Généralisation de Théorème d'arrêt de Doob

amafhh

Bonjour,

Soit $(X_{n})_{0\leq n\leq \infty}$ une martingale adaptée a une filtration $(\mathcal{F}_{n})_{0\leq n\leq \infty}$ 

Soit $S\leq T$ deux temps d'arrêt non necessairement finis.

A-t-on 

$$ \mathbb{E}(X_{T}|\mathcal{F}_{S})=X_{S}  ?$$ 

Merci beaucoup 

APf

Bonjour,
C'est vrai si la martingale est uniformément intégrable. 
Pour l'instant, je ne sais pas si on peut se passer de cela et l'utiliser pour une martingale quelconque, a priori pour la martingale arrêtée $(X_{n\wedge N})_{n\in \mathbb{N}}$ où $N\in \mathbb{N}$ est fixe, je pense que oui.
Cordialement. 

Bibix

Bonjour,

Non, c'est faux en général. Si c'était vrai, on pourrait en déduire que $\mathbb{E}[X_{T}] = \mathbb{E}[X_{S}]$.

Mais par exemple, si on prend une marche aléatoire $X_n = Y_1 + ... + Y_n$ avec $\mathbb{P}(Y_i = 1) = \mathbb{P}(Y_i = -1) = \frac{1}{2}$, et $\tau = \inf \{n \geq 0 \mid X_n = 1\}$, alors $\tau$ est un temps d'arrêt et $X$ est une martingale mais $\mathbb{E}[X_{\tau}] = 1 \neq 0 = \mathbb{E}[X_0]$.

amafhh

Merci beaucoup pour tous