Concours 2024 ENS, X, Centrale-Supelec, Mines-Ponts

etanche
Modifié (15 Apr) dans Concours et Examens
Bon courage aux élèves de CPGE pour les écrits qui commencent demain.

Réponses

  • etanche
    Modifié (15 Apr)
    Pour Math A 2024 XLSR la première partie question 2 c’est le problème B6
    de Putnam 2005 https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005.pdf
  • Chaurien
    Modifié (15 Apr)
    Bravo @etanche de reconnaître Putnam au premier coup d’œil. J'aime bien le B3, c'est un bon sujet de colle. 
    Le A5, @Fin de partie n'en fera qu’une bouchée.
  • Plus récemment, la question 2) est l'exercice 8 de la RMS 133-2, qui a été résolu sur ce forum il y a plus d'un an de mémoire.
  • Fin de partie
    Modifié (15 Apr)
    Le problème A5 est devenu une star sur Youtube et dans des livres.

    PS:
    Le A1 est sympa.
  • Les collègues pourront le poser aussi en colle. C'est tout bon  :).
  • N’exagérons pas : cette question B6, qui n’est certainement pas une invention récente pour la compétition Putnam, est beaucoup plus difficile que la même question posée dans le sujet d’hier, qui tombait en quelques secondes après avoir fait la première question du sujet (ou sans l’avoir faite d’ailleurs).
  • Milas
    Modifié (16 Apr)
    Dans le sujet d'analyse (mathB) il y a une demonstration du theoreme d'inversion locale en dimension finie que j'aime bien
  • Bonjour,
    Je connais deux solutions pour le A5, mais elles sont un peu tirées du chapeau du magicien : l'une passe par le changement de variable $x = \tan t$, l'autre par la dérivation sous le signe somme d'une intégrale paramétrée.
    Quelqu'un aurait-il une méthode plus instinctive ?
    Sayonara

    Un con sacré vaut dix culs bénis.

  • Bonsoir à tous,

    par rapport à cette fameuse intégrale A5 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, est-il possible de la calculer en utilisant les développements en série entière de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x \mapsto \frac1{1+x^2}$ ? J'ai essayé mais je n'obtiens rien de satisfaisant. Par ailleurs si le séries entières de $f$ et $g$ convergent uniformément sur $[0,1]$, il ne me semble pas évident qu'il en soit de même pour le produit de Cauchy de $f$ et $g$.

    Bien évidemment les deux méthodes données par piteux_gore fonctionnent très bien.

    Bonne soirée

    F.

  • Regarde dans ce pdf.

    PS:
    C'est curieux cette tendance à vouloir calculer des intégrales par des développements en série entière.
    J'imagine que lorsqu'on est sans idée face à ce genre de problème on se précipite pour développer l'intégrande.
  • Thanks !
  • Bonjour,
    Le DSE de l'intégrande est plus instinctif, mais encore faut-il le justifier proprement !...
    Si quelqu'un peut indiquer le cheminement intellectuel qui mène au changement de variable $x = \tan t$ ou à une intégrale paramétrée, cela m'intéresse...
    Cool Raoul

    Un con sacré vaut dix culs bénis.

  • Bonsoir Piteux_gore,

    pour l'histoire du $x=\tan(t)$, on peut remarquer que la partie $\frac{dx}{1+x^2}$ ressemble fort à $d(\arctan(x))$, chose que j'ai bien évidemment remarqué après lecture de ton message ;-)

    Pour ce qui est de l'utilisation de l'intégrale à paramètre...ça me semble moins évident à intuiter que le coup du DSE.

    Bonne soirée

    F.
  • Piteux_gore a dit :
    Bonjour,
    Le DSE de l'intégrande est plus instinctif, mais encore faut-il le justifier proprement !...
    Si quelqu'un peut indiquer le cheminement intellectuel qui mène au changement de variable $x = \tan t$ ou à une intégrale paramétrée, cela m'intéresse...
    Cool Raoul


