Minimisation fonctionnelle sans les mains

bisam

Bonjour,

J'ai trouvé dans le numéro 134-1 de la RMS un exercice donné aux Mines l'an dernier, et franchement, je ne vois pas comment il est possible que des élèves puissent le résoudre sans avoir déjà fait tout un problème à ce sujet.

Je me demande si vous voyez quelque chose d'évident que je n'ai pas vu.

L'exercice est le suivant :

1. Soit $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f$ une application de classe $C^1$ de $U$  dans $\R$. Montrer que l’application $f$  est convexe si et seulement si pour tout $(x,y)\in U^2$ : \[f(y)-f(x)\geq \langle \nabla f(x),y-x\rangle\]
2. Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels. On note $E_{\alpha,\beta}$ l’ensemble des fonctions $f$ de classe $C^1$ sur $[0,1]$ à valeurs dans $\R$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit \[\Phi:f\in E_{\alpha,\beta}\mapsto \int_0^1\sqrt{1+f'^2}\] Montrer que l’application $\Phi$ atteint sa borne inférieure, et qu’elle le fait en un unique élément $f_0$ de $E_{\alpha,\beta}$ que l’on précisera.

La première question est relativement classique, mais demande déjà un peu de maîtrise pour ne pas perdre trop de temps.

La deuxième question est aisée pour quelqu'un qui connaît le calcul variationnel... mais même le lemme de Du Bois-Reymond n'est pas quelque chose d'évident pour des élèves de prépas, fussent-ils dans une très bonne MP... et cela ne permet de démontrer que l'unicité. Il reste à prouver l'existence d'un minimum.

À vous de m'aiguiller.

JLT

Le 2) dit que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite. Soient $A=(0,\alpha)$ et $B=(1,\beta)$. Je prendrais une base orthonormée $(A,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ telle que $\overrightarrow{u}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{AB}$. On pose $(x,f(x))=(0,\alpha)+X(x)\overrightarrow{u}+Y(x)\overrightarrow{v}$, ce qui donne $\sqrt{1+f'(x)^2}=\sqrt{X'(x)^2+Y'(x)^2}\geqslant X'(x)$, par conséquent l'intégrale est minorée par $X(1)-X(0)=AB$ avec égalité lorsque $Y'=0$ c'est-à-dire lorsqu'on avance en ligne droite.

JLapin

Tu peux vérifier que $g:t\mapsto \sqrt{1+t^2}$ est une fonction convexe sur $\R$ puis utiliser la question précédente :
$$\forall x\in [0,1]\quad g(f'(x))-g(\beta-\alpha)  - \dfrac{\beta-\alpha}{\sqrt{1+(\beta-\alpha)^2}}(f'(x)-\beta+\alpha)\geq 0.$$

Intégrer cette inégalité pour obtenir le résultat souhaité :
$$\forall f\in E\quad \Phi(f)\geq \sqrt{1+(\beta-\alpha)^2}.$$

En cas d'égalité, utiliser le théorème adapté pour obtenir :
$$\forall x\in [0,1]\quad g(f'(x)) - g(\beta-\alpha) - g'(\beta-\alpha) (f'(x)-\beta+\alpha)=0.$$
Utiliser la stricte convexité de $g$ pour obtenir :
$$\forall x\in [0,1]\quad f'(x) = \beta-\alpha.$$

bisam

@JLT : J'avais bien sûr reconnu le problème de la géodésique dans le plan... mais un élève actuel ne pensera JAMAIS à faire de la géométrie si on ne le force pas ! Ceci étant, j'adore cette méthode, parfaitement adaptée dans ce cas précis.

@JLapin : J'avais bien vu la convexité de $t\mapsto \sqrt{1+t^2}$ mais je cherchais à tout prix à montrer celle de $\Phi$... alors que c'est effectivement plus simple de ne pas le faire !

Il faut néanmoins avoir pas mal d'intuition pour penser à prendre $f_0'$ constante comme minimum (ou alors avoir reconnu qu'on cherche le chemin le plus court comme @JLT).

Je trouve néanmoins gonflé de poser une première question parlant de fonctions convexes sur une partie de $\R^n$ pour finalement n'utiliser que le cas $n=1$ (au programme de Terminale !) voire que l'inégalité triangulaire (avec la méthode de @JLT ).

Merci beaucoup pour vos réponses.

gebrane

Bonjour,
Est-ce que ce $\varphi$ a une chance d'être continu sur $C^1[0,1], ||.||_{\infty}$ ?

Renart

Salut Bisam, je ne connais pas très bien les programmes de prépa mais est-ce que le fait que $\sqrt{1+f'^2} \mathrm dt$ représente l'élément de longueur infinitésimal du graphe d'une fonction n'est pas quelque chose qui fait partie du programme ou du "hors programme classique" de la physique ? C'est quelque chose qui apparait naturellement quand on parle de problème de chainette, de brachistochrone ou plus simplement d'abscisse curviligne.

JLapin

Oui, probablement qu'un élève assez affûté trouvera tout seul ce lien.

gebrane

Bonjour @Renart,

Supposons que l'élève connaisse ce théorème :

Théorème: Soit \( f : [a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) dérivable, de dérivée continue. La longueur de l’arc de courbe \( C = \{(x, y) \mid a \leq x \leq b, \, y = f(x)\} \) est égale à l’intégrale

\[\phi(f)= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'(x)^2} \, dx \]

En quoi cela lui est utile pour démontrer que \( \min_{f\in C^1[a,b]} \phi(f) \) existe ?

