Proportionnalité

Bonjour à tous :)

La proportionnalité apparaît souvent dans les mathématiques de l'enseignement secondaire : en analyse (fonctions linéaires), en géométrie (théorème de Thalès, triangles semblables, loi des sinus, colinéarité des vecteurs, équations cartésiennes d'une même droite ou d'un même plan), on peut aussi la retrouver dans des exercices de probabilité. 

Cependant je m'aperçois que je ne suis pas au clair avec cette notion. J'ai donc entrepris de mathématiser un peu.

Soit $l \in \N^*$, je la définis d'abord sur l'ensemble des suites réelles de longueur $l$ : 

Définition : Soient $(u_n)_{1\leq n \leq l}$ et $(v_n)_{1\leq n \leq l}$ deux suites réelles de longueur $l$. On dit que $(u_n)$ est proportionnelle à $(v_n)$ s'il existe un réel $k$ non nul tel que $$(v_n)=(k \times u_n).$$ On note alors $(u_n) \propto (v_n)$.

Remarque : Si on suppose $k$ non nul alors la relation de proportionnalité est une relation d'équivalence. Si on ne fait pas peser cette contrainte sur $k$, alors cette relation binaire n'est plus symétrique (en effet, toute suite devient proportionnelle à la suite nulle alors que cette dernière n'est proportionnelle qu'à elle même) ; on gagne cependant le fait que l'ensemble des suites proportionnelles à une suite fixée a une structure naturelle de $\R$-espace vectoriel (ce qui n'a peut-être aucun intérêt).

Question : Quelle est selon vous la bonne définition ? Autrement dit le réel $k$ doit-il être considéré non nul comme ci-dessus ?

Ceci fait, on peut énoncer les propriétés additives et multiplicatives (en un mot de linéarité) de la proportionnalité : 

Proposition : Soient $(u_n)_{1\leq n \leq l}$ et $(v_n)_{1\leq n \leq l}$ deux suites réelles de longueur $l$. Soient  $\lambda$, $\mu \in \R$ et deux indices $i, j \in \llbracket 1,l \rrbracket $,  On pose : $$\begin{array}[t]{lrcl} \widetilde{(u_n)} : & \ \llbracket 1, l+1 \rrbracket & \longrightarrow & \R \\ & n & \longmapsto   &  \left\{\begin{array}{ll} u_n & \mbox{si } 1\leq n \leq l \\ \lambda u_i+\mu u_j & \mbox{si } n=l+1.\end{array}\right. \end{array} $$ $$\begin{array}[t]{lrcl} \widetilde{(v_n)} : & \ \llbracket 1, l+1 \rrbracket & \longrightarrow & \R \\ & n & \longmapsto   &  \left\{\begin{array}{ll} v_n & \mbox{si } 1\leq n \leq l \\ \lambda v_i+\mu v_j & \mbox{si } n=l+1.\end{array}\right. \end{array}$$
Si $(u_n) \propto (v_n)$, alors $\widetilde{(u_n)} \propto \widetilde{(v_n)}$.

On peut aussi énoncer l'égalité des produits en croix : 

Proposition :  Soient $(u_n)_{1\leq n \leq l}$ et $(v_n)_{1\leq n \leq l}$ deux suites réelles de longueur $l$. Si $(u_n) \propto (v_n)$, alors pour tout $i$, $j\in \llbracket 1, l \rrbracket $, $$u_i \times v_j=v_i \times u_j.$$

La réciproque étant vraie, on peut ensuite donner un critère de proportionnalité :

Théorème : Soient $(u_n)_{1\leq n \leq l}$ et $(v_n)_{1\leq n \leq l}$ deux suites réelles de longueur $l$, alors $(u_n) \propto (v_n)$ si et seulement si pour tout indice $i$, $j\in \llbracket 1, l \rrbracket$ avec $j>i$, on a l'égalité des produits en croix $u_i \times v_j=v_i \times u_j$.

Remarque : Cette caractérisation pose problème avec la suite nulle. La solution est peut-être d'exclure cette dernière de l'ensemble des suites considérées.

Réponses

  • Bonsoir,

    Tout dépend de ce que l’on veut faire. 
    Si on reste purement dans le secondaire, je suis partisan d’autoriser le $k=0$. Et tant pis si ça n’est pas symétrique. 
    Mathématiquement ce n’est pas très habile, c’est exact. 