    Pour l'intégrale paramétrée, c'est assez simple : si on dérive le $\ln$, ça donne une fraction rationnelle qu'on sait intégrer, via une décomposition en éléments simples. Du coup, je rajoute le paramètre, je dérive, là c'est bon, j'ai quelque chose que je sais calculer. Je n'ai plus qu'à primitiver et prendre la valeur en $1$ pour trouver le résultat.
  • Lee sin
    Modifié (20 Apr)
    Une idée pour la question 5b- du maths B de polytechnique ? (le théorème d'inversion locale étant hors-programme, la partie 2 en établissant une version plus faible).
  • Chaurien
    Modifié (20 Apr)
    • À propos de l'intégrale $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$. 
    $~~~~$Il est tout à fait naturel de penser à un développement en série entière pour ce type d'intégrale. $~~~~$ Par exemple si l'on regarde $~~~~$ « naïvement »  $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}x dx$, comment deviner a priori qu'on va trouver une réponse avec $\pi$ ? D'où peut sortir ce $\pi$ à partir de ce $\ln$, sinon d'une série ? 
    Mais il y a mieux pour $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$. J'ai retrouvé deux fils de discussion de 2019 et 2020 dans lesquels nous avons parlé de cette intégrale. @Fin de partie a retrouvé les références qui montrent que le calcul de cette intégrale remonte à Bertrand et Serret, 1843-1844 :
    • Intégrale de Serret, février 2019
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,1776694,1781014
    • Une intégrale hivernale, janvier 2020.
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1922274
    •  La méthode de Serret est la plus simple. La présence de $\frac 1{1+x^2}$ appelle naturellement le changement de variable $x=\tan \theta$, d'où $I=\int_0^{\frac {\pi}4} \ln(1+\tan \theta )d \theta$.
    La fonction $\theta \mapsto \ln(1+\tan \theta )d \theta$, sur $[0, \frac {\pi}4]$ présente une particularité : son graphe a un centre de symétrie. Ceci suffit pour que le calcul de l'intégrale se fasse immédiatement. 
    Pour une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, si le point $(\frac {a+b}2, f(\frac {a+b}2))$ est centre de symétrie du graphe, alors : $\int_a^b f(x)dx= (b-a)f(\frac {a+b}2)$. On le voit clairement sur un dessin.
    • Le plus curieux dans cette affaire, c'est que cette intégrale est connue des Anglo-Saxons sous le nom d'« intégrale de Serret » : https://mathworld.wolfram.com/SerretsIntegral.html . Et alors, je ne m'explique donc pas qu'ils aient posé cette question très connue au concours Putnam en 2005. Le jury du concours aurait-il eu « la goutte à l'imaginative » ?
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • Milas
    Modifié (20 Apr)
    Lee sin a dit :
    Une idée pour la question 5b- du maths B de polytechnique ? (le théorème d'inversion locale étant hors-programme, la partie 2 en établissant une version plus faible).
    Bonjour lee si
    Tu prend la fonction g =f-I (ou I est l'identite de E) sa differentielle au point a est 0 cette differentiel est donc bornee par 0,5 dans une petite boule de centre a et tu utilise l'inegalite des accroissement fini
  • Chaurien
    Modifié (21 Apr)
    • Pour continuer sur l'intégrale $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$.
    Le concours Putnam aurait pu renouveler quelque peu le problème en changeant les bornes et en demandant par exemple : $\int_{-1}^{+ \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, $\int_{-1}^0 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, $\int_1^{+ \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, éventuellement en fonction de la constante de Catalan.
    Ou bien $\int_{...}^{...} \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx$.
  • biguine_equation
    Modifié (20 Apr)
    On développe en série entière 
    \begin{equation}
    \log(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-…, \:\: \vert x \vert < 1
    \end{equation}
    Donc
    \begin{equation}
    \displaystyle \int _0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx= 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-…
    \end{equation}
    qui est une série convergente rappelant fortement 
    \begin{equation}
    \zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+…
    \end{equation}
    Si $A$ désigne les termes impairs et $B$ les termes pairs, alors
    \begin{equation}
    \displaystyle \int_0^1\frac{\log(1+x)}{x}dx=A-B
    \end{equation}
    On a
    \begin{equation}
    B=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}=\frac{\zeta(2)}{4}
    \end{equation}
    Finalement $A=3\zeta(2)/4=\pi^2/8$, $B=\pi^2/24$, d’où
    \begin{equation}
    \displaystyle \int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx=\frac{\pi^2}{12}
    \end{equation}
    On peut aussi, (mais c’est plus laborieux), utiliser la série de Taylor au voisinage de $0$ de $f(x)=\log(1+x)$
    \begin{equation}
    f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
    \end{equation}
  • Je faisais référence à l’intégrale évoquée par Chaurien dans son message de 17.04.
    Un dernier mot sur une intégrale similaire: quand j’étais au CNAM, une question à un examen partiel était de trouver une relation de récurrence pour 
    \begin{equation}
    \displaystyle I_n=\int_0^1 \frac{(\log(1-t))^n}{t}dt
    \end{equation}
    $n$ entier positif.
  • Attention @biguine_equation, il faut justifier l'interversion intégrale-série.
  • Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?J’avais trouvé une preuve que je trouvais assez élégante et j’aimerais bien savoir si c’est la seule manière de faire 
  • Guego
    Modifié (21 Apr)
    Evatco a dit :
    Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?

