XENS MP Maths A 2024

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Réponses

  • 22.c) Notons $S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \} $
    On a : $S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 p_2 \mid n  \} = \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  E \left( \dfrac{x}{p_1 p_2} \right)$
    $S(x)=\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \dfrac{x}{p_1 p_2} + \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$
    $S(x)=x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2- \displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2} + \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\}$
    Mais d'après 20.c : $x \left( \displaystyle\sum_{p \leq x}  \dfrac{1}{p} \right)^2 =x( \ln_2(x) +O(1) )^2=x \ln_2 ^2(x) + O(x \ln_2(x) ) $
    Puis : $\displaystyle\sum_{p \leq x} \dfrac{1}{p^2} =O(1)$ car la série $\sum_{k \geq 1} \dfrac{1}{k^2}$ converge.
    Enfin : $\left| \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\} \right| \leq \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} 1 \leq \displaystyle\sum_{p \leq x} E \left( \dfrac{x}{p} \right) \sim x \ln_2(x)$ d'après la question 21.b.
    Donc : $\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}}  \left\{ \dfrac{x}{p_1 p_2}\right\} = O( x \ln_2(x))$.
    Ainsi : $S(x)= x \ln_2 ^2(x)+ O(x \ln_2(x))$.
    Finalement : $\boxed{\displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \}  - x \ln_2 ^2(x) = O(x \ln_2(x))}$.


  • impressionnant !
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • @gebrane
    C'est à ta portée non ? 

    22.d) 

    On utilise la question 22.a : $\dfrac{1}{x} \left( \displaystyle\sum_{n \leq x} (x(n)- \ln_2(x))^2 \right) = \dfrac{1}{x} \displaystyle\sum_{n \leq x} w(n)^2 - \ln_2(x)^2+ O( \ln_2(x))$.
    D'après la question 22.b, on a :
    $ \dfrac{1}{x} \displaystyle\sum_{n \leq x} w(n)^2 =\dfrac{1}{x} \left( \displaystyle\sum_{p \leq x} E( \dfrac{x}{p}) + \displaystyle\sum_{p_1,p_2 \leq x \\ p_1 \ne p_2 \ \text{premiers}} \# \{ n \in \N^{*} \ : \ n \leq x \ , \ p_1 \mid n \ \text{et} \ p_2 \mid n \}     \right)$
    On utilise maintenant la question 22.c, ce qui donne : 
    $ \dfrac{1}{x} \displaystyle\sum_{n \leq x} w(n)^2 =\dfrac{1}{x} \left( O(x \ln_2(x) + x \ln_2(x)^2 + O(x \ln_2(x)   \right)= \ln2(x)^2+ O( \ln_2(x))$
    Ainsi : $\dfrac{1}{x} \left( \displaystyle\sum_{n \leq x} (x(n)- \ln_2(x))^2 \right) = - \ln_2(x)^2 + \ln_2(x)^2+ O( \ln_2(x))$
    Finalement : 
    $\boxed{\dfrac{1}{x} \left( \displaystyle\sum_{n \leq x} (x(n)- \ln_2(x))^2 \right) = O( \ln_2(x))}$.

    Plus qu'une question... La dernière question semble très difficile  :'( 
  • Non . C'est hors de ma portée 
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  • OShine > C’est vraiment toi qui rédige toutes ces solutions ? Tu semblais dire que l’agreg interne n’était pas à ta portée et pourtant tu nous fais des trucs bien plus hardcore ici… Je ne te comprends plus ! 
  • En fait, il dispose d'un corrigé qu'il étudie, en ajoutant quelques lignes quand il estime que c'est insuffisamment détaillé et en corrigeant quelques coquilles de l'original ici ou là.
  • Honteux...
  • JLapin a dit :
    En fait, il dispose d'un corrigé qu'il étudie, en ajoutant quelques lignes quand il estime que c'est insuffisamment détaillé et en corrigeant quelques coquilles de l'original ici ou là.
    Mes réponses n'ont vraiment rien à voir avec le corrigé rempli d'erreurs disponible sur le site cpge paradise.