    Cordialement 

    Dom
  • Pareil que Dom, c’est comme avec des vecteurs colinéaires.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • zeste
    Modifié (22 Apr)
    Merci pour vos réponses ! :)

    Après réflexion, je pense que la meilleure définition est la suivante : 

    Définition : Soient $(u_n)_{1\leq n \leq l}$ et $(v_n)_{1\leq n \leq l}$ deux suites réelles de longueur $l$. On dit que $(u_n)$ est proportionnelle à $(v_n)$ s'il existe un réel $k$ tel que $$(v_n)=(k \times u_n) \quad \text{ou} \quad (u_n)=(k \times v_n).$$
    On gagne le caractère symétrique et le fait que toute suite est proportionnelle à la suite nulle, ce qui rend vrai le critère de proportionnalité par les produits en croix. Evidemment on perd la transitivité, mais dans la mesure où la relation de proportionnalité ainsi définie est une relation d'équivalence sur l'ensemble des suites non nulles, je ne pense pas que ce soit un problème.
    Un autre avantage est qu'elle permet de définir proprement ce qu'est un coefficient de proportionnalité entre de deux suites proportionnelles.

    Une définition similaire de la colinéarité des vecteurs me semble judicieuse (Définition : On dit qu'un vecteur est colinéaire à un autre si l'un est produit de l'autre par un réel.), dans la mesure où elle permet d'énoncer le critère avec le déterminant, qui n'est qu'une histoire de proportionnalité des coordonnées.

    Maintenant qu'une définition pour les suites finies est donnée, on peut essayer de donner une définition de la proportionnalité dans le cadre des grandeurs (les ressources d'accompagnement du cycle 4 parlent de "grandeurs proportionnelles"), car les suites finies de nombres considérées dans l'enseignement proviennent souvent de grandeurs mesurées.

    D'abord une définition de ce qu'est une grandeur (c'est celle donnée par Daniel Perrin dans Mathématiques d'école) :
     
    Définition : Soit $E$ un ensemble (les objets), une grandeur définie sur $E$ est une application $g$ de $E$ dans un ensemble $G$ (l'ensemble des grandeurs du type considéré) .  On suppose que $G$ est muni d'une relation d'ordre total possédant un plus petit élément noté $0$ (la grandeur nulle) et d'une addition, commutative, associative et compatible avec l'ordre, pour laquelle $0$ est un élément neutre et qu'on a les quatre axiomes suivants :
    1) On a une soustraction des grandeurs : étant donnés $x$, $y \in G$ avec $x<y$, il existe $z \in G$ tel que $x+z=y$. 
    2) On a une division des grandeurs : étant donné $x \in G$ et $n \in \N^*$, il existe $y \in G$ tel que $x=ny=y+y +\cdots +y$ (n fois).
    3) On a l'axiome d'Archimède : pour tout $x$ positif de $G$, et tout $y \in G$ il existe $n\in \N$ tel que $nx>y$.
    4) On a un axiome de continuité : tout sous-ensemble majoré de G admet une borne supérieure.

    Ainsi, lorsqu'on fait le choix d'une unité (un élément de G non nul), l'ensemble des grandeurs d'un même type est isomorphe à $\R^+$ : 

    Théorème/Définition : Soit $G$ l'ensemble des grandeurs d'un type considéré sur un ensemble d'objet $E$, et soit $u \in G \setminus{\{0\}}$. Il existe une unique application $\mu_u :  G  \longrightarrow  \R^+$ qui envoie $0$ sur $0$ et $u$ sur $1$ et qui respecte l'ordre et l'addition. Cette application est bijective. C'est l'application mesure de la grandeur considérée relativement à l'unité $u$.

    Définissons maintenant la proportionnalité pour les applications réelles qui ont même ensemble de départ :

    Définition : Soit $E$ un ensemble, soient $f : E \longrightarrow  \R $ et $G : E \longrightarrow  \R $, on dit que $f$ est proportionnelle à $g$ s'il existe un réel k tel que $$ g=kf \quad \text{ou} \quad f=kg.$$

    Vient alors la propriété suivante : 

    Proposition : Si on remplace l'unité $u$ par une unité $u'$, alors les mesures relatives $\mu_u$ et $\mu_{u'}$ sont proportionnelles.

    Quand les applications n'ont pas le même ensemble de départ, c'est plus délicat.
    Les ressources d'accompagnement du cycle 4 parlent de "dépendance entre deux grandeurs" à propos de l'étude des fonctions numériques. Je propose la définition suivante :

    Définition : Soient deux grandeurs $G$ et $G'$ et une application $f$ de $G$ dans $G'$. On dira alors que $G'$ est $f$-dépendante de $G$. On dira que cette $f$-dépendance est proportionnelle (et qu'on est dans une situation de proportionnalité) si $\mu_{G,u}$ est proportionnelle à $\mu_{G',u'} \circ f$.

    Remarque : On observe qu'une dépendance entre deux grandeurs est équivalente, par le choix d'une unité de $G$ et d'une unité de $G'$, à la donnée d'une application de $\R^+$ dans $\R^+$.

