Cobars et Véto et espace projectif réel

12357

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (17 Apr)
    Bonsoir,

    $A=[1;0;0]$ parce que $1\cdot\overrightarrow{AA}+0\cdot\overrightarrow{AB}+0\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    $\color{red}III.-$Dans $\widehat{\mathcal P}$, $A=1.A+0.B+0.C$, autrement dit les coordonnées de $A$ dans la base $(A,B,C)$ de $\widehat{\mathcal P}$ sont $1,0 et 0$. Ou encore $A$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,0),(C,0)\}$ ou encore $1\cdot\overrightarrow{AA}+0\cdot\overrightarrow{AB}+0\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Jusque là, tout a un sens mathématique que je connais. Qu'est-ce que cela signifie d'écrire $$A=[1;0;0]?$$

    Est-ce encore des mathématiques ou du matlab ?
    Par contre, si l'on choisit, comme Doneddu l'explique p.52 de son Compléments de géométrie algébrique un quatrième élément $\mathbb R G$ de $P(\widehat{\mathcal P})$ tel que toute famille de cardinal $3$ de $\{\mathbb R A,\mathbb R B,\mathbb R C,\mathbb R G\}$ soit projectivement libre, alors...

    (Illustration de $P(\mathbb R^{\color{green}3})$, aussi noté $\mathbb R P^{\color{red}2}$ je crois : $\{\mathbb R A, \mathbb R B,\mathbb R C,\mathbb R E\}$ est un repère projectif au sens de 

    Définition.- Dans un espace projectif $P(E)$ de "dimension" $\color{green}3\color {black}-1=\color{red}2$(on parle alors aussi de plan projectif), on appelle repère projectif toute famille de $\color{red}2\color{black}+2=4$ éléments $\{a_0,a_1,a_2,a_3\}$ telle que toute sous-famille de cardinal $\color{red}2\color{black}+1=3$ soit projectivement libre.

    Autrement dit, toute famille de $4$ éléments tels que $3$ d'entre eux ne soit pas "alignés" constitue un repère projectif. On constitue un tel repère projectif en considérant un "véritable triangle" $a_1,a_2,a_3$ et choisissant l'origine $a_0$ en dehors des "côtés" du triangle.