  • Oshine, je vais me convaincre que tes rédactions sont le produit de tes propres neurones, donc je te félicite et tu as dépassé mon niveau. Maintenant, travaille encore plus pour atteindre et dépasser le niveau de bd2017, mais il y a un certain Lapin qui court vite comme l'éclair. Il faut l'atteindre, il connaît bien le terrain, ses sentinelles, ses obstacles, ses impasses et ses raccourcis. Bonne chance !
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  • OShine
    Modifié (9 May)
    Arnaud_G a dit :
    OShine > C’est vraiment toi qui rédige toutes ces solutions ? Tu semblais dire que l’agreg interne n’était pas à ta portée et pourtant tu nous fais des trucs bien plus hardcore ici… Je ne te comprends plus ! 
    Pour l'agreg interne il y a les oraux et dans les oraux, il y a des leçons avec de l'algorithmique, et ça je n'aime pas trop :(
    De plus, il y a trop de leçons, c'est ce qui me dissuade.
    Il me faudrait 2 ans pour préparer toutes ces leçons.
  • OShine
    Modifié (9 May)
    J'ai des difficultés sur la dernière question, la $23$, qui me semble être la plus difficile du sujet.

    J'essaie de borner la quantité $\displaystyle\sum_{n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ ( \ln_2(x)-\ln_2(x))^2}{\ln_2 (n)}$.

    L'énoncé dit de remarquer que $|\ln_2(n)-\ln_2(x)|$ reste bornée pour $n \in [\sqrt{x},x]$.
    J'ai écrit : $0 \leq \dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( n))^2}{ \ln_2(n)} \leq \dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( \sqrt{x}))^2}{\ln_2( \sqrt{x})}$ mais comment prouver que $\dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( \sqrt{x}))^2}{\ln_2( \sqrt{x})}$ est borné ? 
    Je manipule rarement des $\ln(\ln(x))$.
    Il y a des formules sur les $\ln_2(x)$ analogues aux formules sur les $\ln(x)$ ? 


  • OShine
    Modifié (9 May)
    Je bloque sur la dernière question. 
    Elle n'est pas du tout guidée, on ne sait pas trop d'où partir.
  • Pars du corrigé 😈
  • Je ne comprends pas le corrigé de la dernière question, je ne comprends pas ce qu'ils font.

  • OShine
    Modifié (10 May)
    J'ai avancé d'un pas de fourmi, mais c'est mieux que rien. 
    Il faut commencer par comprendre l'indication.
    On a $card( \mathcal S \cap [1,x] )= card (\mathcal S \cap [1, \sqrt{x}]) + card ( \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]$.
    Mais $card (\mathcal S \cap [1, \sqrt{x}]) \leq \sqrt{x}$ donc $\boxed{card (\mathcal S \cap [1, \sqrt{x}]) = O( \sqrt{x})}$.

    Il reste à montrer que si $n \in [\sqrt{x},x]$ alors $| \ln_2(n)- \ln_2(x)|$ reste borné.
    Soit $\sqrt{x} \leq n \leq x \iff \ln_2( \sqrt{x} ) \leq \ln_2(n) \leq \ln_2(x) \iff  \ln_2( \sqrt{x} )- \ln_2(x) \leq  \ln_2(n)- \ln_2(x) \leq 0$.
    On a donc : $0 \leq | \ln_2(n)- \ln_2(x)|= \ln_2(x) - \ln_2(n) \leq \ln_2(x)- \ln_2( \sqrt{x} ) $

    Montrons que $f$ définie par $f(x)=\ln_2(x)-\ln_2( \sqrt{x})$ est bornée.
    On a $f(x)=- \ln( \frac{1}{2} ) =\ln(2)$.
    Donc $\forall x \geq 1 \ 0 \leq | \ln_2(n)- \ln_2(x)|= \ln_2(x) - \ln_2(\sqrt{x}) \leq \ln(2)$
    On a donc : $\boxed{ | \ln_2(n)- \ln_2(x)|= O(1)}$.




  • $\ln_2(x) - \ln_2(\sqrt{x}) = \frac{1}{\ln(2)} \big( \ln(x) - \ln(\sqrt{x}) ) = \dfrac{\ln(x)}{2\ln(2)} = O(\sqrt{x})$...
     





  • OShine
    Modifié (10 May)
    Sur Geogebra, ma fonction $f$ est constante...
    Dans l'énoncé, $\ln_2(x)= \ln ( \ln (x))$ et non $\dfrac{\ln (x)}{\ln 2}$.



