Construction Faisceautisation (sheafification)

Barjovrille

Bonjour,

Soit $X$ un espace topologique, soit $\mathcal{F}$ un préfaisceau d'ensembles (par exemple) sur $X$. J'ai voulu reconstruire la faisceautisation (en anglais sheafification je ne sais pas si c'est le bon terme en français) de $\mathcal{F}$ pour mieux comprendre la notion et dans le livre que je lisais ce n'était pas détaillé donc c'était une bonne occasion. Mais j'ai un point qui bloque c'est la condition "recollement" ("gluing").

J'explique ce que j'ai faiT. On peut voir le préfaisceau $\mathcal{F}$ comme un foncteur contravariant de $O(X)$ la catégorie des ouverts de $X$ muni des flèches inclusions ($V \subset U$) dans la catégorie $Set$ des ensembles. Soit $\mathcal{G}$ un faisceau d'ensembles sur $X$. Soit $\alpha : \mathcal{F} \to \mathcal{G} $ un morphisme de préfaisceaux. Je veux prouver la propriété suivante :

Propriété : Il existe un faisceau $\mathcal{F}^+$ et un unique morphisme $\alpha^+ : \mathcal{F}^+ \to \mathcal{G}$ qui fait commuter le diagramme suivant :

$\displaystyle \xymatrix{\mathcal{F} \ar[rr]^{\alpha} \ar[dd]^{\pi} && \mathcal{G} \\ \\ \mathcal{F}^+ \ar[rruu]_{\alpha^+}}$.

Je vais expliquer rapidement comment j'ai construit le faisceau $\mathcal{F}^+$ et $\pi^+ : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^+$. Je fixe un ouvert $U$, alors $\mathcal{F}(U)$  est appelé l'ensemble des sections de $\mathcal{F}$ sur $U$. Et pour tout $V \subset U$  je note $\rho_{UV}=\mathcal{F}( V \subset U)$ la flèche : $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$  qu'on appelle restriction de $U$ à $V$.

 Je muni $\mathcal{F}(U)$ d'une relation d'équivalence : $s,t \in \mathcal{F}(U)$ alors $s \sim t$ si et seulement si pour tout $p \in U$ il existe $V_p \subset U$ ouvert et $V_p \ni p$ tel que $\rho_{UV_p}(s)= \rho_{UV_p}(t)$.

C'est bien une relation d'équivalence.

Et comme $\mathcal{G}$ est un faisceau alors si $s \sim t$ alors pour tout $p \in U$, j'ai un ouvert $V_p \ni p$ tel que $\rho_{UV_p}(s)= \rho_{UV_p}(t)$, et j'ai $\alpha$ un morphisme de foncteur (transformation naturelle) donc :

$\xymatrix@R+2pc@C+3pc{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^{\alpha(U)} \ar[d]^{\rho_{UV_p}} & \mathcal{G}(U)\ar[d]_{\mu_{UV_p}} \\ \mathcal{F}(V_p)\ar[r]_{\alpha(V_p)} & \mathcal{G}(V_p) }$

Ca commute (où $\mu_{UV_p}$ c'est la restriction pour $\mathcal{G}$ biensûr) et donc comme $\rho_{UV_p}(s)= \rho_{UV_p}(t)$. J'ai $ \displaystyle \alpha (V_p)(\rho_{UV_p}(s))= \alpha (V_p)(\rho_{UV_p}(t))$

Donc par commutativité : $\mu_{UV_p}(\alpha(U)(s))=\mu_{UV_p}{(\alpha(U)(t))}$. De plus $U= \bigcup_{p\in U} V_p$ (où les $V_p$ sont ceux de l'hypothèse de la relation d'équivalence). Et on a l'égalité sur tous les ouvert $V_p$ du recouvrement donc par définition des faisceaux $\alpha(U)(s)= \alpha(U)(t)$.

Donc on a montré que si $s \sim t $ alors $\alpha(U)(s)=\alpha(U)(t)$. Donc la flèche $\alpha(U) : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)$ est compatible avec $\sim$. Je peux passer au quotient je note $\mathcal{F}^+(U)= \mathcal{F}(U)/ \sim$ et par propriété universelle du quotient j'ai une unique flêche $\alpha^+(U) : \mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{G}^(U)$ qui fait commuter le diagramme :

$\displaystyle \xymatrix{{\mathcal{F}(U)}\ar[rr]^{\alpha(U)} \ar[dd]^{\pi(U)} && {\mathcal{G}(U)} \\ \\ {\mathcal{F}^+(U)} \ar[rruu]_{\alpha^+(U)}}$

Je peux faire des relations d'équivalence du même type dans tous les sous ouvert $V$ (donc j'aurais des $\pi(V) : \mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}^+(V)$) de $U$ Dans le même esprit je peux montrer que si $s,t \in \mathcal{F}(U)$, et $s \sim t$ alors $ \rho_{UV}(s) \sim \rho_{UV}(t)$ (relation sur $\mathcal{F}(V)$). Et donc les flèches $\pi(V)\circ \rho_{UV} : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}^+(V)$ sont compatibles avec $\sim$. Donc je peux encore quotienter et je note $\rho^+_{UV} : \mathcal{F}^+(U) \to \mathcal{F}^+(V)$ la flèche obtenue, et je prend les $\rho^+_{UV}$ comme restrictions de $\mathcal{F}^+$, on vérifie facilement que tout ça forme un préfaisceau d'ensemble sur $X$ (ce qui consiste à vérifier que $ \mathcal{F}^+$ est un foncteur contravariant $O(X) \to Set$) .