    Nous examinerons quelques applications dans le plan projectif dans un instant si tout le monde est ok pour ce cours de $\color{magenta}3\text{ème}$ de Doneddu-Jaouen)
    @NicoLeProf : n'oublie surtout pas de faire abstraction du plan grisé représenté sur l'illustration. Je répète que je ne suis pas parvenu à le supprimer sous geogebra. Ici, je n'ai écrit que des évidences : "c'est niveau $\color{magenta}3\text{ème}$" à peine... Par ailleurs, remarque utile pour plus tard : tout ce qui vient d'être écrit par Alfred Doneddu est généralisable dans un $K-$espace vectoriel $E$ de dimension $\dim_{K}E=\color{green}n$ quelconque. Nous pouvons donc appliquer la définition fournie par Doneddu (en 1968, les enseignants de $\color{magenta}3\text{ème}$ n'enseignaient pas de façon zen avec des lotus non définis) avec $K:=\mathbb C$ ou $K:=\Z/7\Z$ si bon nous semble...) "La rigueur, c'est voler dans les airs au-dessus du marais." Mais, @pldx1 a raison d'écrire ce qu'il écrit à propos de la rigueur. Cette pensée de Claude Chevalley n'était destinée qu'à illustrer  l'  une partie de l'activité mathématique d'une mathématicienne ou d'un du mathématicien comme Claude Chevalley.
  • NicoLeProf
    Modifié (17 Apr)
    Synthèse : nous partons d'un exercice classique dans un plan affine $(\mathscr{P},P,\Phi)$.
    Nous considérons trois points $A$, $B$ et $C$ non alignés donc qui forment un repère affine de $\mathscr{P}$ et ainsi, $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est une base de $P$.
    Ainsi, pour tout point $M$ de $\mathscr{P}$, le vecteur $\overrightarrow{AM}$ s'écrit d'une manière unique sous la forme $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$ où $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.
    On pourra ainsi écrire : $M=\alpha(B-A)+\beta(C-A)+A=(1-\alpha-\beta)A+\alpha B +\beta C$. (*)
    Dans ce contexte, l'enveloppe vectorielle : $\widehat{P}$ de $P$ est un $\mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension $3$ (donc isomorphe à $\mathbb{R}^3$) et on a vu que $(A,B,C)$ forme une base de $\widehat{P}$.
    En fait, on a d'abord vu que ce sont les applications $f_A$, $f_B$ , $f_C$ (définies ici) qui forment une base de $\widehat{P}$.
    Donc pour tout point $M$ de $\mathscr{P}$, l'application $f_M \in \widehat{P}$ s'écrit de manière unique sous la forme $f_M=\gamma f_A+\alpha f_B+\beta f_C$. (**)
    Dès lors, pour tout $X \in \mathscr{P}$, $f_M(X)=\gamma f_A(X)+\alpha f_B(X)+\beta f_C(X)$ soit $\overrightarrow{XM}=\gamma \overrightarrow{XA}+\alpha \overrightarrow{XB}+\beta \overrightarrow{XC}$.
    Dès lors, en particulier pour $X=A$, on retrouve $\overrightarrow{AM}=\alpha \overrightarrow{AB}+\beta \overrightarrow{AC}$.
    On a vu avec gai requin ici que pour tout point $M$ de $\widehat{P}$ de coordonnées $(x,y,z)$ dans la base $(f_A,f_B,f_C)$, on a : $M \in \mathscr{P} \Leftrightarrow x+y+z=1$. 
    Et, grâce à cela (même pas besoin je crois au final), on peut montrer que lorsque $M$ s'écrit comme (*) dans le repère affine $(A,B,C)$, $f_M$ s'écrira comme (**) dans la base $(f_A,f_B,f_C)$.
    Cela signifie que l'écriture d'un point $M$ de $\mathscr{P}$ dans le repère affine $(A,B,C)$ revient exactement au même que d'écrire $f_M$ de $\widehat{P}$ dans la base $(f_A,f_B,f_C)$.
    On dira alors pour simplifier que $(A,B,C)$ est une base de $\widehat{P}$ et que $\widehat{P}$, étant un espace vectoriel, est naturellement muni d'une structure d'espace affine. On peut lui fixer une origine $O$ qui sera le vecteur nul. 
    Ainsi, "un point" $M$ de $\widehat{P}$ qui s'écrit sous la forme $M=\alpha A+\beta B +\gamma C$ est un vecteur $\overrightarrow{OM}$ qui s'écrit : $\overrightarrow{OM}=\alpha \overrightarrow{OA}+\beta \overrightarrow{OB} +\gamma \overrightarrow{OC}$. On utilisera la notation $M=\alpha A+\beta B +\gamma C$ plus pratique.
    Maintenant, on définit le complété projectif de $\widehat{P}$ par l'ensemble des droites vectorielles de $\widehat{P}$ et on le note $\mathbb{P}(\widehat{P})$ ou de manière plus simple $\mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ ici.
    Pour un point $m \in \mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ (i.e : une droite vectorielle de $\mathbb{R}^3$), on appelle coordonnées homogènes et on les note $(x:y:z)$, les triplets tels que $x+y+z \neq 0$ et dont la trace dans le plan affine d'équation $x+y+z=1$ a pour coordonnées barycentriques $\left (\dfrac{x}{x+y+z},\dfrac{y}{x+y+z},\dfrac{z}{x+y+z} \right)$ (merci gai requin !!!). (Ou on notera : $\left [ \dfrac{x}{x+y+z},\dfrac{y}{x+y+z},\dfrac{z}{x+y+z} \right ]$ pour faire plaisir à stfj :) ). 
    (Autrement dit, pour un point $m(x:y:z)$ de $\mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$, l'intersection de $m$ (en tant que droite vectorielle de $\widehat{P}$ avec le plan affine d'équation $x+y+z=1$ aura pour coordonnées barycentriques : $\left (\dfrac{x}{x+y+z},\dfrac{y}{x+y+z},\dfrac{z}{x+y+z} \right)$).
    Enfin, les points $(x:y:z)$ de $\mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ tels que $x+y+z=0$ sont appelés "points à l'infini".
    Dès lors, dans ce contexte, la droite d'équation $x+y+z=0$ (ou encore $[1,1,1]$) est appelée "droite de l'infini" et est notée $\mathcal{L}_{\infty}$.
    Ainsi, lorsque Rescassol écrit $A=[1;0;0]$, il parle de la trace de $a(1:0:0) \in \mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ dans le plan affine d'équation $x+y+z=1$. 
    En effet, le point $A$ de $\mathscr{P}$ est une droite vectorielle notée $a$ dans $\widehat{P}$ donc il peut s'écrire de manière unique en fonction de $A$, $B$ et $C$. On écrit : $A=1.A+0.B+0.C$. Donc $a(1:0:0)$ dans $\mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ (je ne pense même pas que le changement de notation soit réellement nécessaire : c'est comme les classes en fait, on finit par les noter comme des nombres classiques alors que ce n'est pas pareil !).
    Maintenant la trace de $a$ avec le plan affine d'équation $x+y+z=1$ a pour coordonnées : $[1,0,0]$ : rigoureusement les coordonnées barycentriques de $A$. (Et ce n'est pas étonnant car $A \in \mathscr{P}$).
    Je vous laisse corriger, commenter, abonder ... ;)