    $\dfrac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}$ est entier car c'est $\displaystyle \binom{3n}{n}\binom{2n}{n}^2$.
  • Bonjour,

    La clef doit être que $5\leq 2+3$.
    Est ce que ta méthode élégante fonctionne pour $(n!)^a\space | \space (bn)!(cn)!$ dans le cas où $a\leq b+c$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

  • Evatco
    Modifié (21 Apr)
    Rescassol a dit :
    Bonjour,

    La clef doit être que $5\leq 2+3$.
    Est ce que ta méthode élégante fonctionne pour $(n!)^a\space | \space (bn)!(cn)!$ dans le cas où $a\leq b+c$ ?

    Cordialement,
    Rescassol

    La méthode fonctionne pour  $ a=b+c$ et on en déduit le résultat pour $a\leq b+c$.
    On considère le groupe A des permutations de $\{1,…,an\}$ qui stabilisent les ensembles $\{1,…n\}, \{n+1,…,2n\}, …, \{(a-1)n+1,…,an\}$ et le groupe B des permutations qui stabilisent $\{1,…bn\}$ et $\{bn+1,…,an\}$ et on applique le théorème de Lagrange à $A \subset B$ 
  • $(n!)^b$ divise $(bn)!$ car $\dfrac{(bn)!}{(n!)^b}$ est un coefficient multinomial. De même $(n!)^c$ divise $(cn)!$ donc $(n!)^{b+c}$ divise $(bn)!(cn)!$.
  • etanche
    Modifié (21 Apr)
    Guego a dit :
    Evatco a dit :
    Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?

    $\dfrac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}$ est entier car c'est $\displaystyle \binom{3n}{n}\binom{2n}{n}^2$.
    Est-ce que ça se faire avec la formule de Legendre la formule pour $v_p(n!)$ ?
  • Chaurien: je reprends pour l’interversion des sommations intégrale-série.
    \begin{equation}
    \displaystyle \frac{\log(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2} +\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}-…=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}x^{k-1}
    \end{equation}
    Il y a un problème en $0$ mais la règle de l’Hospital donne
    \begin{equation}
    \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}  \frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1/1+x}{x}=1
    \end{equation}
    On a bien
    \begin{equation}
    \displaystyle \int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx=\sum_{k=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^{k-1}
    \end{equation}
  • Chaurien
    Modifié (21 Apr)
    je n'ai jamais cru bon d'enseigner la dite « règle de L'Hospital », qui me semble inutile. La limite en $0$ de $\frac {\ln(1+x)}x$ n'est autre que le nombre dérivé de la fonction $\ln$ au point $1$. Mais ceci n'a rien à voir avec la question de l'interversion :
    $~~~~~~~~~~~~\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }\int_{0}^{1}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}dx$
    $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_{0}^{1}x^{n-1}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$.
    La légitimité de cette interversion est une conséquence du fait que la suite des sommes partielles de la série : $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{k-1}}{k}$ converge uniformément, sur $[0,1]$, vers sa limite $\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}dx$.
    Ceci équivaut au fait que le reste de cette série : $R_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty }(-1)^{k-1}\frac{x^{k-1}}{k}$ converge uniformément vers $0 $ sur $[0,1]$. 
    Et ceci découle du critère spécial pour les séries alternées, pour $x \in [0,1]$ : $\left\vert R_{n}(x)\right\vert \leq \left\vert (-1)^{n}\frac{x^{n}}{n+1}\right\vert =\frac{x^{n}}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}$.
    Voir le programme de Math. Spé MP 2021.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.

  • Pour le A5, le site Bibmath donne une solution à base d'intégrale double.
    Un con sacré vaut dix culs bénis.

  • etanche a dit : 
    Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?
    Est-ce que ça se faire avec la formule de Legendre la formule pour $v_p(n!)$ ?
    Oui puisqu'on a $\lfloor 2x\rfloor \geq 2\lfloor x\rfloor$ et pareil pour $3x$ donc $5\lfloor x\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor+\lfloor 3x\rfloor$.


  • Il est dépaysant le sujet de Mines Ponts maths 2 MP.
  • Milas
    Modifié (14 May)
    Oshine
    Je te conseille de travailler celui de mines-ponts mp1

  • Pourquoi maths 1 et pas maths 2 ?
    Maths 1 me semble cool, il a plein de gros calculs, c'est exactement ce que j'aime.
    Maths 2 me fait peur. 
  • Oshine, tu es un stimulus. Commence!
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Milas
    Modifié (15 May)
    Oshine
    Le math 1 est tres utile pour l'agregation interne

  • @Milas
    Ok merci, je dois revoir quels chapitres de spé avant de m'attaquer à maths 1 ?

  • Oshine
    Pour la question 1 la fonction f est continue et trouve un esuivalent pour son module en 0 et en l'infini
    Pour la question 2 theoreme de derivation sous le signe integrale
    Puis derivation d'un produit puis verification
    Pour la quatrieme question il faut utiliser que g est constate
    La cinquieme un changement de variable
    La sixieme le theoreme de convergence dominee




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