  • SchumiSutil
    Modifié (10 May)
    En effet ; pas besoin de Geogebra dans ce cas pour simplifier $\ln(\ln(x)) - \ln (\ln(\sqrt{x}))$...

    J'ai écrit : $0 \leq \dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( n))^2}{ \ln_2(n)} \leq \dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( \sqrt{x}))^2}{\ln_2( \sqrt{x})}$ mais comment prouver que $\dfrac{ (\ln_2(x)- \ln_2( \sqrt{x}))^2}{\ln_2( \sqrt{x})}$ est borné ? 
    Je manipule rarement des $\ln(\ln(x))$.
    Il y a des formules sur les $\ln_2(x)$ analogues aux formules sur les $\ln(x)$ ?
    Cf cette question  ; n'importe quelle personne sachant manipuler les propriétés sur les logarithmes devrait voir qu'on obtient alors une fraction avec un numérateur constant et un dénominateur qui tend vers $+\infty$.

  • Oui donc le quotient tend vers $0$ et il est donc bornée, je crois que je vais reprendre ma rédaction de cette question, elle n'est peut-être pas si infaisable que ça. 
  • $ln(a/b)=ln(a)-ln(b)$ et $ln (\sqrt{x})=1/2 ln(x)$ devraient suffire à ton bonheur.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • L'indication est là pour aider à surmonter à la difficulté qu'il y a $\ln_2(x)$ dans l'inégalité de droite de la Q22 et $\ln_2(n)$ à manipuler dans la définition de la Q.23 et donc "à faire rentrer dans la somme" dans le membre de gauche de la Q.22.
  • OShine
    Modifié (10 May)
    @zeitnot
    @SchumiSutil
    Ok merci. Ca m'a bien aidé.

    J'ai réussi finalement, j'ai mis 1h15 pour faire cette question. Par contre, je n'ai pas compris ce qu'on démontre dans ce sujet, il me semble que les résultats des questions 15 et 23 sont les objectifs du sujet, mais je ne comprends pas à quoi ça correspond.

    23) Pour le début de cette question, je me suis inspiré de l'idée du corrigé disponible sur cpge paradise pour savoir quelle somme considérer. Mais ensuite, j'ai fait mes calculs tout seul avec les o et O.

    Soit $x$ assez grand. 
    Notons : $S(x)=\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(x)))^2}{\ln_2(n)}$
    On développe, ce qui donne :  
     $S(x)=\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(n))^2}{\ln_2(n)} +\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (\ln_2(n)-\ln_2(x))^2}{\ln_2(n)} +2 \displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(n))(\ln_2(n)-\ln_2(x))}{\ln_2(n)}$
    Notons : $A=\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(n))^2}{\ln_2(n)} $.
    On a : 
    $A \leq \dfrac{1}{\ln_2( \sqrt{x})} \displaystyle\sum_{n \in [\sqrt{x},x]} (w(n)-\ln_2(n))^2$.
    Mais $\ln_2( \sqrt{x} )=-\ln(2)+\ln_2(x)$
    $A \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} \displaystyle\sum_{n \leq x} (w(n)-\ln_2(n))^2 $. D'après la question 22.d, on a : 
    $A \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} O( x \ln_2(x)  $ donc $\boxed{A \leq O(x)}$.

    Notons : 
    $B=\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (\ln_2(n)-\ln_2(x))^2}{\ln_2(n)}$.
    On a vu précédemment que : $\forall n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \ (\ln_2(n)-\ln_2(x))^2 = O(1)$.
    Donc : $B \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} \displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} O(1) \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} \displaystyle\sum_{n \leq x} O(1) \leq  \dfrac{O(x)}{-\ln(2)+\ln_2(x)} =O(x)$
    On a montré : $\boxed{B \leq O(x)}$.

    Enfin, $C= 2 \displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(n))(\ln_2(n)-\ln_2(x))}{\ln_2(n)}$
    $C \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} \displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} O(1) (w(n)- \ln_2(n))$.
    $C \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} O(1)  \displaystyle\sum_{ n \leq x} w(n)$
    $C \leq \dfrac{1}{-\ln(2)+\ln_2(x)} O(1) ( x \ln_2(x)+ O(x) )$
    Finalement : $\boxed{C \leq O(x)}$.