  • Rescassol
    Modifié (17 Apr)
    Bonsoir,

    Je ne vois pas ce que tu veux.
    $A=[1;0;0]$  est un raccourci  pour dire que $A=Bar\{(A,1),(B,0),(C,0)\}$, rien de plus, rien de moins.
    Et c'est aussi bien le cas d'un point de vue mathématique qu'en langage Matlab?
    Je ne me préoccupe pas d'espace affine ou autre.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Tout pareil que Rescassol, ton explication est peut-être très bien NicoLeProf mais comme elle me semble superfétatoire ... et que je pratique le rasoir d'Ockham.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • gai requin
    Modifié (18 Apr)
    Oui, il est sans doute superfétatoire de connaître la théorie des extensions de corps du moment que Maple calcule le groupe de Galois d’un polynôme irréductible en utilisant une encyclopédie des groupes transitifs ou ETG 😉
  • Vassillia
    Modifié (18 Apr)
    Chacun sa vision des mathématiques, certains s'y intéressent pour la beauté des objets manipulés.
    Pour moi, c'est un outil pour performer dans la résolution de problème et c'est ce que je veux vendre à mes élèves. S'il faut connaitre quelque chose, faisons-le mais si on peut s'en passer, je ne vais pas m'en plaindre et je trouverai bien autre chose à leur apprendre (et à apprendre moi-même) ;)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Quels problèmes ? Celui-là ?
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    $\color{red}IV.-$
    1. "Lorsque l'on fait de la géométrie, au lieu de discourir sur ce que l'on ferait si l'on en faisait, on finit par arriver à la délicate question de calculer pour de bon l'équation d'une droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée."(pldx1)
    Plaçons-nous dans $P(E)$ (n=2) et considérons un "véritable triangle" $A,B,C$ et un point $P$ n'appartenant pas aux "côtés" du triangle. Les "coordonnées" de ces quatre points dans le repère projectif $\{P,A,B,C\}$ de "centre" $P$ sont : $$A[1;0;0]; B[0;1;0]; C[0;0;1]; P[1;1;1]$$

    IV.1.- Equations des "côtés" du repère 

    $$M[x;y;z]\in AC\iff det(A,C,M)=0\iff  \begin{vmatrix}1 & 0 & x \\0 &  0& y \\0 & 1 & z\end{vmatrix}=0\iff y=0$$

    De même, l'équation de $BC$ est :$x=0$

    L'équation de $AB$ est $z=0$

    IV.2- Equation d'une droite passant par un sommet du repère 

    Soit $M[\alpha, \beta, \gamma]$ un élément quelconque du plan projectif $P(E)$. Quand $M\neq A$,$$M\in (AB)\iff \begin{vmatrix}1 & \alpha & x \\0 & \beta & y \\0 & \gamma & z\end{vmatrix}=\beta z-\gamma y=0$$

    Passant par $P$, on obtient $$(PA):z-y=0; (Pb):x-z=0; (PC)y-x=0$$
    par exemple.

