L'argument de la Diagonale de Cantor échoue au test de l'application identité bijective

berty
Modifié (20 Apr) dans Shtam
L'existence des nombres transfinis étant entièrement basée sur l'Argument de la Diagonale de Cantor, pensez vous que ce court article que je viens de traduire en Français remette en question leur existence?

NB: La notation [0,1) anglo-saxonne doit être comprise comme [0,1[

Application identité des nombres réels de l'intervalle [0,1) sur eux même

Soit l'application identité des nombres réels de l'intervalle [0,1) sur eux même:
\begin{align*}
\mathbf{Id} : [0,1) & \rightarrow [0,1) \\
x & \mapsto \text{id}(x) = x
\end{align*}
Rappel: l'application identité Id [0, 1) → [0, 1) est bijective

L'argument de la Diagonale de Cantor appliqué à la fonction identité

Pour vérifier formellement sa cohérence, je vais appliquer l'argument de la diagonale de Cantor entre les nombres réels de l'intervalle [0,1) et eux-mêmes en passant par l'application identité qui garantie la bijection.
 

Hypothèse (H1):

L’argument de la diagonale de Cantor est un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire $E$ et l’intervalle des nombres réels  $[0,1)$.


Première étape de l'argument de la Diagonale de Cantor:

L'application identité $\mathbf{Id}$ appliquée entre l'intervalle $[0,1)$ des nombres réels et lui-même, c'est-à-dire $E=\mathbf{Id}\left([0,1)\right)$, peut être exprimée en base $r$ en utilisant les nombres positionnels $a_1, a_2, a_3,\ldots$), comme suit:

\begin{split}
\mathbf{Id}:[0,1)&\rightarrow[0,1)\\
\rm{Id}(a_1)=a_1&\mapsto a_1=0.a_{11} a_{12} a_{13}\ldots\\
\rm{Id}(a_2)=a_2&\mapsto a_2=0.a_{21} a_{22} a_{23}\ldots\\
\rm{Id}(a_3)=a_3&\mapsto a_3=0.a_{31} a_{32} a_{33}\ldots\\
&\vdots
\end{split}

Seconde étape de l'argument de la Diagonale de Cantor:

Soit $\overline{d}=f(a_1,a_2,a_3,\ldots)$ l'antidiagonale formée par les chiffres incrémentés (modulo r) de la diagonale comme suit:
\begin{split}(2)\ \ \overline{d}=0.\bar{d}_1 \bar{d}_2 \bar{d}_3\ldots\text{ with } \overline{d}_i\equiv a_{ii}+1\text{ mod }r \ \ \forall i\in \lbrace 1,2,3,\ldots \rbrace
\end{split}

Raffinement (H2) de l'hypothèse originale (H1)

Je raffine ici l'hypothèse originale (H1) à la lumière de l'équation (2):
(H2) l'argument diagonal de Cantor est un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire $E$ et l'intervalle des nombres réels $[0,1)$, ce qui implique :
  • (H2A) si l'antidiagonale $\overline{d}$ est retrouvée dans la liste $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la correspondance biunivoque est bijective
  • (H2B) si l'antidiagonale $\overline{d}$  n'est pas retrouvée dans la liste $a_1,a_2,a_3,\ldots$ la correspondance biunivoque est non surjective


Étape résultat de l’argument de la diagonale de Cantor

Puisque l'équation (2) garantit que pour tout nombre réel $a_i$, $\overline{d}$ a un chiffre, $\bar{d}_i$, distinct des chiffres antidiagonaux $a_{i i}$ de $a_i$ $\forall i\in \lbrace 1,2,3,\ldots \rbrace$, ce qui assure que pour tout nombre réel :

$$[3)\ \ a_i \neq \overline{d} \ \forall i\in \lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace \ldots
\implies \overline{d}\notin \lbrace a_1, a_2, a_3, \ldots\rbrace$$
Li Hongyi:  A Rigorous Examination on Cantor's Diagonal Argument (p:2):
Since eq.(3) guarantees that for any real number $a_i$, $b$ has one decimal place, $b_i$, which is
    different from the $i$-th decimal place $a_{ii}$ of the real number $a_i$, which ensures that for any real number $a_i$,
    $$a_i\neq b\ \ (i=1,2,3,\ldots)\ \  \  \text{(4)}$$

l'antidiagonale $\overline{d}$ n'est pas prise en compte dans la liste $a_1,a_2,a_3,\ldots$:
  • (R1) cela suggère une correspondance biunivoque non surjective impliquant que les ensembles ne sont pas équinumériques et ne peuvent pas être des ensembles identiques
  • (R2) $E=\mathbf{Id}\left([0,1)\right)=[0,1)$ assure une correspondance bijective entre des ensembles identiques.
ce qui résulte en une contradiction entre (R1) et (R2).
Cette contradiction implique que l'hypothèse originale (H1) et sa version raffinée (H2) sont fausses et que l'argument de la diagonale de Cantor n'est pas un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire $E$ et l'intervalle de nombres réels $[0,1)$.




