Un raisonnement mathématique étonnamment intéressant pour chatGPT

Matricule_63

Bonjour à tous,

J'ai donné le problème suivant à chatGPT:

Propose trois polynôme $P_1$, $P_2$ et $P_3$ vérifiant:

- Leurs coefficients sont entiers.
- Ils sont de degré 2

- $P_2$ et $P_3$ ont des racines rationnelles
- $P_3 =P_2 - P_1 $

C'était pour concevoir un exo de brevet blanc et j'avais la flemme d'y réfléchir.
Mon prompt n'avait rien de particulier, et pourtant la réponse de chatGPT est assez intéressante :

1. Il raisonne par étape, sans qu'on lui demande.
2. Il vérifie lui-même la validité de sa réponse et peut se rendre compte de ses erreurs.

Bon, c'est pas encore Villani, mais l'amélioration est remarquable. Il tâtonne vraiment lentement, mais c'est dans l'ensemble plutôt rigoureux. (malgré une ou deux propositions étonnantes)

Je vous laisse admirer:

Nous devons choisir \(P1\) et \(P2\) de manière appropriée. Voici un exemple de tels polynômes:

Polynôme \(P1(x)\): Prenons un polynôme avec des racines simples et rationnelles, par exemple:

\[ P1(x) = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 \]

Polynôme \(P2(x)\): Choisissons également un polynôme avec des racines rationnelles. Nous ajoutons une constante à \(P1(x)\) pour obtenir un nouveau polynôme \(P2(x)\) avec des racines différentes, tout en garantissant que \(P3(x)\) soit de degré 2:

\[ P2(x) = (x - 2)(x - 4) + 3 = x^2 - 6x + 8 + 3 = x^2 - 6x + 11 \]

Les racines de \(P2(x)\) ne sont pas immédiatement évidentes, mais elles sont également rationnelles. Nous avons simplement ajouté une constante à \(P1\) pour nous assurer que \(P3\) reste de degré 2.

Polynôme \(P3(x)\): Maintenant, nous soustrayons \(P1\) de \(P2\) pour obtenir \(P3\):

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - 6x + 11) - (x^2 - 4x + 3) \]

\[ P3(x) = -2x + 8 \]

Oops, \(P3(x)\) ne s'avère pas être un polynôme de degré 2 (c'est un polynôme de degré 1). Revenons un peu en arrière et choisissons à nouveau \(P2\) mais en s'assurant qu'il reste de degré 2 après soustraction de \(P1\). Nous devons utiliser une constante de sorte que \(P3\) ait un terme de degré 2.

Supposons:

\[ P2(x) = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]

Maintenant, pour \(P3(x)\):

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 4x + 3) \]

\[ P3(x) = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 4x - 3 \]

\[ P3(x) = 1 \]

Ah, encore une fois \(P3(x)\) n'est pas de degré 2. Je m'excuse pour cette erreur. Essayons une dernière fois:

Révisons nos choix pour \(P2(x)\) afin que \(P3(x)\) soit de degré 2. Nous allons ajouter un terme constant à \(P1(x)\) pour créer \(P2(x)\) :

\[ P2(x) = P1(x) + k \]

Où \( k \) est une constante qui doit être ajoutée pour que \(P3(x)\) reste un polynôme du deuxième degré. Choisissons \( k = 10 \) par exemple :

\[ P2(x) = x^2 - 4x + 3 + 10 = x^2 - 4x + 13 \]

Les racines de ce polynôme ne sont pas évidentes, mais elles sont bien rationnelles. Calculons à présent \( P3(x) \) :

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - 4x + 13) - (x^2 - 4x + 3) \]

\[ P3(x) = x^2 - 4x + 13 - x^2 + 4x - 3 \]

\[ P3(x) = 10 \]

Nous avons de nouveau manqué notre objectif. Le problème est que j'ai inclus la condition "rationalité des racines" dans le choix de \( P2(x) \), en supposant à tort que l'addition d'une constante à \( P1(x) \) maintiendrait cette rationalité. Ceci n'était pas correct.

Pour corriger cette erreur, je vais choisir un \( P2(x) \) qui contient de manière évidente des racines rationnelles:

\[ P2(x) = (x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10 \]

Maintenant \( P1 \) pourrait être quelque chose comme:

\[ P1(x) = (x - 1)(x - 6) = x^2 - 7x + 6 \]

Et donc \( P3 \) devient:

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - 7x + 10) - (x^2 - 7x + 6) \]

\[ P3(x) = x^2 - 7x + 10 - x^2 + 7x - 6 \]

\[ P3(x) = 4 \]

Apparemment, une erreur a été commise. Pour obtenir un \( P3 \) du second degré, le terme constant après la soustraction du terme constant correspondant dans \( P1 \) doit être non nul.

Donc, pour garantir que \( P3 \) reste un polynôme de degré 2, nous devons choisir le terme de degré zéro dans \( P2 \) pour être différent de celui dans \( P1 \).