    On a donc obtenu que : $\boxed{S(x) \leq O(x)}$.
    Par ailleurs, $S(x)=\displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]} \dfrac{ (w(n)-\ln_2(x)))^2}{\ln_2(n)}$
    Or $n \in \mathcal S \iff \dfrac{(w(n)-\ln_2(n))^2}{\ln_2(n)} \geq \sqrt{\ln_2(n)}$
    Donc $S(x) \geq \displaystyle\sum_{ n \in \mathcal S \cap [\sqrt{x},x]}  \sqrt{\ln_2(n)} \geq card \{ \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \} \sqrt{ \ln_2( \sqrt{x} )}$.
    Donc : $0 \leq \dfrac{1}{x} card \{ \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \} \leq \dfrac{1}{ x \sqrt{ \ln_2(x)-\ln(2)}} O(x) \leq \dfrac{O(1)}{ \sqrt{ \ln_2(x)-\ln(2)}  } \longrightarrow 0$
    Par le théorème d'encadrement : $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}  \dfrac{1}{x} card \{ \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \}=0$
    Mais $\dfrac{1}{x} card \{ \mathcal S \cap [1,x] \}=  \dfrac{1}{x} card \{ \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \} + \dfrac{ O( \sqrt{x} )}{x} = \dfrac{1}{x} card \{ \mathcal S \cap [\sqrt{x},x] \} + O( \dfrac{1}{ \sqrt{x}}) \longrightarrow 0$.

    Conclusion : $\boxed{\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}  \dfrac{1}{x} card \{ n \leq x \ : \ n \in \mathcal S \}=0}$











  • Je suis en train de rédiger le corrigé latex sur overleaf en ligne, très bon site, ça me semble facile le latex après toutes ces années sur le forum, je suis curieux de savoir combien de pages ça fera. 
  • Lirone93
    Modifié (10 May)
    Est-ce qu'un truc comme $S(x) \le O(1)$ ce n'est pas un peu bizarre quand même ?
     Ça a déjà été évoqué en plus je crois...
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Je ne sais pas, il faut demander aux pros du forum.
    Est-ce licite écrire $f(x) \leq O(1)$ ? 

  • A priori, cette écriture n'a pas de sens.
    Partout où tu as écrit ces inégalités, tu peux les remplacer par des égalités (quitte à devoir écrire une ligne de plus).
  • @Lirone93
    Très bonne remarque du coup  B)

    @bisam
    Merci, je vais rectifier dans mon corrigé.
  • OShine
    Modifié (15 May)
    bisam a dit :
    Je viens de penser à une preuve probabiliste de la première partie de cette question 18.
    Si $U$ est une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble $\{1,\dots,n\}$ alors on peut calculer $\mathbb{E}(v_p(U))$ par théorème de transfert, ce qui donne : \[\mathbb{E}(v_p(U))=\sum_{k=1}^n v_p (k) \mathbb{P}(U=k)=\frac{1}{n}v_p(n!)\] et on peut aussi utiliser que $v_p(U)$ est une variable aléatoire à valeurs entières donc \[\mathbb{E}(v_p(U))=\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(v_p(U)\geq k)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{+\infty} \text{card}\left(\{j \in \{1,\dots,n\}, p^k | j\}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{+\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^k}\right\rfloor\]
    Ainsi la permutation de sommes est cachée dans le résultat d'égalité des espérances.

    @bisam
    Je suis en train de rédiger le corrigé latex question 18, et je me suis rendu compte que je n'ai pas compris l'égalité suivante : 
    $v_p(U)$ est une variable aléatoire à valeurs entières donc $\[\mathbb{E}(v_p(U))=\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbb{P}(v_p(U)\geq k)$
  • JLapin
    Modifié (15 May)
    C'est dans le cours. Tu peux recopier la phrase telle quelle dans ton corrigé, pas besoin de la redémontrer.
  • Dans la définition de l'espérance écrit que $\mathbb P(X = k) = \mathbb P(X \ge k) -\mathbb P(X \ge k+1) $
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  • @JLapin
    J'ai relu le cours de MPSI je ne trouve ce résultat nulle part.