    On a ensuite le résultat suivant qui fait le lien entre dépendance proportionnelle et fonction linéaire : 

    Proposition : Soient deux grandeurs $G$ et $G'$ telles que $G'$ soit $f$-dépendante de $G$. Alors cette $f$-dépendance est proportionnelle si et seulement si l'application de $\R^+$ dans $\R^+$ suivante $f_{u,u'}:=\mu_{G',u'} \circ f \circ \mu_{G,u}^{-1} $ est linéaire.

    Revenons enfin au tableau de proportionnalité :

    Proposition : Soient deux grandeurs $G$ et $G'$ telles que $G'$ soit $f$-dépendante de $G$. On suppose cette dépendance proportionnelle. Soit $u$ une unité de $G$ et $u'$ une unité de $G'$. Soit $(g_n)_{1\leq n\leq l}$ une suite d'éléments de $G$ de longueur $l$. Alors : $$(\mu_{G,u}(g_n)) \propto ((\mu_{G',u'} \circ f)(g_n)).$$

  • zeitnot
    Modifié (22 Apr)
    Bonjour @zeste,
    ce que tu appelles suites, n'en sont pas, ce sont des l-uplets.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • On parle aussi de suite finie, non ?
  • zeitnot
    Modifié (22 Apr)
    Des suites qui sont finies ?, ça ne m'évoque rien, mais je te fais confiance @dom, tu connais plus de choses que moi. Par contre ça m'inquiète j'ai peur de ne raconter que des âneries à mes élèves depuis plus de 20 ans sur les suites. Je vais surveiller ma boîte aux lettres pour voir si ma lettre de licenciement n'arrive pas. :D

    Plus sérieusement, $(u_1, u_2,..., u_l)$ c'est un l-uplet et on peut appeler ça une suite ?  Suite qualifiée de finie.
    La vie est injuste surtout pour ceux qui partent avant les cheveux blancs.
  • Je l’ai seulement déjà entendu 😬 et lu ici même il me semble. Ce qui ne veut pas dire que c’est courant ou non erroné. 
  • Oui, un n-uplet est une suite finie.
    "suite"= application de $\N$ ou d'une partie de $\N$ dans un ensemble donné.

    Cordialement.

    NB : le vocabulaire mathématique n'est défini que par ses utilisateurs, donc peut utiliser différents mots; avec des usages variables (voir fonction/application).
  • <<Ce que tu appelles suites, n'en sont pas>>.
    Et en effet, une suite de longueur finie $n$ n'est pas une suite de longueur infinie.
    Cette propriété importante ayant été précisée, on peut aussi préciser que les lutins verts, s'ils existent, ne sont pas des lutins rouges. Il n'en reste pas moins qu'il peut être intéressant de se demander pourquoi les étudiants de licence se débrouillent aussi mal avec les proportions (=Thalès like), alors qu'ils manipulent honorablement les propriétés quadratiques (=Pythagore like).
    Je précise par avance, que mon intention n'est pas de suggérer que ces étudiants deviennent aussi peu efficaces dans le Pythagore-like que dans le Thales-like, mais que...

    Cordialement, Pierre.


  • J'ai l'impression que c'est générationnel. Dans cette autre discussion, il y a eu plus ou moins un débat un peu similaire.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Je viens de trouver cet extrait dans Théorie des ensembles (Bourbaki) : 

  • zeste
    Modifié (22 Apr)
    La souci, je crois, viens du fait que l'on note (presque ?) de la même façon des objets différents : la suite numérique finie $(u_n)_{1\leq n\leq l}$ de longueur $l$ et le $l$-uplet $(u_1, u_2, \cdots, u_l)$.

    Le premier est par définition une application de $\llbracket1,l \rrbracket$ dans $\R$.
    Le second est défini par récurrence à partir de la notion de couple.
  • Dom
    Dom
    Modifié (22 Apr)
    Je ne pratique pas beaucoup [du tout] Bourbaki mais je n’ai pas trouvé l’expression « n-uplet » dans le pdf que j’ai. 
    On l’expression « produit de deux ensembles » [il parle de « produit cartésien » dans une note de bas de page relative à Cantor]. 
    J'ai enfin trouvé (difficilement, je suis mauvais) ceci : 


  • Bourbaki, c'est les années 70-80. A cette époque, je crois qu'une suite pouvait être finie, et on ne parlait pas de n-uplets. Je pense que le vocabulaire a évolué, et aujourd'hui, une suite serait forcément infinie, et le terme n-uplet remplace la notion de suite finie.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Effectivement, je ne suis pas au fait de la mode sur ces questions là, lourrran.
  • Et on n’oublie pas les suites presque nulles. :#
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Oui, $\mathbb R^{(\mathbb N)}$. 
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