XENS MP Maths A 2024

OShine

Oui bien vu l'équivalent est faux, merci pour la remarque c'est une coquille.
L'erreur est rectifiée.

Tony Schwarzer

OShine a dit :

22.c) Notons $S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \} $
On a : $S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 p_2 \mid n  \} = \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  E \left( \dfrac{x}{p_1 p_2} \right)$
$S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \dfrac{x}{p_1 p_2} + \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$
$S(x)=x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2- \displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2} + \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$
Mais d'après 20.c : $x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2 =x( \ln_2(x) +O(1) )^2=x \ln_2 ^2(x) + O(x \ln_2(x) ) $
Puis : $\displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2} =O(1)$ car la série $\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2}$ converge.
Enfin : $\left| \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\} \right| \leq \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} 1 \leq \displaystyle\sum_{p \leq x} E \left( \dfrac{x}{p} \right) \sim x \ln_2(x)$ d'après la question 21.b.
Donc : $\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\} = O( x \ln_2(x))$.
Ainsi : $S(x)= x \ln_2 ^2(x)+ O(x \ln_2(x))$.
Finalement : $\boxed{\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \}  - x \ln_2 ^2(x) = O(x \ln_2(x))}$.

Je ne vois pas en quoi la deuxième inégalité dans la ligne du "Enfin" est vraie. Une justification ?

OShine

@Tony Schwarzer
Tu as raison, il y a une coquille ici. L'inégalité est fausse.

OShine

@Tony Schwarzer
Voici la question avec la coquille corrigée.

22.c) Notons : $S(x)=\displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}} card \{ n \in \mathbf{N}^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \} $ 

On a : 

$S(x)=\displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}} card \{ n \in \mathbf{N}^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 p_2 \mid n  \} = \displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}}  E \left( \dfrac{x}{p_1 p_2} \right)$ 

$S(x)=\displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}} \dfrac{x}{p_1 p_2} -  \displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$ 

Donc : $S(x) \leq x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2- x\displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2}$ car la somme $\displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$ est une somme de termes positifs, elle est donc positive.  

Mais d'après la question 20.c : 

$x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2 =x( \ln_2(x) +O(1) )^2=x \ln_2 ^2(x) + O(x \ln_2(x) ) $ 

Par ailleurs : $x\displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2} =O(x)$ car la série $\displaystyle\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2}$ converge. 

Ainsi : $S(x)= x \ln_2 ^2(x)+ O(x \ln_2(x))$ 

Finalement : 

$$\boxed{\displaystyle\sum_{\stackrel{p_1,p_2 \leq x}{ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}} card \{ n \in \mathbf{N}^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \}  - x \ln_2 ^2(x) = O(x \ln_2(x))}$$