Borne supérieure d'une famille dans L1

amafhh

Bonsoir,

Soit $L^{1}([0,1],\mathcal{B},\lambda)$ avec $\lambda$ est la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$.

$L^{1}([0,1],\mathcal{B},\lambda)$ est munit de l'ordre partiel suivant:

$$ f\leq g \Longleftrightarrow f(x)\leq g(x) \;\; \lambda-p.p. $$

Soit l'ensemble de fonctions caractéristiques $A$

$$ A:=\{\chi_{\{a\}}; a\in [0,1]\} $$

Est-ce que $ \sup A=0 \;$ ou bien $\; \sup A=[0,1] $ dans $L^{1}([0,1],\mathcal{B},\lambda)$ ?

Merci pour la réponse par avance.

Said Fubini

$A$ vu dans $L^{1}([0,1],\mathcal{B},\lambda)$ est réduit à une seule fonction : la fonction nulle. Car les éléments de $L^{1}([0,1],\mathcal{B},\lambda)$ sont définis presque partout. 

amafhh

Said Fubini merci