    IV.3- Equation générale d'une droite $D=P(H)$, $H$ est un plan de $E$[$H=Ker f$,avec $f\in E^*\setminus 0$]::$$\exists (u,v,w)\in \mathbb R^3\setminus 0 \text{ tel que }M[x;y;z]\in D\iff ux+vy+wz=0$$
    _____________________________________________________________
    En géométrie projective, il n'y a pas de droites parallèles. Donc pldx1 envisage des droites qui se croisent à l'infini. Il a donc choisi dans $E$ un plan $H$, ie dans $P(E)$ une droite(line $\mathcal L_{\infty}$) $$\mathcal L_{\infty}:=P(H)\text{ pour un plan de }E, H \text{choisi donné}$$
    Il y a peu d'enseignants de 3è que je suis jamais parvenu à comprendre : Dieudonné, Schwartz, Godement, Doneddu, récemment Serre, Frenkel, Queysanne, Revuz, Lang, François Liret, Dominique Martinais, ... , Claude Deschamps et Warusfel avec beaucoup de difficulté pour les deux derniers, même si leurs ouvrages sont [des] atout[s] merveilleux pour l'étudiant travaillant seul par la cohérence et la richesse de leurs contenus.
  • @gai requin Les problèmes que je peux rencontrer soit professionnellement soit pour m'amuser. Je n'aurais, et plus personne n'aura jamais à passer l'agrégation de 1999, mais si le problème se pose, je verrai bien si j'y arrive ou s'il me manque des notions (je n'ai pas regardé). Pourquoi chercher à me convaincre de changer ma manière de voir les choses ? Je ne cherche pas à convaincre les autres de voir les choses à ma manière. Je leur propose pour le plaisir d'échanger. Si cela les intéresse, tant mieux, si cela ne les intéresse pas, tant pis, je ferai autre chose.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Parce que @NicoLeProf a fait un gros effort superfétatoire !
  • Pour stfj, pas pour moi, et j'espère que cela le satisfaira. On va s'allier avec NicoLeProf, il va expliquer les notions à des agrégés et moi à des élèves de secondaires ou licences. Forcément, on n'utilisera pas le même vocabulaire.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    $\color{red}V.-$ "En fait, la géométrie projective commence vraiment lorsque l'on se met à déplacer "la" droite de l'infini. Dans l'exercice que j'ai pris pour exemple, la figure de gauche utilise [0,1,0][0,1,0] (la droite en darkgreen) comme droite de l'infini, tandis que la figure de droite utilise la droite à l'infini du dessinateur dans la boîte, i.e. [0,0,1][0,0,1]."(pldx1, voir plus haut p.3 du  fil pour la figure en question)

    Je commence à comprendre : il faut reprendre la façon de définir le produit vectoriel $u\times v$ de deux vecteurs $u$ et $v$ dans un espace euclidien $E$ de dimension $3$ par $$\forall x\in E, \langle u\times v,x\rangle=det (u,v,x)$$oublier le produit scalaire dont on dispose dans l'espace euclidien pour ne plus conserver que $$det(u,v,x)$$

    Et on va peut-être arriver à traverser les Alpes grâce à @Rescassol et à @pldx1 ! $$\text{Hannibal (Cruxifion)}:P(E)\times P(E)\to \{P(H): H \text{ est un hyperplan vectoriel de }E\}$$ $$(A,B)\mapsto \text{wedge }(A,B)=A\wedge B$$

    Par exemple, pour $A=(-9,-5),B=(-3,-2)$ et $C=(-3,-10)$, $$\left(\begin{array}{c} -9\\ -5\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -3\\ -2\\ 1 \end{array}\right)\mapsto \left[-3,\,6,\,3\right]\simeq\left[1,\,-2,\,-1\right]$$

