Une égalité mystérieuse

stfj
Modifié (19 Apr) dans Algèbre
Bonjour,

Soit $p_1=2,p_2=3,p_3=5, p_4=7, p_5=11,...$ les nombres premiers.

Soit $$p_1\#:=p_1=2, p_2\#:=p_1\times p_2=2\times 3=6$$$$p_3\#:=p_1\times p_2\times p_3=2\times 3\times 5=30,...$$ les "primorielles".

J'ai récemment posé des questions au sujet de l'anneau $$\boxed{(\prod_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Z} / p_n\mathbb Z,+,\times)} $$ où 
$$\prod_p \mathbb{Z} / p=\mathbb Z/2\times \mathbb Z/3\times \mathbb Z/5\times \mathbb Z/7\times \mathbb Z/11\times...$$
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$$\varphi:\mathbb Z\to \prod_p \mathbb{Z} / p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n,n,...)$$est un plongement de  $\mathbb Z$, qui est injectif mais non surjectif.
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 $$\prod_p \mathbb{Z} / p\approx \varprojlim(A_n,\varphi_n)$$ 

$$\forall n\ge 1, A_n:=\mathbb Z/p_n\#\mathbb Z$$
En utilisant le théorème des restes chinois, ie l'isomorphisme  $$\mathbb Z/2\times...\times \mathbb Z/p_n\approx A_n$$ $$\varphi_n((\xi_1,...,\xi_n)):=(\xi_1,...,\xi_{n-1})$$ où $x=(\xi_1,...,\xi_n)\in A_n$ [$\varphi_n$ est simplement une projection.]
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Question: Désolé pour ce long préambule nécessaire pour écrite la surprenante égalité que j'obtiens, à moins que je me trompe; et que j'aimerais vous soumettre pour profiter de vos connaissances dans des champs similaires, connaissances que je n'ai pas :

$$\color{blue}{\boxed{1+2\times2+4\times6+6\times30+10\times210+...+(p_{n+1}-1)\times p_n\#+...=-1}}$$

Ma question est : "Est-ce que  $1+2\times2+4\times6+6\times30+10\times210+...+(p_{n+1}-1)\times p_n\#+...=-1$ est une elucubration ou quelque chose qui tient mathématiquement?" Mes connaissances ne sont pas suffisantes pour avoir le recul nécessaire sur la validité mathématique de cette écriture ni sur son intérêt éventuel. Et l'avis d'une machine n'a que peu de valeur.
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Voici mon explication que je n'ose pas appeler une preuve, tant qu'on ne m'aura pas donné un avis plus éclairé que le mien :

* Dans $\mathbb Z/2\times \mathbb Z/3\times \mathbb Z/5\times \mathbb Z/7\times \mathbb Z/11\times...$,
$$-(1,1,1,1,1,...)=(-1,-1,-1,-1,-1,,...)=:\zeta\label{a}.\tag1$$

* Dans $\varprojlim(A_n,\varphi_n)$, écrivons $$(...,(\zeta_n,...,\zeta_1),...,(\zeta_3,\zeta_2,\zeta_1),(\zeta_2,\zeta_1),\zeta_1)=:\zeta$$
avec $\forall i\in \mathbb N^*, \zeta_i\in \mathbb Z/p_i\mathbb Z$

D'après $\eqref{a}$, 

a) Dans $\mathbb Z/2\mathbb Z$, $\zeta_1=-1=\color{red}1$;

b) Dans $\mathbb Z/6\mathbb Z\approx \mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z, (\zeta_2,\zeta_1)=-1=5=\color{red}1\color{black}+2\times \color{red}2$

c) Dans $\mathbb Z/30\mathbb Z\approx \mathbb Z/5\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z, (\zeta_3,\zeta_2,\zeta_1)=-1=29=\color{red}1\color{black}+2\times \color{red}2\color{black}+6\times \color{red}4$

d) Dans $\mathbb Z/p_4\#\mathbb= Z/210\mathbb Z\approx \mathbb Z/p_4\mathbb Z\mathbb Z/5\times\mathbb Z/3\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z, (\zeta_4,\zeta_3,\zeta_2,\zeta_1)=-1=209=\color{red}1\color{black}+2\times \color{red}2\color{black}+6\times \color{red}4\color{black}+30\times\color{red} (p_4-1)$
Et ainsi de suite...$\square$
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Remarques:
* En numération primorielle, dans
$\mathbb Z/210\mathbb Z$ $$-1=209=(.......:6:4:2:1)_{Primorial}$$
où $$(6:4:2:1)_{Primorial}:=6\mathbb P^3+4\mathbb P^2+2\mathbb P^1+1\mathbb P^0$$où $\begin{cases}  \mathbb P^0:=1  \\ \forall n\in \mathbb N^*,\mathbb P^n:=p_n\# \end{cases}$
* Le titre "Une égalité mystérieuse" est une référence au début de Symétries où Herman Weyl parle des mystères des symétries qu'on transforme en calculs qui n'ont plus aucun mystère.
* Pour être honnête, j'ai déjà posé la question ailleurs mais elle a reçu un accueil froid. J'espère ici un accueil plus franchouillard :)

