Concours 2024 ENS, X, Centrale-Supelec, Mines-Ponts

etanche

Bon courage aux élèves de CPGE pour les écrits qui commencent demain.

https://www.scei-concours.fr/calendrier.php

JLapin

Pour les sujets :

https://cpge-paradise.com/

etanche

Pour Math A 2024 XLSR la première partie question 2 c’est le problème B6
de Putnam 2005 https://kskedlaya.org/putnam-archive/2005.pdf

Chaurien

Bravo @etanche de reconnaître Putnam au premier coup d’œil. J'aime bien le B3, c'est un bon sujet de colle. 

Le A5, @Fin de partie n'en fera qu’une bouchée.

Bbidule

Plus récemment, la question 2) est l'exercice 8 de la RMS 133-2, qui a été résolu sur ce forum il y a plus d'un an de mémoire.

Fin de partie

Le problème A5 est devenu une star sur Youtube et dans des livres.

PS:

Le A1 est sympa.

Chaurien

Les collègues pourront le poser aussi en colle. C'est tout bon  .

Philippe Malot

N’exagérons pas : cette question B6, qui n’est certainement pas une invention récente pour la compétition Putnam, est beaucoup plus difficile que la même question posée dans le sujet d’hier, qui tombait en quelques secondes après avoir fait la première question du sujet (ou sans l’avoir faite d’ailleurs).

Milas

Dans le sujet d'analyse (mathB) il y a une demonstration du theoreme d'inversion locale en dimension finie que j'aime bien

Piteux_gore

Bonjour,
Je connais deux solutions pour le A5, mais elles sont un peu tirées du chapeau du magicien : l'une passe par le changement de variable $x = \tan t$, l'autre par la dérivation sous le signe somme d'une intégrale paramétrée.
Quelqu'un aurait-il une méthode plus instinctive ?
Sayonara

fredaulycee2

Bonsoir à tous,

par rapport à cette fameuse intégrale A5 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, est-il possible de la calculer en utilisant les développements en série entière de $x \mapsto \ln(1+x)$ et $x \mapsto \frac1{1+x^2}$ ? J'ai essayé mais je n'obtiens rien de satisfaisant. Par ailleurs si le séries entières de $f$ et $g$ convergent uniformément sur $[0,1]$, il ne me semble pas évident qu'il en soit de même pour le produit de Cauchy de $f$ et $g$.

Bien évidemment les deux méthodes données par piteux_gore fonctionnent très bien.

Bonne soirée

F.

Fin de partie

@fredaulycee2 :

Regarde dans ce pdf.

PS:

C'est curieux cette tendance à vouloir calculer des intégrales par des développements en série entière.

J'imagine que lorsqu'on est sans idée face à ce genre de problème on se précipite pour développer l'intégrande.

fredaulycee2

Thanks !

Piteux_gore

Bonjour,
Le DSE de l'intégrande est plus instinctif, mais encore faut-il le justifier proprement !...
Si quelqu'un peut indiquer le cheminement intellectuel qui mène au changement de variable $x = \tan t$ ou à une intégrale paramétrée, cela m'intéresse...
Cool Raoul

fredaulycee2

Bonsoir Piteux_gore,

pour l'histoire du $x=\tan(t)$, on peut remarquer que la partie $\frac{dx}{1+x^2}$ ressemble fort à $d(\arctan(x))$, chose que j'ai bien évidemment remarqué après lecture de ton message ;-)

Pour ce qui est de l'utilisation de l'intégrale à paramètre...ça me semble moins évident à intuiter que le coup du DSE.

Bonne soirée

F.

Guego

Piteux_gore a dit :

Bonjour,
Le DSE de l'intégrande est plus instinctif, mais encore faut-il le justifier proprement !...
Si quelqu'un peut indiquer le cheminement intellectuel qui mène au changement de variable $x = \tan t$ ou à une intégrale paramétrée, cela m'intéresse...
Cool Raoul

Pour l'intégrale paramétrée, c'est assez simple : si on dérive le $\ln$, ça donne une fraction rationnelle qu'on sait intégrer, via une décomposition en éléments simples. Du coup, je rajoute le paramètre, je dérive, là c'est bon, j'ai quelque chose que je sais calculer. Je n'ai plus qu'à primitiver et prendre la valeur en $1$ pour trouver le résultat.

Lee sin

Une idée pour la question 5b- du maths B de polytechnique ? (le théorème d'inversion locale étant hors-programme, la partie 2 en établissant une version plus faible).

Chaurien

• À propos de l'intégrale $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$. 

$~~~~$Il est tout à fait naturel de penser à un développement en série entière pour ce type d'intégrale. $~~~~$ Par exemple si l'on regarde $~~~~$ « naïvement »  $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}x dx$, comment deviner a priori qu'on va trouver une réponse avec $\pi$ ? D'où peut sortir ce $\pi$ à partir de ce $\ln$, sinon d'une série ? 

