Enseigner la géométrie en 2024: quelle place pour la géométrie projective ?

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Réponses

  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour,

    $x=yz^4$ associée au triangle $ABC$
    Cordialement, 
    Stéphane.
  • Swingmustard
    Modifié (12 May)
    @gai requin a dit :
    Swingmustard : Soit $ABC$ un triangle du plan affine $\mathcal P$ et $G$ son centre de gravité.
    Pour tout point $M$, il existe $x,y,z$ de somme $1$ tels que $M=xA+yB+zC$ : $(x,y,z)$ sont les coordonnées barycentriques de $M$ dans le repère affine $(A,B,C)$ de $\mathcal P$ et $(x:y:z)$ sont les coordonnées homogènes de $M$ dans le repère projectif $(A,B,C,G)$ du complété projectif de $\mathcal P$.
    En particulier, pour tout $\lambda\neq 0$, $M(\lambda x:\lambda y:\lambda z)$.
    Dans ce contexte, une conique projective $\mathcal C$ est la donnée d'une forme quadratique $q$ telle que $M(x:y:z)\in\mathcal C\Leftrightarrow q(x,y,z)=0$ ($M$ pouvant être à l'infini, i.e. $x+y+z=0$).
    Exercice : Quelle est l'équation cartésienne de la trace de $\mathcal C:xy+yz+zx=0$ dans $\left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ ?
    On a trouvé (voir page 7) : une version mal commencée avec les matrices, mais corrigée aujourd'hui, puis une version sans matrice à l'époque. Pour éviter la confusion, j'appelle $s,\, t$ les coordonnées affines. $$yz+zx+xy=0\Leftrightarrow s^2+t^2+st-s-t=0$$
    gai requin a dit :
    Swingmustard : 👍 
    Et $x^2+y^2=1$ dans $\left(A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$, ça donne quoi dans $(A,B,C,G)$ ?
    Là aussi, on peut comparer les versions avec ou sans matrice (en sachant parfaitement que les calculs sont les mêmes). Avantage des matrices : on risque moins de tomber dans le piège (?) du gai coquin : $s^2+t^2=1$ n'équivaut pas à $y^2+z^2=1$, ni même à un $y^2+z^2=x+y+z$ qu'une bonne (mais insuffisante) intuition pourrait nous suggérer. Avantage du calcul sans matrice : tout de même bien plus simple à écrire, ici.
    Bref $$s^2+t^2-1=0\Leftrightarrow y^2+z^2-(x+y+z)^2=0\Leftrightarrow x^2+2(yz+zx+xy)=0$$
    Dans la première question, gai requin nous a fait nous intéresser à l'ellipse de Steiner circonscrite à $ABC$.
    Dans la deuxième, je crois reconnaître une ellipse (pas ma main au feu si, ma main au feu !) pour laquelle $A,\, B,\, C$ pourraient être respectivement centre, sommets (l'ordre dépend) principal et secondaire.
    S'il y a une suite, gai requin, je suis preneur.
    Amicalement,
    Swingmustard
  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour,

    En ce qui concerne le théorème de van Aubel proposé plus haut,
    $$\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{PA'}}=\frac{\overrightarrow{C'A}}{\overrightarrow{C'B}} +\frac{\overrightarrow{B'A}}{\overrightarrow{B'C}}$$
    (Illustration du théorème de van Aubel avec $\frac{\overrightarrow{PA}}{\overrightarrow{PA'}}\approx -2, \frac{\overrightarrow{C'A}}{\overrightarrow{C'B}}\approx 0.5$ et $\frac{\overrightarrow{B'A}}{\overrightarrow{B'C}}\approx -2.5)$
    ____________________________________________
    $A\simeq [1;0;0], B\simeq [0;1;0], C\simeq [0;0;1], \mathcal L_{\infty} \simeq[1,1,1], P\simeq [u;v;w]$, toutes ces notations signifiant simplement, mutatis mutandis, qu'on a plongé notre plan affine associé au triangle $ABC$ dans un espace vectoriel réel $E_3$ de dimension $3$ et que l'on considère dans $P(E_3)$ et dans $P(E_3^*)$ différents points utiles, autrement dit dans $P(E_3)$ les points et les droites projectives qui vont bien.

    Ceci étant dit, on a $P=uA+vB+wC$, avec $\boxed{u+v+w=1}$. On pose $A':=\frac{1}{v+w}(vB+wC)$, de telle sorte que $$P-A'=uA+(v+w)A'-A'=uA+(v+w-1)A'=uA-uA'=u(A-A')$$ $$P-A=uA+(v+w)A'-A=(u-1)A+(v+w)A'=(u-1)A-(u-1)A'=(u-1)(A-A')$$ $$\frac{P-A}{P-A'}=\frac{u-1}{u}$$

    Par ailleurs, en posant $B':=\frac{1}{u+w}(uA+wC)$, on a $B'-A=\frac{1}{u+w}(uA+wC)-\frac{uA+wA}{u+w}=\frac{w}{u+w}(C-A)$ et $B'-C=\frac{1}{u+w}(uA+wC)-\frac{uC+wC}{u+w}=\frac{-u}{u+w}(C-A)$. D'où $$\frac{B'-A}{B'-C}=\frac{-w}{u}$$