    (Licence CJS) pldx1 est un CAchottier (Larousse : qui fait des CAchotteries.) Ici, le mystère sans grande importance que l'enseignement de Jean Frenkel et le merveilleux livre de géométrie élémentaire de JD (pas JD, JD) m'ont permis de percer, grâce à l'opiniâtreté de pldx1 et de qui est Rescassol, à déniaiser le breton Jaouen qui est Jaouen, c'est que si l'on souhaite maintenant calculer pour de bon l'équation de la droite parallèle à AB passant par C, il va nous falloir passer par ... Très joli CArré ! Pour remercier, je paierais bien ma tournée de guinness en chairs et en os.
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    $\color{red}VI.-$ La "polysémie" évoquée par pldx1 est ce que l'on nomme ailleurs, ici dans un collège(mes 6è ont adoré :) ), la dualité. Il est d'autres auteurs tels que Jean D. qui ne s'encombraient pas davantage d'un vocabulaire destiné à donner l'illusion du savant. Ainsi,
    $$\text{Hannibal (Cruxifion)}:P(E)\times P(E)\to \{P(H): H \text{ est un hyperplan vectoriel de }E\}$$ $$(A,B)\mapsto \text{wedge }(A,B)=A\wedge B$$reste évidemment valable si l'on remplace $E$ partout par son dual $E^*$
    Voilà tout ce que j'ai trouvé pour m'expliquer la règle de Sarrus:  
    $$\begin{matrix}-9 & -3 & 1 & -9 & -3 \\-5 & -10 & 0 & -5 & -10 \\1 & 1 & 0 & 1 & 1\end{matrix}\to5$$
    _________________________________________________
    "l'impression générale est que si les causeurs pratiquaient les trucs dont ils causent, on assiSterait rapidement à une décantation entre les trucs utiles et les trucs servant seulement à jouer au savant qui saurait."(Pontifex maximus)
  • pldx1
    Modifié (18 Apr)
    Bonjour,

    Menelaus, again and again. On considère les points $P\in BC$, $Q\in CA$, $R\in AB$, tous distincts des 3 sommets. Cela donne  \[ P,Q,R\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ p\\ 1-p \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} 1-q\\ 0\\ q \end{array}\right),\;\left(\begin{array}{c} r\\ 1-r\\ 0 \end{array}\right) \] 
    On détermine si ces trois points sont sur une même droite en calculant leur déterminant. Lorsque le Sarrus de ces trois points est nul, ils sont sur une même droite et réciproquement.  Cela donne: \[ \dfrac{\left(1-p\right)\left(1-q\right)\left(1-r\right)}{\left(p\right)\left(q\right)\left(r\right)}=-1 \] Par ailleurs,  \begin{eqnarray*} \overrightarrow{PB} & = & \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 0\\ p\\ 1-p \end{array}\right)=\left(1-p\right)\left(\begin{array}{c} 0\\ +1\\ -1 \end{array}\right)\\ \overrightarrow{PC} & = & \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 0\\ p\\ 1-p \end{array}\right)=\left(-p\right)\left(\begin{array}{c} 0\\ +1\\ -1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} Donc $\dfrac{\overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PC}}=\dfrac{1-p}{-p}$ et circulairement. On substitue et on obtient  \[ \left(\dfrac{\overrightarrow{PB}}{\overrightarrow{PC}}\right)\times\left(\dfrac{\overrightarrow{QC}}{\overrightarrow{QA}}\right)\times\left(\dfrac{\overrightarrow{RA}}{\overrightarrow{RB}}\right)=+1 \]  Pas la peine de noyer le client avec des plongements esbroufants.

    Pendant qu'on y est, on définit $P'=\mathrm{quatharm}(B,C,P)\etc$. Alors les $P',Q',R'$ perspectent lorsque les $P,Q,R$ ménèlent, et réciproquement. En version coréenne, avec Kim Berling, quand les uns cevianent, les autres co-cevianent.

    Exercice: tenter d'assaisonner tout cela à la sauce Frenkel.

    Cordialement, Pierre.

    Edit: substitue et non $\mathfrak S (s,u,b,s,t,i,t,u,e)$

  • Merci, Pierre.
  • Anecdote rigolote : Thales vectoriel au lycée, je pensais avoir tout compris.
    Sauf qu'au contrôle, j'ai divisé les vecteurs allégrement (uniquement ceux colinéaires bien sûr).
    Catastrophe, j'ai perdu plein de points à cause de ça et je ne voyais absolument pas le problème, j'ai appris les rédactions voulues par le prof par cœur pour éviter les emm... pour la suite de l'année. Je m'en rappelle encore aujourd'hui, je n'ai vraiment pas aimé les maths cette année là.
    Plus tard, j'ai compris pourquoi c'était problématique et ça m'amuse de savoir encore plus tard que ce n'est pas tant que ça problématique :)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    Je vais encore dire une bêtise et me faire taper sur les doigts mais il me semble que Coxeter fait cela aussi dans Redécouvrons la géométrie, p. 125,en définissant le rapport anharmonique de quatre points $$\frac{\vec{AC}\times\vec{BD}}{\vec{AD}\times\vec{BC}}$$ou encore$$\frac{\vec{CA}}{\vec{CB}}\cdot\frac{\vec{DA}}{\vec{DB}}$$