Réponses

  • Le problème, c'est que tu n'es pas clair. Est-ce valide ? Oui, par exemple en définissant $A_n = \mathbb{Z} / \left(\prod_{k = 1}^n a_k \right)\mathbb{Z}$ (où $(a_k)_k$ est une suite d'entiers) et en remarquant le télescopage $$\forall n \geq 0, \forall M \leq n+1, \sum_{k = 0}^n (a_{k+1} - 1)\prod_{i = 1}^k a_i = \sum_{k = 0}^n \prod_{i = 1}^{k+1} a_i - \prod_{i = 1}^{k} a_i = \prod_{i = 1}^{n+1} a_i - 1 \equiv -1 \left[\prod_{k = 1}^M a_k\right].$$ Donc ce qu'il reste à faire, c'est justifier une définition de convergence. On munit $\prod_{k = 1}^{+\infty} A_k$ de la topologie produit, on sait alors que $u = \left(\sum_{k = 0}^n (a_{k+1} - 1)\prod_{i = 1}^k a_i\right)_n \in (\prod_{k = 1}^{+\infty} A_k)^{\mathbb{N}}$ converge vers $-1 = (-1, -1, ...) \in \prod_{k = 1}^{+\infty} A_k$ si et seulement si $$\forall i, \exists N, \forall n \geq N, u_n \equiv -1 \left[\prod_{k = 1}^i a_k\right].$$ On peut alors écrire de manière pédante dans $\prod_{k = 1}^{+\infty} A_k$ l'égalité suivante : $$(a_1 - 1) + (a_2-1)a_1 + (a_3-1) a_2 a_1+ ... = -1.$$ Cela n'a rien à voir avec ta primorielle adorée, ou les nombres premiers.
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    @Bibix: bonjour,

    Merci,
    En effet, écrire $(a_1 - 1) + (a_2-1)a_1 + (a_3-1) a_2 a_1+ ... = -1$ est une manière compliquée d'écrire un résultat simple qui est que $$\forall i, \exists N, \forall n 
    \geq N, u_n \equiv -1 \left[\prod_{k = 1}^i a_k\right]$$
    avec $u$ définie comme tu l'as fait. 

    Pédant de ma part, non. Je vais m'efforcer d'expliquer pourquoi. Je voyais bien comment plonger $\mathbb N$ dans $$\varprojlim(A_n,\varphi_n)$$avec $A_n$ et $\varphi_n$ défini comme dans le post original(OP) mais je n'avais jamais naïvement pensé qu'on pouvait également y plonger $\mathbb Z$ tout entier au point de m'interroger bêtement sur le grand mystère autour de $$(-1,-1,-1,...)\in \Z/2\Z\times \Z/3\Z\times \Z/5\Z\times...$$ que j'écrivis en numération primorielle $$(..........:10:6:4:2:1)$$Et c'est alors seulement que j'ai compris qu'il s'agissait évidemment de $-(1,1,1,1,1,....)\in \Z/2\Z\times \Z/3\Z\times \Z/5\Z\times...$. Bref c'est le passage à la numération primorielle que j'affectionne tant qui m'a permis de réaliser l'énormité de l'évidence de $$(-1,-1,-1,-1,...)=-(1,1,1,1,...)=-1$$
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    Y-a-t-il une numération associée pour chaque suite $(a_k)_k$? Je pense à la numération factorielle où $\forall k, a_k:=k$ si je ne me trompe pas.

    Cordialement,
    Stéphane
  • Oui, la numération associée à $(a_k)_k$ est une numération à base de Cantor. La numération factorielle est un cas particulier.
  • Il y a une égalité analogue dans $\Z_p$, qui exprime la suite des "chiffres" de $-1$.
  • Et la numération en base $b=3$ est celle associée à $\forall k>1, a_k=3$ et $a_1=1$? C'est ça ? Dans ce cas, on retrouve $\mathbb Z_3$, tout n'est pas encore complètement clair dans ma tête mais c'est ça ?
  • $-1=2+2*3+2*3*3+2*3*3*3+...$
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $-1=(...:2:2:2:2)_{trois}$
  • A quoi servent de telles égalités ?
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    Dans "ma" numération primorielle, j'ai un problème peut-être à règler avec les "chiffres" $$(4:2:1)_{Primorial}=(1:0:-1:1)_{Primorial}$$ Pourtant une telle écriture bizarre se révèle utile au sein d'un de mes algorithmes.
  • Bonjour,

    La rotondité de la Terre n'a pas changé, le chant magnétique est comme la voix, libre.