Je veux montrer maintenant que $\mathcal{F}^+$ comme je l'ai construit est un faisceau. Soit $U$ ouvert $U= \bigcup_i U_i$ un recouvrement, je n'ai pas de problème pour la condition si $s,t \in \mathcal{F}^+(U)$, et pour tout $U_i$ $\rho_{U U_i}(s)= \rho_{U U_i}(t)$ alors $s=t$. Mais pour la condition "gluing" je suis bloqué. C'est à dire si je suppose que j'ai $(s_i) \in \mathcal{F}^+(U_i)$ une famille tel que pour tout $i,j$ $\rho_{U, U_i \cap U_j}(s_i)=\rho_{U, U_i \cap U_j}(s_j)$, je veux montrer l'existence de $s \in \mathcal{F}^+(U)$ tel que $\rho_{U U_i}(s)=s_i$.
Si quelqu'un a une idée, merci pour votre attention.

Foys

Dans Hartshorne (algebraic geometry) c'est bien fait (même si elliptique). Tu lis tous le chapitre 2 dudit livre et fais tous les exos et tu seras à l'aise.

En fait quand on a une sensibilité catégorique on voudrait réaliser ça comme un adjoint à gauche du foncteur d'oubli (des faisceaux vers les préfaisceaux) mais c'est un piège je pense (pas parce que ça ne marche pas; c'est vraiment le cas que c'est un mais on peut s'embrouiller dans des détails techniques; en tout cas ça m'était arrivé).

Foys

Pour des faisceaux sur des espaces topologiques la faisceautisation passe par des fibres (pour des faisceaux sur des sites de mémoire la construction est franchement plus compliquée). Soit $(X,\tau)$ un espace topologique, $\mathcal F$ un préfaisceau sur $X$ et pour tout $x\in X$, soit $\mathcal F_x$ la limite inductive(*) des $\mathcal F(V)$ lorsque $V$ parcourt l'ensemble des voisinages ouverts de $x$ (avec pour ordre l'inclusion inverse).

Pour tout ouvert $A$ de $X$, $\mathcal F^+(A)$ est l'ensemble des éléments $s$ de $\prod_{x\in A} \mathcal F_x$ tels que pour tout $y\in A$ il existe un voisinage ouvert $B$ de $y$ contenu dans $A$ et un élément $t\in \mathcal F (B) $tel que pour tout $z \in B$, $s(z)= t_z$.

Lorsque $C$ et $D$ sont des ouverts de $X$ tels que $D \subseteq C$, l'opération de restriction de $\mathcal F^+(C)$ vers $\mathcal F^+(D)$ est alors la restriction usuelle des fonctions (ce que les éléments de $\mathcal F^+(C)$ sont puisqu'il s'agit d'un sous-ensemble d'un produit).

(*) cette limite inductive est définie de la manière suivante: soit $x\in X$. Soit $E_x$ l'ensemble de tous les couples $(r, U)$ où $U$ st un voisinage de $x$ dans $X$ et $r\in \mathcal F(U)$. Sur $E$ on définit la relation $(p, V) \sim (q, W):=$ il existe un voisinage $T$ de $x$ tel que $T \subseteq V \cap W$ et $p|_T = q|_ T$  (ici $m, N \mapsto m|_N$ désigne bien sûr l'opération de restriction du préfaisceau $\mathcal F$).

On vérifie (immédiatement d'après la définition) que $\sim$ est une relation d'équivalence sur $E_x$; $\mathcal F_x$ est alors le quotient $E_x/\sim$.

raoul.S

Barjovrille a dit : 
Je muni $\mathcal{F}(U)$ d'une relation d'équivalence : $s,t \in \mathcal{F}(U)$alors $s \sim t$ si et seulement si pour tout $p\in U$ il existe $V_p \subset U$ ouvert et $V_p \ni p$ tel que $\rho_{UV_p}(s)= \rho_{UV_p}(t)$.

En fait ta construction ne permet pas d'obtenir un faisceau en général. Par exemple si tu prends $X:=\R$ et $\mathcal{F}$ le préfaisceau des fonctions réelles constantes, donc $\mathcal{F}(U)$ est l'ensemble des fonctions constantes sur l'ouvert $U$, et si on prend pour $\rho_{UV}$ l'application de restriction, alors tu peux vérifier que $\mathcal{F}$ n'est pas un faisceau (le "gluing" est mis en défaut si $U$ est l'union de deux intervalles ouverts disjoints).

Or avec ta construction tu obtiens $\mathcal{F}^+=\mathcal{F}$. Donc $\mathcal{F}^+$ n'est pas un faisceau.

Barjovrille

Bonjour, merci @Foys pour les détails et la référence je vais étudier ça. Et merci @raoul.S pour avoir mis le doigt sur ce qui n'allait pas. Il y a sûrement trop de sections dans ma construction.