    Quant à diviser des vecteurs, on le fait tout le temps dans $\mathbb C$, où par exemple, si $\vec{ab}=b-a$ et $\vec{cd}=d-c$, on écrit alègrement, et même les professeurs de lycée :  $$\frac{\vec{ab}}{\vec{cd}}$$Je me rappelle avoir vu une démonstration époustouflante de Morley... le triangle équilatéral...
  • Pas tous d'après mon expérience mais +1 avec toi @stfj sur le fait qu'il n'y a aucune raison de l'interdire même si ... je connais les arguments contre.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    Ce que je veux dire, c'est que lorsqu'on écrit $$\frac{b-a}{d-c}$$ce que tout le monde fait, en réalité on écrit $$\frac{\vec{ab}}{\vec{cd}}$$ dans $\mathbb C=\mathbb R^2$(considéré comme espace affine) et qu'il est donc ridicule d'interdire une telle écriture au moins dans $\mathbb C$. Ton professeur aurait donc dû non seulement ne pas t'interdire de l'écrire, mais même t'encourager à l'écrire pour des vecteurs non colinéaires. :)  Je vais encore me faire accuser de faire de l'esbrouffe et de noyer le client :) mais 200 ans après Gauss, il faudra bien un jour qu'on comprenne qu'il n'y a pas de différence entre $\mathbb C$ et $\mathbb R^2$
  • Vous venez de vous trouver un point commun, àmon avis, tu ne risques rien 😂 
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • il n'y a pas de différence entre $\mathbb C$ et $\mathbb R^2$

    1. Preuve (1). il n'y a pas de différence entre un tire-bouchon tourne à gauche et un tire bouchon tourne à droite (c'était bien la peine de nous bassiner avec les produits vectoriels)
    2. Preuve (2). comme Bob et Alice c'est du pareil au même, on en déduit que $\mathbb P_\mathbb C\left(\mathbb C^2 \right)$ c'est du pareil au même que $\mathbb P_\mathbb C \left(\mathbb C^3 \right)$. Et alors tout devient plus simple.
    Ever improving !
  • @pldx1 : Pas la peine de noyer le client avec des plongements esbroufants 🤪
  • stfj
    Modifié (18 Apr)
    "Licence" au lieu de "copyright" et c=o.
  • Bonjour $\def\pcct{\mathbb{P_{C}\left(C^{\mathrm{3}}\right)}} \def\simdoteq{\stackrel{.}{\simeq}} \def\ptv{~;~} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}} $