Maintenant, avec les polynômes suivants, nous respecterons toutes vos conditions :

\[ P2(x) = (x - 2)(x - 5) = x^2 - 7x + 10 \]

\[ P1(x) = (x - 1)(x - 6) + 1 = x^2 - 7x + 7 \]  # à noter que j'ai ajouté +1 pour changer le term constant

\[ P3(x) = x^2 - 7x + 10 - x^2 + 7x - 7 = 3 \]

Cela n'a tout de même pas fonctionné, nous avons de nouveau un \( P3 \) qui n'est pas de deuxième degré. Excusons-nous encore pour cette erreur. Reprenons encore une fois en choissant correctement les polynômes \( P2 \) et \( P1 \) :

Laissez-moi proposer les polynômes corrects maintenant :

\[ P2(x) = x^2 - 7x + 10 \]

\[ P1(x) = x^2 - 5x + 6 \]

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) = x^2 - 7x + 10 - x^2 + 5x - 6 = -2x + 4 \]

On constate que le polynôme \( P3 \) est en fait de degré 1. C'était une erreur. Nous avons besoin que \( P3 \) soit de degré 2. Pour cela, garantissons que le coefficient principal de \( P2 \) soit différent de celui de \( P1 \). Dans notre exemple, les deux polynômes ont des coefficients principaux de 1, donc leur différence sera zero, ce qui n'est pas ce que nous voulons.

Reprenons depuis le début avec de nouveaux polynômes qui répondent correctement à vos critères :

Polynôme \( P1(x) \) :

\[ P1(x) = x^2 - 5x + 6 \]

Les racines sont \( x = 2 \) et \( x = 3 \), qui sont toutes les deux rationnelles.

Polynôme \( P2(x) \) :

\[ P2(x) = x^2 - x - 2 \]

Les racines sont \( x = 2 \) et \( x = -1 \), qui sont également rationnelles.

Calculons maintenant le polynôme \( P3(x) \) :

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - x - 2) - (x^2 - 5x + 6) \]

\[ P3(x) = x^2 - x - 2 - x^2 + 5x - 6 \]

\[ P3(x) = 4x - 8 \]

Une fois de plus, nous trouvons que \( P3(x) \) n'est pas de degré 2; c'est de degré 1.

Un dernier essai en tenant compte de tous nos erreurs :

Nous choisissons \( P1(x) \) et \( P2(x) \) de telle sorte que \( P3(x) = P2(x) - P1(x) \) soit un polynôme de degré 2.

Pour \( P1(x) \), prenons :

\[ P1(x) = x^2 - 2x + 1 \]

C'est le carré de \( (x-1) \) donc il a une racine double qui est \( x = 1\).

Pour \( P2(x) \), prenons :

\[ P2(x) = x^2 - 4x + 4 \]

C'est le carré de \( (x-2) \) donc il a aussi une racine double qui est \( x = 2 \).

Maintenant, pour \( P3(x) \) :

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (x^2 - 4x + 4) - (x^2 - 2x + 1) \]

\[ P3(x) = x^2 - 4x + 4 - x^2 + 2x - 1 \]

\[ P3(x) = -2x + 3 \]

Nous avons eu de nouveau un polynôme de degré 1 pour \( P3(x) \). Le problème est que nous avons choisi \( P2(x) \) et \( P1(x) \) avec le même terme de degré 2. Une bonne approche pour obtenir un polynôme \( P3(x) \) de degré 2 est d'avoir différents coefficients devant le terme en \( x^2 \) pour \( P2(x) \) et \( P1(x) \), ou de s'assurer que les termes constants se soustraient pour donner quelque chose de non trivial autre qu'un simple nombre.

Voici une nouvelle tentative en garantissant des termes différents pour \( x^2 \) :

Prenons :

\[ P2(x) = 2x^2 + x - 3 \]

Ici les racines rationnelles sont \( x = 1 \) et \( x = -\frac{3}{2} \).

Et pour \( P1(x) \), prenons :

\[ P1(x) = x^2 + x - 2 \]

Les racines rationnelles sont \( x = 1 \) et \( x = -2 \).

Maintenant le polynôme \( P3(x) \) :

\[ P3(x) = P2(x) - P1(x) \]

\[ P3(x) = (2x^2 + x - 3) - (x^2 + x - 2) \]

\[ P3(x) = 2x^2 + x - 3 - x^2 - x + 2 \]

\[ P3(x) = x^2 - 1 \]

Enfin, \( P3(x) \) est un polynôme de degré 2. Nous avons établi les polynômes suivants qui respectent toutes vos exigences :

- \( P1(x) = x^2 + x - 2 \) ayant des racines \( x = 1 \) et \( x = -2 \).

- \( P2(x) = 2x^2 + x - 3 \) ayant des racines \( x = 1 \) et \( x = -\frac{3}{2} \).

- \( P3(x) = x^2 - 1 \) qui est la différence de \( P2 \) et \( P1 \), et qui se factorise également en \( (x-1)(x+1) \), ayant donc pour racines \( x = 1 \) et \( x = -1 \), toutes deux rationnelles.

Médiat_Suprème

Il est quand même pas malin de ne pas voir que $P_2 = 2P_1$ répond à la question avec n'importe quel $P_1$ qui va bien.