Bbidule

@gebrane: comme l'a dit JLT dès le début: "Le 2) dit que le plus court chemin entre deux points est la ligne droite."

gebrane

Merci @bidule Je l'avais zappé, quelle honte

Renart

gebrane : je ne sais pas trop ce que l'étudiant dirait, je ne connais pas bien son programme de prépa. Mais ce que je dirai personnellement c'est que $\int_0^1 \sqrt{1+f'(t)^2}\mathrm dt$ est la longueur de la courbe $\gamma : t \mapsto (t,f(t))$ et que \[ \int_0^1 \sqrt{1+f'(t)^2}\mathrm dt = \int_0^1 \|\gamma'(t)\|_2 \mathrm dt \ge \left\| \int_0^1 \gamma'(t) \mathrm dt \right\|_2 = \|\gamma(0)-\gamma(1)\|_2. \]
Or ce minorant est atteint pour une courbe rectiligne.  C'est plus ou moins la méthode présentée par JLT, avec l'utilisation d'une inégalité triangulaire un peu plus sophistiquée.

Edit : croisement des deux derniers messages.

gebrane

Si on remplace  (pour rendre la question plus intéressante) par
 $$\phi(f)= \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f'(x)^4 }\, dx$$
A méditer

etanche

@ gebrane $\sqrt{1+t^4}$ est convexe on peut faire comme le post de JLapin.

gebrane

Bonjour étanche
Comment trouves-tu la fonction minimisante pour ce nouveau phi

etanche

@ gebrane équation Euler-Lagrange https://www.i2m.univ-amu.fr/~torresan/MathPhy/cours/node3.html

gebrane

@etanche , tu brilles de mille feux

bisam

@Renart : La longueur d'un arc paramétré n'est plus dans le programme de maths de prépa depuis la réforme de 2020. Néanmoins, dans toutes les filières, les calculs de mécanique du point vus en physique suffisent ici à savoir de quoi on parle.

Le problème, c'est que bien qu'on leur dise que les disciplines ne sont pas tant cloisonnées qu'elles paraissent et qu'on le leur montre avec divers exemples (j'aime bien par exemple citer les pendules couplés quand je fais un exercice sur les matrices tridiagonales), les élèves ne pensent que très rarement d'eux-mêmes à utiliser ce qu'ils ont vu en physique pour répondre à une question de maths (certains arguant que "ce n'est pas très rigoureux").

Renart

Merci pour ta réponse bisam. Le moi étudiant aurait probablement aussi trouvé que "ce n'est pas très rigoureux", pas forcément à raison selon le moi actuel. 

etanche

Il y a déjà eu des problèmes de concours sur les mêmes thèmes minimisantes de fonctionnelles
autour équation Euler-Lagrange. 

bisam

Ce n'est pas la même chose de prouver de nombreux et délicats résultats en 4 heures et de découvrir entièrement un domaine en 30 minutes, sans préparation préalable !

etanche

Les spé MP ont vu inégalité Jensen convexité, donc les élèves de MP ont les outils pour résoudre cet exercice comme dans la 
solution de JLapin.C’est faisable.

bisam

La solution de @JLapin est en fait accessible à tous les élèves de Terminale qui font la spécialité Mathématiques : la propriété de convexité utilisée est à leur programme.

Le problème de cette solution, c'est qu'elle suppose que l'on connait à l'avance ce que l'on veut prouver, à savoir que la fonction $f$ en laquelle $\Phi$ est minimale est affine. Lors d'un oral, on peut supposer que cette information a été soufflée par l'examinateur.

etanche

bisam a dit :

Lors d'un oral, on peut supposer que cette information a été soufflée par l'examinateur.

Pas forcément. 

Je viens de trouver le rapport de l’oral Mines-Ponts 
https://www.concoursminesponts.fr/resources/Rapport-Final-Oral-2023.pdf

à la page 8 on peut lire 

L’évaluation portera, entre autres, sur :

– la maîtrise et la compréhension des notions mathématiques au programme,

– la capacité à proposer des pistes de résolution, les explorer et les critiquer si nécessaire, – la capacité à élaborer une solution structurée et argumentée,

– la capacité à rebondir sur les indications de l’examinateur.

Surtout à la page 11 on peut lire 

L’examinateur ne s’attend pas que l’exercice soit résolu d’une seule traite, mais qu’il explore des pistes, envisage
des cas particuliers.

J’avais lu un truc similaire d’un rapport de l’oral CentraleSupElec 

etanche

En 2022 un étudiant MP qui a passé les concours Mines, Centrale, CCINP.Après ces oraux sur certains exercices il n’avait pas résolu entièrement, il s’attendait à des notes très basses, Mines il a eu 11,5 et Centrale un 10.Il a eu Centrale Lyon. 

gebrane

bisam a dit :

@JLapin : J'avais bien vu la convexité de $t\mapsto \sqrt{1+t^2}$ mais je cherchais à tout prix à montrer celle de $\Phi$...

J'ai relus plusieurs fois cette partie du message de bisam, mais je n'arrive pas à saisir le sens car si on voit la convexité de $t\mapsto \sqrt{1+t^2}$, la convexité de $\Phi$ devient une trivialité. Non ?

bisam

Tu as raison, @gebrane , mais ce qui me gênait, c'est qu'avec $\Phi$, on n'était pas en dimension finie... et on ne pouvait donc pas appliquer le résultat de la question précédente.

Cela me paraissait tellement aberrant que j'en étais venu à me demander s'il y avait réellement un rapport entre les deux question !

gebrane

Merci pour ta réponse @bisam