniers.
J'avais déjà trouvé le livre de Jean-Louis Krivine mais il me semblait moins me correspondre car ayant comme objectif une construction élémentaire de la mathématiques par les axiomes ZF/ZFC (ce qui est fort intéressant mais je possède déjà des ressources à ce sujet).
Pour revenir à ma question "existe-t-il une limite à la construction d'ordinaux ?", mon esprit a été embrouillé par la notion de "cardinal inaccessible" qui, dans ma tête, est devenu "ordinal inaccessible" alors que je sais pertinemment que cardinaux et ordinaux sont des notions bien différentes...

Médiat_Suprème

Ceci dit, un cardinal étant un ordinal (c'est une des définitions)

SMI

Dehornoy était un grand bonhomme, je ne m'en suis pas assez rendu compte quand je l'ai eu comme prof...
Sa définition d'un grand cardinal est excellente. À chercher dans ses vidéo...