    Pour arriver à rendre incompréhensible le fait que $\left(C-A\right)=\left(C-B\right)+\left(B-A\right)$, il faut en effet un sérieux travail préparatoire. On peut par exemple utiliser la définition proposée par le Canard Enchaîné.
    <ouvrez le ban>
       Par définition une droite affine D est un ensemble E muni d'une famille $\mathcal {F}$ de bijections de E sur R telles que
    1. pour tout f élément de $\mathcal{F}$, et pour tout élément (a,b) de R{*} x R, l'application définie par g(M) = a f(M) + b appartient aussi à $\mathcal{F}$
    2. réciproquement si f1 et f2 sont deux éléments quelconques de \textgreek{F}, il existe (a,b) appartenant à R{*} x R tel que f2(M) = f1(M) + b. L'ensemble E est appelé le support de la droite affine D, un élément M de E est appelé un point de la droite affine D. Commentaires du Programme de 4ème (décembre 1971)
    <fermez le ban>
    Voyons tout cela en contexte. Dans le message 2475865 j'ai proposé de calculer le quatrième point d'un parallélogramme.
    1. La figure était un dessin en perspective, la ligne des points de fuite étant $\linf\simdoteq\left[0,1,0\right]$ autant dire la banale droite $y=0$ du rantanplan du dessin, ainsi que les points $A,B,C$ donnés par leur coordonnées dans le rantanplan, soit $A\left(-9;-5\right)$, $B\left(-3;-2\right)$, C$\left(-3;-10\right)$.
    2. La lecture des bonzauteurs aurait dû permettre à stfj de percevoir que $A,B,C,\linf$... cela fait QUATRE objets. Mais peut-être aurais-je dû placer une baleine sur le dessin (rari nantes in gurgite vasto) en plus de convoquer les éléphants d'Hannibal.
    3. Une première façon de faire était de tracer $AB$ et $AC$ pour déterminer les points de fuite $\delta_{AB}$ et $\delta_{AC}$. Puis de joindre chacun des points $B,C$ à l'autre point de fuite. Et alors $D$ est à l'intersection des deux dernières droites.
    4. Il était ensuite proposé de vérifier que le calcul \[ B+C-A\doteq\dfrac{B}{\linf\cdot B}+\dfrac{C}{\linf\cdot C}-\dfrac{A}{\linf\cdot A} \] donnait le même résultat pour le point $D$.
    5. Et enfin, il était demandé si les salades fléchi-flécha aidaient à prévoir que les §3 et §4 allaient donner le même résultat. Une réponse continue d'être attendue.
    6. Bien entendu, on peut se gargariser avec les "grands noms du fléchi-flécha" tant que l'on voudra. Mais cela ne fera pas oublier que tous ces " grands noms" n'ont été que les Juppettes des ministres de l'époque, contraints par la suite à démissionner (Dieu nous l'a repris) ou simplement remerciés comme des malpropres. Et tout cela pour laisser " une scolastique bien pire que la précédente" (bilan tracé par Dieudonné soi-même).
    7. Et enfin, il reste à déterminer la transformation permettant de passer de la figure (1) à la figure (2). Qui donc aurait une idée à proposer à ce sujet (avec ou sans fléchi-fléchisme) ?


    Cordialement, Pierre.
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    2. C'est bon, j'avais ai compris que le quatrième point, c'est $P(\mathbb R(0,1,0))$. @pldx1 devrait essayer de comprendre que tout le monde n'est pas Pierre.
    4.  C'est ce que je suis en train de faire, de vérifier qu'on obtient bien la même chose. Tout le monde ne travaille pas à la vitesse de Pierre.
    5. Oui, l'admirable travail de Frenkel (écriture de Géométrie pour l'élève professeur que Marcel Berger avait encouragé) m'aide évidemment à comprendre  HANNIBAL, CRUXIFIXIONS, fleurs de LOTUS, $\simdoteq$, $\doteq$ et autres objets mathématiques (me vient en tête la dualité nommée autrement) utilisés sans vraiment le dire dans des posts à destination de ceux qui ne sont pas Pierre.
    6. Je suis communiste(on connait la formule, ça évite de réfléchir) et donc parfaitement conscient du climat dans lequel s'est tenu la réunion de l'abbaye et du climat de concurrence avec les "régimes "commusnistes" de l'Est" qui suivait ensuite. Pour finalement, comme on pouvait s'y attendre, arriver au remerciement des Jupettes[Quand les tekniker ont fini de travailler, on les jette comme des malpropres voire pire] et au bilan de Dieudonné.

    Cordialement,
    Stéphane
    _____________________________
    P.S. : ces "innovations pédagogiques" sont remarquables. Je partage l'idée que tout ce qui ne peut se calculer mérite d'être éclairci jusqu'à le transformer en un petit calculus.
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $\color{red}VII.-$4. $\linf.B=(0,1,0)(-3,-2,1)^T=-2$[je ne respecte pas les notations]

    Donc $\begin{eqnarray*} D & \simeq & \dfrac{B}{\linf\cdot B}+\dfrac{C}{\linf\cdot C}-\dfrac{A}{\linf\cdot A}\\ & \simeq & \left(\begin{array}{c} 3/2\\ 1\\ -1/2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3/10\\ 1\\ -1/10 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 9/5\\ 1\\ -1/5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -2/5 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ -5\\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$

    On retrouve bien le résultat trouvé précédemment, ce qui prouve bien qu'une petite pierre ramassée à Ploneiz, dans une rue de Drancy ou ailleurs, vaut mieux qu'un long Frenkel.
    _____________________________
    Quant au cours de $\color{magenta}\text{3è}$ mentionné, il s'agit probablement de Géométrie élémentaire de JD, aux éditions HERRmanLORD, 1964. Dans l'ex 1 p.50 de ce classique oublié de la littérature jeunesse. on trouvera en effet l'égalité $$b-a=c-d$$
    qui se transforme en $$D=B+C-A$$dans le point n°9 d'un message calcaire ci-dessus.

