Espace vectoriel normé

Bonjour à tous,
habituellement quand j'utilise un espace vectoriel normé c'est toujours sur un corps $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Ici il s'agit d'un espace vectoriel sur un corps fini et du coup j'ai un doute.

Soit $\mathbb{K} =\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et $E = \mathbb{K}^n$, on définit l'application $w\colon E \to \mathbb{N}\subset\mathbb{R}$ par
    \[ w(x) = \operatorname{Card}\{i \mid x_i\neq 0\}\quad\forall x = (x_1,\dots,x_n)\in E\;. \]
    
    On a
  1. $w(x) = 0 \iff x = 0_E$
  2. pour tout $\lambda\in\mathbb{K}$ et tout $x\in E$, on a $w(\lambda x) = |\lambda|w(x)$ (puisque $\lambda$ vaut soit $0$ soit $1$)
  3. pour tout $(x,y)\in E^2$, $w(x+y) \leq w(x)+w(y)$ puisque $x_i+y_i \neq 0 \implies x_i\neq 0 \land y_i\neq 0$.
Est-ce qu'on peut dire que $E$ muni de $w$ est un espace normé ?

D'autre part si on prend comme corps de base $\mathbb{K} =\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ avec $p$ un nombre premier impair, le point numéro 2 ne tient plus. Est-ce cela qu'on appelle une pseudo-norme ? Parfois certains auteurs parlent de pseudo-norme quand $w(x) = 0 \not\implies x = 0_E$, d'autre fois ils parlent de semi-norme.

Je vous remercie par avance pour vos lumière.
Cordialement,
Mister Da






Réponses

  • Bonjour, oui dans le premier cas $E$ est normé. Quand le point 2. saute je ne pense pas qu'on appelle ça une pseudo norme (en tout cas je n'ai jamais rencontré ça). Mais même si le point 2. saute tu peux définir une distance avec $w$ donc tu peux au moins faire de $E$ un espace métrique.
  • Bonjour,
    Pour moi, une semi-norme induit une pseudo-distance et une pseudo-norme induit une semi-distance (donc rien à voir avec $w$ qui induit une distance tout court sauf erreur). Mais je crois qu'il n'y a pas de consensus là-dessus, cela dépend des auteurs.
  • Bonjour,
    merci beaucoup pour vos réponses. En fait je lisais des documents (non mathématiques) sur les codes correcteurs d'erreur (Hamming, etc) et plusieurs auteurs s'enlisent là dedans en parlant de "pseudo norme" sans plus de précision alors que finalement étant sur des codes binaires il s'agit bien d'une norme mais j'ai eu un doute.
    Pour résumer, effectivement dans le cas d'un corps général $w$ n'est pas une norme (car il manque l'absolue homogénéité) mais $d(x,y) = w(x-y)$ est néanmoins bien une distance et $E$ est un espace métrique. Si le corps est $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ alors cerise sur le gâteau $w$ est une norme et $E$ un espace normé.  
    Merci de m'avoir rassuré.
    Cordialement,
    Mister Da
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