MUn satellite est un cercle

Martin545445
Modifié (15 Apr) dans Géométrie
MUn satellite est un cercle tangent extérieurement au cercle circonscrit du triangle obtus ∆ABC. Un satellite est inscrit dans chacun des angles CAB, ABC et BCA. Montrez que les 6 points résultants de la tangence cercle-rayon résident sur une hyperbole. (Un cercle est inscrit dans l'angle XYZ s'il est tangent aux rayons YX et YZ.)
https://ibb.co/tKZDvbk

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (14 Apr)
    Bonsoir,

    Tu pourrais fournir une figure.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Martin545445
    Modifié (14 Apr)
    Rescassol a dit :
    Bonsoir,

    Tu pourrais fournir une figure.

    Cordialement,
    Rescassol


    je publierai ma solution demain

  • Rescassol
    Modifié (15 Apr)
    Bonjour,

    Tes "satellites" sont ce qu'on appelle les cercles mixtilinéaires externes.
    En coordonnées barycentriques les $6$ points de contact sont $Nab=[c(-a-b+c); 2bc; 0]$ et permutations.
    On a la même propriété de coconicité avec les cercles mixtilinéaires internes.
    Voici l'équation barycentrique le la conique interne:
    $c(S_c-3ab)xy+a(S_a-3bc)yz+b(S_b-3ca)zx+bc(b-a+c)x^2+ca(a-b+c)y^2+ab(a+b-c)z^2=0$
    où $S_a$ ... sont les notations de Conway.
    Les deux coniques ont pour centre le centre $I$ du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.
    Voilà une figure un peu plus complète.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (15 Apr)
    Bonsoir,

    La conique externe a pour équation barycentrique:
    $2bc(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)x^2+$
    $2ac(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)y^2+$
    $2ab(a+b-c)(a-b+c)(b-a+c)z^2+$
    $c(a-b+c)(b-a+c)(a^2+b^2+c^2 - 2bc - 2ca + 6ab)xy+$
    $a(a+b-c)(a-b+c)(a^2+b^2+c^2 + 6bc - 2ca - 2ab)yz+$
    $b(a+b-c)(b-a+c)(a^2+b^2+c^2 - 2bc + 6ca - 2ab)zx=0$

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (15 Apr)
    Bonsoir,

    Une erreur à corriger dans mon messge ci-dessus.
    Si le centre de la conique inerne est bien $I$, celui de la conique externe est $X_{7955}$.
    Soit $f(a,b,c)=- a^7 + 3(b+c)a^6 - (b^2+18bc+c^2)a^5 - (b+c)(5b^2-18bc+5c^2)a^4 +$
    $(b-c)^2(5b^2+46bc+5c^2)a^3 + (b+c)(b-c)^2(b^2-50bc+c^2)a^2$
    $- (b-c)^2(b+3c)(3b+c)(b^2-6bc+c^2)a + (b+c)(b-c)^4(b^2+6bc+c^2)$
    Alors $X_{7955}=$
    $[a(a+b-c)(a-b+c)f(a,b,c);b(a+b-c)(b-a+c)f(b,c,a);c(a-b+c)(b-a+c)f(c,a,b)]$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir @Rescassol,
    Pour $X_{7955}$ avec le triangle 6-9-13 et la table correspondante, j'ai des écarts à partir de la 8 ème décimale probablement dus aux limites calculatoires de GeoGebra et à la méthode de construction.
    Et toi ?
  • Rescassol a dit :
    Bonsoir,

    Une erreur à corriger dans mon messge ci-dessus.
    Si le centre de la conique inerne est bien $I$, celui de la conique externe est $X_{7955}$.
    Soit $f(a,b,c)=- a^7 + 3(b+c)a^6 - (b^2+18bc+c^2)a^5 - (b+c)(5b^2-18bc+5c^2)a^4 +$
    $(b-c)^2(5b^2+46bc+5c^2)a^3 + (b+c)(b-c)^2(b^2-50bc+c^2)a^2$
    $- (b-c)^2(b+3c)(3b+c)(b^2-6bc+c^2)a + (b+c)(b-c)^4(b^2+6bc+c^2)$
    Alors $X_{7955}=$
    $[a(a+b-c)(a-b+c)f(a,b,c);b(a+b-c)(b-a+c)f(b,c,a);c(a-b+c)(b-a+c)f(c,a,b)]$.

    Cordialement,
    Rescassol

    did you look up centre of conic through mixtilinear excircle touchpoints on the encyclopedia of triangle centres smh
    avez-vous recherché le centre de la conique à travers les points de contact d'excircle mixtilignes sur l'encyclopédie des centres triangulaires smh
  • Rescassol
    Modifié (16 Apr)
    Bonjour,

    Non, j'ai calculé les points de contact, puis l'équation de la conique, puis le centre à partir de cette équation.
    J'ai ensuite calculé les nombres pour pouvoir chercher dans la table $6-9-13$ de l'ETC, et là , j'ai trouvé $X_{7955}$.

    Cordialement,
    Rescassol

    PS: ce n'est pas la peine de copier tout le message précédent, un lien suffit, comme dirait AD.