    @gebrane
    Merci ! 
    Si $E(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} kP(X \geq k+1) $
    On pose le changement d'indice : $j=k+1$ donc la deuxième somme : 
    $E(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{j=1}^{+\infty} (j-1)P(X \geq j) $
    $\boxed{E(X)=\displaystyle\sum_{j=1}^{+\infty} P (X \geq j)}$


  • Milas
    Modifié (16 May)
    Il y a des justification a faire pour ton calcul Oshine
    Sinon tu peut utiliser Fubini avec somme double a termes positifs

  • Osine, Pour qu'on te reproche rien Tu commences par calculer $\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k+1)$ puis tu passes à la limite
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  • J'ai relu le cours de MPSI je ne trouve ce résultat nulle part.
    Le concours porte sur le programme de sup et de spé.
  • Milas a dit :
    Il y a des justification a faire pour ton calcul Oshine
    Sinon tu peut utiliser Fubini avec somme double a termes positifs

    Je ne vois pas de somme double.
  • gebrane a dit :
    Osine, Pour qu'on te reproche rien Tu commences par calculer $\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k+1)$ puis tu passes à la limite
    On a : $\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k+1)$
    $\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{j=1}^{n+1} (j-1) P(X \geq j)$
    $\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} kP(X \geq k) - \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} kP(X \geq k+1)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}  P(X \geq k)$
    $\boxed{\sum_{k=0}^{n} k P(X=k)= \displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}  P(X \geq k)- (n+1) P( X \geq n+1)}$
    Je bloque ici pour passer à la limite à cause du $ (n+1) P( X \geq n+1)$.
  • Si une série converge, alors le reste de la série tend vers...
  • Classiquement : \[(n+1)\mathbb{P}(X\geq n+1)= (n+1)\sum_{k=n+1}^{+\infty}\mathbb{P}(X=k)\leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k\mathbb{P}(X=k) \underset{n\rightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0\] lorsque $X$ possède une espérance.

  • Hello,

    Comment OShine peut réussir à faire un sujet X hyper calculatoire et galérer à montrer ce résultat sur l'espérance ?
  • Il a pris un corrigé et s'est fait expliquer les étapes qu'il ne comprenait pas dans celui-ci.
  • Merci.

    @LoanSupOp
    C'est parce que je n'ai pas encore vu le cours de spé sur les probas, je me concentre sur le cours de sup que je revois entièrement.
    Mais je pense que je vais faire un chapitre révision sup et alterner avec un chapitre de spé, comme ça je pourrai faire plus de sujets.

  • Ce n'est pas la bonne explication OShine. Mais en fait, personne (?) n'est dupe, pas la peine d'essayer de passer pour ce que tu n'es pas.
  • Tout le monde ne connaît pas nécessairement cette propriété de l'espérance, je l'ai découverte lors d'un cours sur la fiabilité. J'ai été surpris par la formule que le professeur a présentée : \( MTBF = \int_{0}^{+\infty} R(t) dt \), où \( R \) est la fonction de fiabilité définie par \( R(t) = P(X>t) \), avec \( X \) désignant la durée de vie d'un matériel.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Oshine
    Je pense que tu es sur la bonne route et tu progresse bien donc je t'encourage 
    Sinon gebrane a a mon avis raison :l'astuw que bisam a expliquer n'est pas facile si on ne l'a conaissais pas avant
  • Milas a dit :
    Oshine
    Je pense que tu es sur la bonne route et tu progresse bien donc je t'encourage 

    Si oshine peut donner l équivalent de ce résultat pour une variable aléatoire à densité Énoncé+démonstration, alors oui il progresse
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  • OShine
    Modifié (18 May)
    @Milas
    Merci.

    @gebrane
    Je n'ai jamais lu de cours sur les variables aléatoires à densité.
    Et en ce moment je reçois les cours de sup sur les primitives et calcul d'intégrales. C'est rassurant j'arrive à refaire seul les grands classiques comme Wallis.
  • J'ai terminé le corrigé latex (27 pages !), et voici une preuve plus élégante de la question 23.







  • Alexique
    Modifié (21 May)
    Ca, c'est faux déjà : 
    $\ln_2(x)-\ln_2(\sqrt{x})=\ln(2)=O(1)$
    et ça aussi : 

    $(M_1+2+M_3)\ln_2(x) \sim \ln_2(x)$


  • Attention, $\ln_2$ n'a pas le sens habituel et désigne ici $\ln\circ \ln$.

  • Ha, ok. Ca m'apprendra à lire par morceaux. Donc l'équivalent reste faux cela dit.
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