Réponses

  • Bonjour, pour commencer, quelle est ta définition de $[0,1)$ ?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • En deuxième lieu ton assertion $R_1$ : (...)les ensembles ne sont pas équinumériques (...) : de quels ensembles s'agit-il? Quelle est la définition de équinumérique?
    Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
    Henri Poincaré
  • Médiat_Suprème
    Modifié (17 Apr)
    @berty "L’argument de la diagonale de Cantor est un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire $E$ et l’intervalle des nombres réels  $[0,1]$"

    Vous devriez relire quelques textes, dont certains se trouvent ici, concernant cette diagonale., parce que là on est plus dans shtam que dans la logique.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • pensez vous que ce court article que je viens de traduire en Français remette en question leur existence?
    Non.
    Cette contradiction implique que l'hypothèse originale (H1) et sa version raffinée (H2) sont fausses et que l'argument de la diagonale de Cantor n'est pas un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire E et l'intervalle de nombres réels [0,1).
    Effectivement, l'hypothèse H1 est fausse puisque l'argument diagonal de Cantor ne sert pas et n'a jamais servi à démontrer qu'un ensemble est en bijection avec $[0;1[$. Le but de l'argument diagonal de Cantor est de montrer que $\N$ n'est pas en bijection avec $[0;1[$. En bref l'auteur part d'une hypothèse fausse, que personne de sérieux n'a jamais considéré comme vraie, et démontre qu'elle est fausse. Il n'y a donc pas de contradiction avec les reste de l'édifice mathématique puisque, encore une fois, cet édifice ne repose absolument pas sur cette hypothèse fausse H1. Il s'agit juste d'une incompréhension par l'auteur de l'argument de Cantor. 
  • Au bas de la première page, la date :  1st april.

    L'auteur sait très bien ce qu'il fait (d'où ses "hypothèses") et cherche à piéger les lecteurs, tu t'es fait piéger, poisson d'avril !

    Cordialement.
  • La notation bizarre $[0,1)$ désigne probablement ce que nous notons $[0,1[$ ?
  • Oui c'est la notation anglo-saxonne il me semble. 
  • Donc importune sur un forum francophone, et de plus ridiculement conçue avec ce crochet et cette parenthèse incohérents.
  • Rien que le début, ça sent la grosse blague, l'eau ça mouille, le ciel est bleu...
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • berty
    Modifié (20 Apr)
    Renart a dit :
    pensez vous que ce court article que je viens de traduire en Français remette en question leur existence?
    Non.
    Cette contradiction implique que l'hypothèse originale (H1) et sa version raffinée (H2) sont fausses et que l'argument de la diagonale de Cantor n'est pas un argument valide pour qualifier une correspondance biunivoque entre un ensemble arbitraire E et l'intervalle de nombres réels [0,1).
    Effectivement, l'hypothèse H1 est fausse puisque l'argument diagonal de Cantor ne sert pas et n'a jamais servi à démontrer qu'un ensemble est en bijection avec $[0;1[$. Le but de l'argument diagonal de Cantor est de montrer que $\N$ n'est pas en bijection avec $[0;1[$. En bref l'auteur part d'une hypothèse fausse, que personne de sérieux n'a jamais considéré comme vraie, et démontre qu'elle est fausse. Il n'y a donc pas de contradiction avec les reste de l'édifice mathématique puisque, encore une fois, cet édifice ne repose absolument pas sur cette hypothèse fausse H1. Il s'agit juste d'une incompréhension par l'auteur de l'argument de Cantor. 

    Exact, ce texte montre que:
    1) H1 est faux: c'est-à-dire ADC va constamment donner le résultat "non surjectif" même pour une bijection
    2)et que l'Argument Diagonal de Cantor sorti du cas pour lequel il a été prévu donne des résultats incohérents, ce qui remet en question la méthode du point de vue scientifique.

    Ce texte démontre que l'Argument de la Diagonale de Cantor n'est pas un test binaire, mais une affirmation constante conduisant invariablement à l'échec. Il ne fournit aucune information nouvelle (0 bits au sens de l'entropie de Shannon) car le résultat "non-surjectif" est déjà anticipé:

    https://www.researchgate.net/publication/379478278_CANTOR'S_ANTIDIAGONAL_TEST_RETRIEVAL_ALWAYS_SAYS_NO

    Quelle que soit l'hypothèse de départ et la liste partielle de l'ensemble confrontée à [0,1[, on obtient systématiquement le résultat "non-surjectif", qui permet de contredire l'hypothèse initiale. Cette contradiction est particulièrement remarquable quand le résultat attendu n'est pas "non-surjectif" :

    1)avec l'application identité bijective déjà mentionnée,

    2)et en répétant deux fois l'argument de la diagonale de Cantor lors d'une mise en correspondance entre l'intervalle [0,1[ et les ordinaux transfinis en Forme Normale de Cantor.

