Cobars et Véto et espace projectif réel

stfj

Bonjour,
Je me suis essayé à Ceva. $(A,B,C)$ base comme d'habitude. $A'=[0;1;u],C'=[1;t;0],B'=[1;0;v]$ avec $v=-\frac{\overline{B'A}}{\overline{B'C}}$ et circulairement. On  obtient $CC'=[0,u,-1],BB'=[-t,1,0],AA'=[v,0,-1]$ concourants ssi $v=ut$ ssi $$\frac{\overline{BA'}.\overline{AC'}.\overline{CB'}}{\overline{CA'}.\overline{BC'}.\overline{CB'}}=-1$$
Exemple : $A'$ milieu de $BC$ et circulairement : $\frac{\overline{BA'}}{\overline{CA'}}=-1$ et circulairement. Le théorème de Ceva permet de conclure que les médianes sont concourantes.


Cordialement,
Stéphane.

stfj

$$\left(\begin{array}{rrr}-\frac{576}{3125} & -\frac{20736}{15625} & -\frac{15552}{3125} \\-\frac{3168}{3125} & \frac{15552}{15625} & \frac{864}{3125} \\0 & \frac{3456}{15625} & 0\end{array}\right)=\frac{288}{15625}\times\begin{bmatrix}-10 &-72  & -270 \\-55 & 54 & 15 \\0 & 12 & 0\end{bmatrix}$$

est fourni par sagemath via

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def collineationpldx(A,B,C,D,E,F,G,H):
    pinfini1=(A.cross_product(B)).cross_product(C.cross_product(D))
    pinfini2=(B.cross_product(C)).cross_product(A.cross_product(D))
    Linfini=pinfini1.cross_product(pinfini2)
    Anorm=A/(Linfini*A)
    Bnorm=B/(Linfini*B)
    Cnorm=C/(Linfini*C)
    ABC=transpose(matrix([Anorm,Bnorm,Cnorm]))
    pinffin1=(E.cross_product(F)).cross_product(G.cross_product(H))
    pinffin2=(F.cross_product(G)).cross_product(E.cross_product(H))
    Linffin=pinffin1.cross_product(pinffin2)
    Enorm=E/(Linffin*E)
    Fnorm=F/(Linffin*F)
    Gnorm=G/(Linffin*G)
    EFG=transpose(matrix([Enorm,Fnorm,Gnorm]))
    return EFG*ABC^-1

A=vector([-9,-5,1])
B=vector([-3,-2,1])
C=vector([-3,-10,1])
D=vector([0,5,-2])

E=vector([-3,-4,1])
F=vector([4,-3,1])
G=vector([-4,3,1])
H=vector([3,4,1])

%time mat=collineationpldx(A,B,C,D,E,F,G,H)
print(latex(mat))

_________________________________________

C'est bien la matrice fournie p.3 dans le point numéroté n°14.

stfj

pldx1 a dit :

Bonjour,

Exercice: Reprendre tout cela avec les données suivantes:

$$\left(\begin{array}{rrr}-460404 & 301644 & -1460592 \\-177282 & 256662 & 433944 \\-27783 & 83349 & -111132\end{array}\right)$$convient : https://www.geogebra.org/classic/taeuen3m.

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Pour l'obtenir, j'ai d'abord utilisé

________________________________

def norm(X):
    return X/(Linf*X)

A=vector([-10,-6,1])
C=vector([-2,-10,1])
dBC=vector([-4,0,1])
dAB=vector([2,2,1])
Linf=vector([1,-3,2])

AdAB=A.cross_product(dAB)
CdBC=C.cross_product(dBC)
B=AdAB.cross_product(CdBC)

#D=norm(C)+norm(A)-norm(B)
#print (D*930/(-131))
print (B/136)

AdBC=A.cross_product(dBC)
CdAB=C.cross_product(dAB)
D=AdBC .cross_product(CdAB)
print (D/48)
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puis

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A=vector([-10,-6,1])
B=vector([-62,-30,17])
C=vector([-2,-10,1])
D=vector([4,8,1])

E=vector([-4,-2,1])
F=vector([2,-4,1])
G=vector([4,2,1])
H=vector([-2,4,1])

%time mat=collineationpldx(A,B,C,D,E,F,G,H)
print(latex(250*mat))

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où collineationpldx() est donnée plus haut.

stfj

pldx1 a dit :

Bonjour,

1. Le complété projectif d'un plan affine $P$, c'est très simple. Tu prends une orange. Tu en enlèves la peau. Et puis cette orange épluchée, tu la complètes peau-tiquement pour obtenir une orange conceptuelle.
   
2. Lorsque l'on fait de la géométrie, au lieu de discourir sur ce que l'on ferait si l'on en faisait, on finit par arriver à la délicate question de calculer pour de bon l'équation d'une droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée.
3. Et alors on se rend compte que les fameuses classes d'équivalence pour la relation "sassecoupepas" ... ne servent absolument à rien. On calcule le point à l'infini de la droite par intersection de cette droite et de la droite de l'infini. Autrement dit, un coup de l'opérateur "Hannibal passant les Alpes" . Puis on calcule la droite passant par ce point et par le point donné. Autrement dit, un deuxième coup de l'opérateur "Hannibal passant les Alpes". Et c'est fini.
4. Slogan: KISS, Keep It Simple, Student !
   

Cela fait longtemps que je réfléchis à cette remarque. La lecture de Geometry : a comprehensive course de Dan Pedoe, 1970, et en particulier du chapitre VII: THE PROJECTIVE PLANE, m'aide à mieux la comprendre.

$(x,y)$ c'est bien, $x:y:1$, c'est mieux pour calculer. On obtient "une orange" utilisable à bac-4. Si maintenant on revient à $(x,y)$, autrement dit si "on enlève la peau", pour retrouver la commodité de l'orange, il faut "compléter peau-tiquement pour obtenir une orange conceptuelle". L'avantage pour faire de la géométrie, et calculer pour de bon, aucun.

Se pose alors la question de l'introduction dans l'enseignement secondaire de l'orange plutôt que de l'orange privée de sa peau.