Mais il y a mieux pour $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$. J'ai retrouvé deux fils de discussion de 2019 et 2020 dans lesquels nous avons parlé de cette intégrale. @Fin de partie a retrouvé les références qui montrent que le calcul de cette intégrale remonte à Bertrand et Serret, 1843-1844 :
• Intégrale de Serret, février 2019
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?17,1776694,1781014
• Une intégrale hivernale, janvier 2020.
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/1922274

•  La méthode de Serret est la plus simple. La présence de $\frac 1{1+x^2}$ appelle naturellement le changement de variable $x=\tan \theta$, d'où $I=\int_0^{\frac {\pi}4} \ln(1+\tan \theta )d \theta$.

La fonction $\theta \mapsto \ln(1+\tan \theta )d \theta$, sur $[0, \frac {\pi}4]$ présente une particularité : son graphe a un centre de symétrie. Ceci suffit pour que le calcul de l'intégrale se fasse immédiatement. 

Pour une fonction $f$ continue sur $[a,b]$, si le point $(\frac {a+b}2, f(\frac {a+b}2))$ est centre de symétrie du graphe, alors : $\int_a^b f(x)dx= (b-a)f(\frac {a+b}2)$. On le voit clairement sur un dessin.

• Le plus curieux dans cette affaire, c'est que cette intégrale est connue des Anglo-Saxons sous le nom d'« intégrale de Serret » : https://mathworld.wolfram.com/SerretsIntegral.html . Et alors, je ne m'explique donc pas qu'ils aient posé cette question très connue au concours Putnam en 2005. Le jury du concours aurait-il eu « la goutte à l'imaginative » ?

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Milas

Lee sin a dit :

Une idée pour la question 5b- du maths B de polytechnique ? (le théorème d'inversion locale étant hors-programme, la partie 2 en établissant une version plus faible).

Bonjour lee si
Tu prend la fonction g =f-I (ou I est l'identite de E) sa differentielle au point a est 0 cette differentiel est donc bornee par 0,5 dans une petite boule de centre a et tu utilise l'inegalite des accroissement fini

Chaurien

• Pour continuer sur l'intégrale $I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$.

Le concours Putnam aurait pu renouveler quelque peu le problème en changeant les bornes et en demandant par exemple : $\int_{-1}^{+ \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, $\int_{-1}^0 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, $\int_1^{+ \infty} \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx$, éventuellement en fonction de la constante de Catalan.

Ou bien $\int_{...}^{...} \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}dx$.

biguine_equation

On développe en série entière 
\begin{equation}
\log(1+x)= x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^5}{5}-…, \:\: \vert x \vert < 1
\end{equation}
Donc
\begin{equation}
\displaystyle \int _0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx= 1-\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}-\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}-…
\end{equation}
qui est une série convergente rappelant fortement 
\begin{equation}
\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+…
\end{equation}
Si $A$ désigne les termes impairs et $B$ les termes pairs, alors
\begin{equation}
\displaystyle \int_0^1\frac{\log(1+x)}{x}dx=A-B
\end{equation}
On a
\begin{equation}
B=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2}=\frac{\zeta(2)}{4}
\end{equation}
Finalement $A=3\zeta(2)/4=\pi^2/8$, $B=\pi^2/24$, d’où
\begin{equation}
\displaystyle \int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx=\frac{\pi^2}{12}
\end{equation}
On peut aussi, (mais c’est plus laborieux), utiliser la série de Taylor au voisinage de $0$ de $f(x)=\log(1+x)$
\begin{equation}
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k
\end{equation}

biguine_equation

Je faisais référence à l’intégrale évoquée par Chaurien dans son message de 17.04.
Un dernier mot sur une intégrale similaire: quand j’étais au CNAM, une question à un examen partiel était de trouver une relation de récurrence pour 
\begin{equation}
\displaystyle I_n=\int_0^1 \frac{(\log(1-t))^n}{t}dt
\end{equation}
$n$ entier positif.

Chaurien

Attention @biguine_equation, il faut justifier l'interversion intégrale-série.

Evatco

Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?J’avais trouvé une preuve que je trouvais assez élégante et j’aimerais bien savoir si c’est la seule manière de faire 

Guego

Evatco a dit :

Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?

$\dfrac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}$ est entier car c'est $\displaystyle \binom{3n}{n}\binom{2n}{n}^2$.

Rescassol

Bonjour,

La clef doit être que $5\leq 2+3$.
Est ce que ta méthode élégante fonctionne pour $(n!)^a\space | \space (bn)!(cn)!$ dans le cas où $a\leq b+c$ ?

Cordialement,
Rescassol

Evatco

Rescassol a dit :

Bonjour,

La clef doit être que $5\leq 2+3$.
Est ce que ta méthode élégante fonctionne pour $(n!)^a\space | \space (bn)!(cn)!$ dans le cas où $a\leq b+c$ ?