  • Vous devriez relire quelques textes, dont certains se trouvent ici, concernant cette diagonale., parce que là on est plus dans shtam que dans la logique.
    Médiat_Suprème je ne sais pas comment passer de logique et fondations à Shtam, mais le fond du problème reste une question de logique sur la valeur d'un argument donnant un résultat constant quelque soit les données d'entrées (hypothèse de départ et ensemble à confronter à [0,1[)

  • Erreur, la bonne destination n'est pas shtam mais la poubelle ! Juste au cas ou une âme pure se ferait avoir.
    Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.

    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
  • Berty et Renart, ce texte parodique ne démontre rien, vous vous êtes fait avoir par un poisson d'avril. 
  • berty
    Modifié (20 Apr)
    gerard0 a dit :
    Berty et Renart, ce texte parodique ne démontre rien, vous vous êtes fait avoir par un poisson d'avril. 

    Suis l'auteur, je met à profit mes WE prolongés pour avancer sur mes articles et j'avais promis à mon groupe de livrer 3 articles RCDA2, RCDA3, RCDA4 au 1er Avril


  • Lirone93
    Modifié (20 Apr)
    Tout ce qu'on peut dire, c'est que l'ensemble de départ choisi, n'est pas dénombrable (ou l'ensemble d'arrivée n'est pas indénombrable, mais c'est absurde ici puisque c'est $[0; 1[$).
    Il suffit donc d'étudier ce cas pour se rendre qu'en fait, on a beau chercher un rapport avec la diagonale de Cantor, on ne le trouve pas. C'est donc bien un poisson d'Avril.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Oui mais on est obligé de trouver un nombre non calculable dedans. Ce n’est pas rien 😉😏😈. Pardon c’est une vanne sur un autre fil. 
  • Berty,

    tu dis que tu es l'auteur de ce texte ? Pourquoi le publier ici le 17 avril ? Ce n'est plus drôle !
  • C’est tout de même le jour de l’anniversaire d’un de mes cousins. Ça compte !
  • Lirone93
    Modifié (20 Apr)
    L'auteur a en plus donné un indice : il n'y a pas de série d'articles sur le sujet  ou alors elle a un rayon de convergence nul :D.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • Lirone93 a dit :
    Tout ce qu'on peut dire, c'est que l'ensemble de départ choisi, n'est pas dénombrable (ou l'ensemble d'arrivée n'est pas indénombrable, mais c'est absurde ici puisque c'est $[0; 1[$).
    Il suffit donc d'étudier ce cas pour se rendre qu'en fait, on a beau chercher un rapport avec la diagonale de Cantor, on ne le trouve pas. C'est donc bien un poisson d'Avril.
    Tout nombre peut être mis en correspondance biunivoque avec lui-même, qu'il fasse partie d'un ensemble dénombrable ou indénombrable. Ainsi, Cantor aurait pu tester la cohérence de sa méthode en essayant de mettre en correspondance [0,1[ avec lui-même. Ceci aurait révélé que sa méthode produisait systématiquement des résultats négatifs, remettant en question sa conclusion sur l'indénombrabilité de [0,1[.
  • Lirone93
    Modifié (20 Apr)
    Cantor n'est plus de ce monde, mais l'argument diagonal, oui.
    Il va falloir que certains, pas d'accord, se fassent une raison.

    Il n'est plus là pour vous expliquer  :*.
    « je sais que la question de départ est bizarre de la part d'un professeur certifié ».
  • gerard0 a dit :
    Berty,

    tu dis que tu es l'auteur de ce texte ? Pourquoi le publier ici le 17 avril ? Ce n'est plus drôle !
    Oui c'est moins drôle le 17/04, mais qui peut être certain d'un poisson d'Avril le Lundi de Pâques?
    après:
    • j'avais souvenir que ce forum requiert l'excellence
    • donc l'article du 01/04 a été relu par mon groupe
    • j'ai prévenu Hongyi Li (Hong-Yi Lee) https://vixra.org/pdf/2106.0160v1.pdf qu'il m'avait sacrement aidé...
    • après il fallait le traduire
    Et tout ça reste un hobby ...
  • Les blagues les plus courtes étant les meilleures, fermons ce fil.
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