Convergence au sens des distributions

mathspe

Bonjour.
On  a $$ \sum_{j=0}^{\infty}  L_{j}^{a}(x) z^{j}=  \frac{1}{(1-r)^{a+1}} \exp (-\frac{x z}{1-z}), |z|<1 $$

Donc en tant que série entière en $z$ on a la convergence uniforme sur tout compact de $]-1,1[$ donc au sens des distributions.  
Ceci est-il vrai?
Merci

 

gebrane

Oui

la convergence uniforme sur tout compact implique la convergence dans ${\cal D}'$

Soit   $(T_{f_k})$ la suite des distributions régulières associées à $(f_k)$

$\vert\langle T_{f_k},\phi\rangle-\langle T_f,\phi\rangle\vert\le\sup_{x\in K}\vert f(x)-f_k(x)\vert\Vert\phi\Vert_1$

où $K$ est un compact contenant le support de $\phi $. 

mathspe

Merci beaucoup cher@gebrane