    Le passage à la limite est limite pas sage.

    (bon courage aux modèles d'apprentissage qui n'ont ni ailes ni limites et bisous d'amour aux modétareurs)
  • Dans la version p-adique, l'égalité calcule la somme d'une série géométrique : ce n'est ni inutile, ni très profond. 
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $2+2*3+2*3*3+...=(...2:2:2:2)=\frac{2}{1-3} \text{(séries formelles? calcul à la Ramanujan ?...)} =-1$
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    La profondeur  d'une notion mathématique n'est-elle pas une notion métamathématique? L'égalité $1+1=2$ n'est ni inutile, ni très profonde. On peut y consacrer quelques minutes d'enseignement ou 1000 pages. En concluant après ces 1000 pages, avec un humour très anglais, "cette égalité pourra être utile".
  • En faisant les calculs à l'envers j'ai trouvé -1/132
  • @samok, ça moque...
  • Non, non; ne dites rien.

    Envoyez des ombres complexes dans l'indénombrable.
    Les produits de consommation ne seront plus ni commutatifs, ni associatifs.
    (La vache $\khi$) :)

  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    J'aimerais savoir si l'on peut théoriser mathématiquement ou pas l' importance ou pas de la numération primorielle. Si je commence à bien comprendre, la numération à base $p$ est associée à $\Z_p$, et l'on semble accorder de l'importance à $\Z_p$ et donc conséquemment à la numération à base $p$. 

    Peut-on dire que comme la numération primorielle est associée à $$\prod_{p}^{}\mathbb{Z}/p$$
    on peut conséquemment accorder de l'importance mathématique à la numération primorielle et ne pas la cantonner au rôle actuel a priori de numération anecdotique ?
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    Autrement dit, comme il n'est ni inutile ni profond d'écrire $1+1=2$, n'est-il pas utile de populariser une égalité peu profonde comme $$-1=1+2*2+4*6+6*30+...$$
  • $i^2=1+2*2 \ldots$

    dans un style plus stylé ?
  • $i^2=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)\notin \prod_{p}^{}\mathbb{Z}/p$


  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $i^2=(0,1)\times (0,1)=(-1,0)\notin \prod_{p}^{}\mathbb{Z}/p$
     $-1$ dans l'égalité n'est pas l'entier relatif $-1$ mais l'image de l'entier relatif $-1$ par le plongement
    $$\xi:\Z\to \prod_{p}^{}\mathbb{Z}/p$$ $$n\mapsto (n,n,n,n)$$

    $-1$ dans l'égalité signifie $\xi(-1)=(1,2,4,6,10,....)$
    Après, @samok, tu peux essayer de donner du sens à la présence de $i^2$ dans l'égalité si tu veux.

    Je crois que dans ce type d'occasion, un de mes enseignants à l'université disait : "c'est conceptuel."
  • Pourquoi samok cette insistance de polluer un fil sérieux, Il serait bien de t'enfermer comme avant dans tes propres fils. 
    vous ne comprenez pas les choses, vous vous y habituez.


  • stfj
    Modifié (20 Apr)
    Au fait, j'ai une question toute bête à propos  de $$(\prod_{n=1}^{+\infty} \mathbb{Z} / p_n\mathbb Z,+,\times)$$Comment nomme-t-on cet anneau ? La seule réponse que j'ai obtenue, c'est celle de math-gpt, qui me dit qu'on parle de "l'anneau produit des $\Z/p$ pour tous les p premiers". J'aurais bien une idée pour ma part mais qui risque de paraître farfelue. Vue l'importance des corps $\Z/p$, je parlerais volontiers de "l'Anneau des anneaux" ou, par référence à Tolkien, du "Maître Anneau" :)
  • Avant de lui donner un nom, il faut trouver pourquoi celui-ci et pas un autre devrait porter un nom particulier. Je n’ai aucune culture sur ce sujet là. 
  • D'après math-gpt, le seul avis que j'ai pu recueillir étant celui de math-gpt, comme tous les nombres premiers interviennent dans la définition du Maître-Anneau, c'est "riche" : c'est l'adjectif utilisé par math-gpt. Autrement dit, c'est précieux :)
  • Bibix, que nous saluons tous 😀 a plié la question « égalité mystérieuse » en deux temps trois mouvements. L’égalité était mystérieuse avant d’être triviale désormais. 
    Le fil est donc « fermé » et la digression « quel est le nom de cet anneau » est peut-être pertinente après tout. 
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