Cordialement,
Rescassol

La méthode fonctionne pour  $ a=b+c$ et on en déduit le résultat pour $a\leq b+c$.
On considère le groupe A des permutations de $\{1,…,an\}$ qui stabilisent les ensembles $\{1,…n\}, \{n+1,…,2n\}, …, \{(a-1)n+1,…,an\}$ et le groupe B des permutations qui stabilisent $\{1,…bn\}$ et $\{bn+1,…,an\}$ et on applique le théorème de Lagrange à $A \subset B$ 

JLT

$(n!)^b$ divise $(bn)!$ car $\dfrac{(bn)!}{(n!)^b}$ est un coefficient multinomial. De même $(n!)^c$ divise $(cn)!$ donc $(n!)^{b+c}$ divise $(bn)!(cn)!$.

etanche

Guego a dit :

Evatco a dit :

Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?

$\dfrac{(2n)!(3n)!}{(n!)^5}$ est entier car c'est $\displaystyle \binom{3n}{n}\binom{2n}{n}^2$.

Est-ce que ça se faire avec la formule de Legendre la formule pour $v_p(n!)$ ?

biguine_equation

Chaurien: je reprends pour l’interversion des sommations intégrale-série.
\begin{equation}
\displaystyle \frac{\log(1+x)}{x}=1-\frac{x}{2} +\frac{x^2}{3}-\frac{x^3}{4}+\frac{x^4}{5}-…=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k}x^{k-1}
\end{equation}
Il y a un problème en $0$ mais la règle de l’Hospital donne
\begin{equation}
\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}  \frac{\log(1+x)}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1/1+x}{x}=1
\end{equation}
On a bien
\begin{equation}
\displaystyle \int_0^1 \frac{\log(1+x)}{x}dx=\sum_{k=1}^{\infty} \int_0^1 \frac{(-1)^{k+1}}{k}x^{k-1}
\end{equation}

Chaurien

je n'ai jamais cru bon d'enseigner la dite « règle de L'Hospital », qui me semble inutile. La limite en $0$ de $\frac {\ln(1+x)}x$ n'est autre que le nombre dérivé de la fonction $\ln$ au point $1$. Mais ceci n'a rien à voir avec la question de l'interversion :

$~~~~~~~~~~~~\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }\int_{0}^{1}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}dx$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n}\int_{0}^{1}x^{n-1}dx=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}$.

La légitimité de cette interversion est une conséquence du fait que la suite des sommes partielles de la série : $S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\frac{x^{k-1}}{k}$ converge uniformément, sur $[0,1]$, vers sa limite $\int_{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}dx$.

Ceci équivaut au fait que le reste de cette série : $R_{n}(x)=\sum_{k=n+1}^{+\infty }(-1)^{k-1}\frac{x^{k-1}}{k}$ converge uniformément vers $0 $ sur $[0,1]$. 

Et ceci découle du critère spécial pour les séries alternées, pour $x \in [0,1]$ : $\left\vert R_{n}(x)\right\vert \leq \left\vert (-1)^{n}\frac{x^{n}}{n+1}\right\vert =\frac{x^{n}}{n+1}\leq \frac{1}{n+1}$.

Voir le programme de Math. Spé MP 2021.

Bonne soirée.

Fr. Ch.

Piteux_gore

Pour le A5, le site Bibmath donne une solution à base d'intégrale double.

jandri

etanche a dit : 

Quelqu’un a une réponse pour la question 16 du maths D (prouver que $(n!)^5$ divise $(2n)!(3n)!$)?

Est-ce que ça se faire avec la formule de Legendre la formule pour $v_p(n!)$ ?

Oui puisqu'on a $\lfloor 2x\rfloor \geq 2\lfloor x\rfloor$ et pareil pour $3x$ donc $5\lfloor x\rfloor \leq \lfloor 2x\rfloor+\lfloor 3x\rfloor$.

OShine

Il est dépaysant le sujet de Mines Ponts maths 2 MP.

Milas

Oshine
Je te conseille de travailler celui de mines-ponts mp1

OShine

Pourquoi maths 1 et pas maths 2 ?
Maths 1 me semble cool, il a plein de gros calculs, c'est exactement ce que j'aime.
Maths 2 me fait peur. 

gebrane

Oshine, tu es un stimulus. Commence!

Milas

Oshine
Le math 1 est tres utile pour l'agregation interne

OShine

@Milas
Ok merci, je dois revoir quels chapitres de spé avant de m'attaquer à maths 1 ?

Milas

Oshine
Pour la question 1 la fonction f est continue et trouve un esuivalent pour son module en 0 et en l'infini
Pour la question 2 theoreme de derivation sous le signe integrale
Puis derivation d'un produit puis verification
Pour la quatrieme question il faut utiliser que g est constate
La cinquieme un changement de variable
La sixieme le theoreme de convergence dominee

epsilon0

 J'ai trouvé les corrigés ici
https://t.me/Professeur_Lambda

etanche

@ epsilon quelle est la marche à suivre pour ouvrir  les fichiers du site professeur lambda ? Faut-il installer télégramme ?
Peut-on avoir les fichiers sans installer tellegramme ? Merci