    PPS: Cailloux, j'ai en gros les mêmes écarts que toi.
  • merci à tous ceux qui ont participé voici ma solution en anglais je vais essayer de l'écrire en français
  • Rescassol
    Modifié (16 Apr)
    Bonjour,

    Voilà ma solution en barcentrique:
    % Conique mixti-linéaire externe
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    % Notations de Conway
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    A=[1; 0; 0]; B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; % Sommets du triangle ABC
    BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; % Côtés du triangle ABC
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Centre du cercle circonscrit et carré de son rayon
    O=[a^2*Sa; b^2*Sb; c^2*Sc];
    R2=(a^2*b^2*c^2)/((a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c));
    
    % Centre Ja du cercle A-exinscrit et carré de son rayon
    Ja = [-a; b; c];
    ra2=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)/(4*(-a+b+c));
    
    % Droite DA passant par Ja orthogonale à la bissectrice (A Ja)
    AJa=Wedge(A,Ja); % Droite (A Ja): AJa=[0, c, -b]
    DA=PgcdBary(DroiteOrthogonaleBary(Ja,AJa,a,b,c)); % DA=[2*b*c, c*(a+b-c), b*(a-b+c)]
    
    Nab=Wedge(AB,DA); % Nab=[c*(-a-b+c); 2*b*c; 0]
    Nac=Wedge(CA,DA); % Nac=[b*(-a+b-c); 0; 2*b*c]
    
    D1=DroiteOrthogonaleBary(Nab,AB,a,b,c);
    D2=DroiteOrthogonaleBary(Nac,CA,a,b,c); % On trouve:
    % D1=[-4*b*c^2, -2*c^2*(a+b-c), -(a-b+c)*(-a^2+2*a*c+b^2+2*b*c-c^2)]
    % D2=[-4*b^2*c, -(a+b-c)*(-a^2+2*a*b-b^2+2*b*c+c^2), -2*b^2*(a-b+c)]
    
    % Centre Ka du cercle mixtilinéaire externe:
    Ka=PgcdBary(Wedge(D1,D2)); % On trouve:
    % Ka=[-a^3 + (b+c)*a^2 + (b+c)^2*a - (b+c)*(b-c)^2, -4*b^2*c, -4*b*c^2]
    % Carré de son rayon
    Ra2=Factor(Distance2(Ka,Nab,a,b,c)); % On trouve:
    % Ra2=4*b^2*c^2*(a+b-c)*(a-b+c)/((a+b+c)*(b-a+c)^3)
    
    % La tangente commune au cercle circonscrit et au cercle mixtilinéaire
    % exerne est leur axe radical:
    Ax=SimplifieBary(AxeRadicalBary(O,R2,Ka,Ra2,a,b,c));
    % On trouve Ax=[4*b^2*c^2, c^2*(a+b-c)^2, b^2*(a-b+c)^2]
    % Cet axe radical recoupe le cercle circonscrit en Ka:
    syms x y real
    NulUa=Factor(Distance2(O,[x; y; -(Ax(1)*x+Ax(2)*y)/Ax(3)],a,b,c)-R2);
    % 2*b^2*x + a*(a+b-c)*y=0 donc:
    x=-a*(a+b-c)*y/(2*b^2);
    Ua=SimplifieBary([x; y; -(Ax(1)*x+Ax(2)*y)/Ax(3)]); % Donc:
    Ua=[-a*(a+b-c)*(a-b+c); 2*b^2*(a-b+c); 2*c^2*(a+b-c)];
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    Nab=[c*(-a-b+c); 2*b*c; 0];
    Nac=[b*(-a+b-c); 0; 2*b*c];
    % De même, par permutation circulaire:
    Nbc=[0; a*(-b-c+a); 2*c*a];
    Nba=[2*c*a; c*(-b+c-a); 0];
    Nca=[2*a*b; 0; b*(-c-a+b)];
    Ncb=[0; 2*a*b; a*(-c+a-b)];
    
    % Conique passant par les 5 premiers
    CoE=Conique5PointsBary(Nab,Nac,Nbc,Nba,Nca);
    Fact=(a^2-2*a*b+6*a*c+b^2-2*b*c+c^2)*b*(a+b-c)*(b-a+c);
    CoE=FactorT(Fact*CoE);
    
    % On trouve les coefficients:
    Cx2=2*b*c*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c);
    Cy2=2*a*c*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c);
    Cz2=2*a*b*(a+b-c)*(a-b+c)*(b-a+c);
    Cxy=c*(a-b+c)*(b-a+c)*(a^2+b^2+c^2 - 2*b*c - 2*c*a + 6*a*b);
    Cyz=a*(a+b-c)*(a-b+c)*(a^2+b^2+c^2 + 6*b*c - 2*c*a - 2*a*b);
    Czx=b*(a+b-c)*(b-a+c)*(a^2+b^2+c^2 - 2*b*c + 6*c*a - 2*a*b);
    
    % Équation de la conique
    syms x y z real
    G(x,y,z)=Cx2*x^2+Cy2*y^2+Cz2*z^2+Cxy*x*y+Cyz*y*z+Czx*z*x;
    NulNcb=Factor(G(Ncb(1),Ncb(2),Ncb(3))) % Vérification, Ncb est sur la conique
    
    % Centre Omega de la conique
    Om=SimplifieBary(CentreConiqueBary(CoE(1),CoE(2),CoE(3),CoE(4)/2,CoE(5)/2,CoE(6)/2));
    f(a,b,c)=-a^7+ 3*(b+c)*a^6 - (b^2+18*b*c+c^2)*a^5 -(b+c)*(5*b^2-18*b*c+5*c^2)*a^4 + (b-c)^2*(5*b^2+46*b*c+5*c^2)*a^3 + (b+c)*(b-c)^2*(b^2-50*b*c+c^2)*a^2 - (b-c)^2*(b+3*c)*(3*b+c)*(b^2-6*b*c+c^2)*a + (b+c)*(b-c)^4*(b^2+6*b*c+c^2);
    Omega=[a*(a+b-c)*(a-b+c)*f(a,b,c); b*(a+b-c)*(b-a+c)*f(b,c,a); c*(a-b+c)*(b-a+c)*f(c,a,b)];
    % On vérifie:
    NulOm=FactorT(Om-Omega) % On trouve bien NulOm[0; 0; 0]
    Cordialement,
    Rescassol

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