    De même, en posant $C':=\frac{1}{u+v}(uA+vB)$, on a $$\frac{C'-A}{C'-B}=\frac{-v}{u}$$

    Le théorème de Henricus Hubertus van Aubel traduit donc simplement le fait que $$u-1=-v-w$$tout aussi simplement que le théorème de Joseph Diez Gergonne traduit le fait que $$u+v+w=1$$
    (voir p.8 du fil.)
  • Vassillia
    Modifié (13 May)
    Ne provoquons pas inutilement les adeptes de la géométrie classique qui ont bien le droit de s'intéresser à ce qu'ils veulent tant qu'ils ne nous obligent pas à nous y intéresser et qu'ils nous laissent nous intéresser à autre chose.
    Il te reste cet exercice de Rescassol à faire en barycentriques si tu veux https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2480018/#Comment_2480018
    Mais ensuite, il va falloir passer aux coniques sous forme matricielle, on en a un peu parlé avec Rescassol. Par exemple, tu pourrais essayer de retrouver les asymptotes de l'hyperbole, comment il a fait dans https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2480672/#Comment_2480672 ? En plus, cela permet de commencer par retrouver la matrice de l'hyperbole.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Bonjour,

    En ce qui concerne l'exercice de @Rescassol en barycentrique, je ne trouve pas mon erreur dans les calculs suivants.

    $A,B,C, D= [1;-1;1], M=tD+(1-t)B=[t;1-2t;t], M$ milieu de $PC$ fournit $P=[2t;2-4t;2t-1]$ $$P-A=u(B-A)+v(D-A)\implies u=2-4t \text{ et }v=2t-1$$Donc $E=[-1+4t;2-4t;0]$ et $F=[1;1-2t;2t-1]$

    Mais alors $det(E,F,M)=(1-2t)(t-1)\neq 0.$
    _____________________________________
    PS: je ne comprenais pas le passage ci-dessous. En y réfléchissant, c'est tout simplement traduire le fait que $M$ est un point de la droite projective $\mathrm P(0BD)$
    M=Barycentre([B D],[1 t]); % Un point quelconque de (BD)
    % On trouve M=[t; 1-t; t]
  • stfj a dit :
    $P-A=u(B-A)+v(D-A)\implies u=2-4t \text{ et }v=2t-1$
    Vérifions avec le $u$ et $v$ de stfj :  
    $P-A=(2t-1:-4t+2:2t-1)$
    $u(B-A)+v(D-A)=(4t-2:-2t+1:-2t+1)$

    Alors, comment résoudre le problème ?
    - Tester sur geogebra ses points pour vérifier soi-même qu'on ne se trompe pas
    - Ne pas se compliquer la vie et calculer les droites parallèles à coup de wedge et en utilisant la droite de l'infini
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (13 May)
    Merci, @Vassillia, j'ai trouvé l'erreur.$$P-A=u(B-A)+v(D-A)\implies u=1-2t \text{ et }v=2t-1$$
    Donc $E=[2t;1-2t;0]$ et $F=[1;1-2t;2t-1]$

    $det(E,F,M)=\color{magenta}0$
    Le $\color{magenta}\text{magenta}$ exprime ici mon soulagement :).
    _____________________________
    https://www.geogebra.org/classic/dmaakake
  • stfj
    Modifié (9 Jul)
    Le document suivant Math en jeans (ici un lien vers la page d'accueil du site MEJ)d'introduction aux coordonnées barycentriques donne le ton dès le départ : "(niveau bac à cause d'un déterminant, mais niveau seconde pour l'essentiel)". Il y est rapidement question de coordonnées projectives en s'appuyant sur les exercices nombreux au lycée du type de celui posé sur ce site en novembre 2007, où une certaine @mathilde2 se débattait avec des notations malcommodes sur lesquelles il serait peut-être temps de se pencher, en faisant bénéficier nos élèves de la hauteur de vue dont nous disposons en tant qu'enseignants. (Même @gb s'emmêle les pinceaux en trouvant $\frac32$ au lieu de $-\frac32$.) 
    Le problème de l'enseignement des barycentres n'est-il pas l'enseignement tel qu'il a été pratiqué pendant des décennies en lui-même, la forme malcommode que cet enseignement a adoptée, en premier lieu les notations adoptées dans l'enseignement secondaire. Tout le monde sait l'importance des notations. Ici, n'a-t-on pas transformé une notion Ô combien utile, les barycentres, en quelque chose de malcommode, de presque inutilisable paradoxalement. Au lieu de lâchement abandonner le problème (si on élimine le problème, il n'y a plus de problème. D'où la décision lâche par des non-mathématiciens d'abandonner l'enseignement des barycentres au lycée en prétendant certainement la remplacer par des notions inutiles prétendues utiles.), ne suffit-il pas de se pencher sur les notations pour en proposer de suffisamment simples pour réconcilier @mathilde2 avec les barycentres?
    _____________________
    Ne subissons pas les maths, vivons-les.
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