Un équivalent

bisam

Bonjour,

On définit une suite $u$ par $u_0=a\in\left]0,1\right[$ et $\forall n\in\N, u_{n+1}=u_n + u_n^2 \ln(u_n)$.

Auriez-vous une idée pour trouver un équivalent de $u_n$ ?

Je sais en trouver à l'aide d'une réciproque d'une fonction définie par une intégrale... mais ça n'aide pas beaucoup.

Le mieux que j'aie obtenu (et encore, en bidouillant), c'est $u_n=o(\frac 1n)$. Pouvez-vous dire mieux ? (et pas à la manière de Pierre Dac répondant à Francis Blanche, svp.)

JLapin

Tu as dû obtenir $$\int_a^{u_n} \dfrac{dt}{t^2 \ln t}\sim n$$

je suppose. Tu peux alors faire une intégration par parties pour en déduire un équivalent simple de $\dfrac{1}{u_n \ln u_n}$ et il ne reste plus qu'à passer au $\ln$.

JLT

Posons $v_{n}=-\frac{1}{u_n\ln u_n}$. On a $v_{n+1}=v_n+1+o(1)$, ce qui donne $v_n\sim n$ puis $u_n\sim\frac{1}{n\ln n}$. En espérant ne pas m'être trompé.

JLapin

En tout cas, j'ai le même équivalent simple.

bisam

Merci pour vos deux méthodes.

Effectivement, j'avais fait comme @JLapin et j'avais beau avoir effectué l'intégration par parties, je n'avais pas trouvé l'équivalent simple. Je vais reprendre ça.

bisam

En fait, étant prof en PSI, j'oublie aisément d'utiliser les méthodes enseignées uniquement aux MP et pas aux autres sections. En particulier, ici j'ai oublié la fameuse règle dite "d'intégration des petits $o$".

Encore une fois, merci pour votre aide.

Chaurien

Bravo JLT d'avoir trouvé cette $v_n$. Je n'ai pas bien compris la première méthode, qui fait intervenir une intégrale.

gebrane

Chaurien a dit :

 Je n'ai pas bien compris la première méthode, qui fait intervenir une intégrale.

C'est la vie, avec l'âge on oublie ce qu'on a appris 

Ajout, Bonjour Jacky9393, que deviens-tu ? 

JLapin

En utilisant un encadrement, on obtient $\int_{u_{n+1}}^{u_n} \dfrac{dt}{t \ln^2 t}\to 1$. Par Césaro, $\int_a^{u_n} \dfrac{dt}{t^2\ln t}\sim n$.

Ensuite, on fait une IPP pour montrer que $\int_a^x \dfrac{dt}{t^2\ln t}\sim -\dfrac{1}{t\ln t}$ quand $x$ tend vers $0$, ce qui donne $-\frac{1}{u_n\ln u_n}\sim n$.

Chaurien

Mefrci @gebrane. Quelle mémoire !

Chaurien

Pour faire le lien avec l'ancien fil exhumé par @gebrane, soit la fonction $x \mapsto f(x)=x+x^2 \ln x$, dont on étudie ici l'itération, et qui était déjà évoquée dans le fil en question. On voulait une fonction $\varphi$ telle que : $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(\varphi (f(x))-\varphi (x))=\ell \neq 0$. JLT l'a trouvée, c'est : $\varphi (x)=-\frac{1}{x\ln x}$, et l'on a :  $\ell =1$. On pose avec JLT : $v_n=\varphi(u_n)$, et l'on en déduit l'équivalent de $u_n$ comme il a été dit. 

Je me demandais si l'on pouvait aller plus loin. 

Il me semble que : $\varphi (f(x))-\varphi (x)=1+\frac{1}{\ln x}+o(\frac{1}{\ln x})$ quand $x \rightarrow 0^+$.

Et qu'on peut en déduire : $v_{n}=\varphi (u_{n})=n-\frac{n}{\ln n}+o(\frac{n}{\ln n})$.

D'abord, il faut être certain que c'est correct, et si c'est correct, je cale, je ne vois pas comment remonter de $v_n$ à $u_n$.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

JLT

On a donc
$$-u_n\ln u_n = \frac{1}{n}\bigg(1+\frac{1}{\ln n} + o\Big(\frac{1}{\ln n}\Big) \bigg)\quad (1).$$
D'autre part, comme $u_n\sim \frac{1}{n\ln n}$, on a $\ln u_n=-\ln n-\ln\ln n + o(1)$. En reportant cette expression dans (1) on doit pouvoir obtenir un terme supplémentaire dans le développement asymptotique de $u_n$.