    Cordialement, 
    Stéphane de Keroulas.$$\color {blue}12\int_{0}^{2-\sqrt3}(1-t^2+t^4-t^6+...)dt$$
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $\color{red}VIII.-$ Point n°11 du même message : $$E\simeq\left(\begin{array}{c} -9/5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)\ptv G\simeq\left(\begin{array}{c} 5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)$$ pour $E\in AD,G\in AB, E=D+x\vec{DA}, G=B+y\vec{BA}, x=\frac13, y=\frac59$(en utilisant les notations fléchi-flécha)
    Ceux qui se noient dans les plongements(je ne lis pas Virgile dans le texte), vont essayer de le vérifier : 
    ___________________________________________________
    Je crois que Pierre(@pldx1) a fait une petite erreur de calcul ou alors le mALicIeux a fait exprès de laisser une erreur pour s'assurer qu'on mènerait le calcul au bout : $$A=(-9,-5,1), D=(0,-\frac52,1), E=\frac13(-9,-5,1)+\frac23(0,-\frac52,1)=(-3,-\frac53,\frac13)+(0,-\frac53,\frac23)=(-3,-\frac{10}3,1)$$
    Soit $$E\simeq\left(\begin{array}{c} -3\\ -10/3\\ 1 \end{array}\right)$$

    Cordialement, 
    Stéphane
    _____________________________
    Rappel : voici ce qui est écrit dans le point n°11 de la page 3 : $$"E'\simeq\left(\begin{array}{c} -9/5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)" $$
  • Vassillia
    Modifié (19 Apr)
    Pour répondre à la question 5, je trouve personnellement que je m'en sors beaucoup mieux depuis que j'ai arrêté de vouloir absolument recoller avec des connaissances que j'avais déjà dans ce domaine (elles n’étaient pas énormes donc sûrement plus facile pour moi de surmonter le biais cognitif des couts irrécupérables).
    Mais attention, mon avis est forcément biaisé étant donné que je suis forcément influencée par la manière de faire de pldx1 (vu que je n'en connais pas d'autres)
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    @Vassillia : bonjour, peux-tu vérifier le calcul du point n°11 de la page 3? Je trouve un résultat différent(j'ai indiqué le calcul en $\color{red}VIII$ ci-dessus)  et c'est comme un cailloux dans ma chaussure :)
  • Vassillia
    Modifié (19 Apr)
    Effectivement, à mon avis, il faut lire x=1/5 et y=1/3 et la première coordonnée de $G$ a perdu son signe si on veut retomber sur la figure.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $\color{red}IX.-$Donc $x=\color{red}\frac 15,y=\frac13$

    $E\simeq\left(\begin{array}{c} -9/5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)\ptv G\simeq\left(\begin{array}{c} \color{red}-\color{black}5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)$

    pldx1 est mALicIeux :) ou, au sens mathématique des mots, courroucé, acrimonieux, lancinant, xénophobe(je veux dire anti-breton), Irritable.

    Merci, @Vassillia
  • Mais non, mais non, je suis sûre qu'il a envie que tu y arrives mais pour cela, il faut que tu acceptes de lui faire confiance suffisamment pour essayer de comprendre comment il pense ces objets (et il fait des erreurs volontaires ou non comme tout le monde). Ensuite, tu te les approprieras à ta manière.
    On n'est pas encore arrivé à la question 7 qui intéressera peut-être NicoLeProf aussi, on se reconcentre !
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $\color{red}X.-$ Ok. Le point n°11 de la page 3("Là, on arrête de rigoler"), je ne le comprends pas du tout. Qu'est-ce que $$det(EB,DF,\linf)?$$Le Student pense que $EB, DF, \linf$ sont des éléments de $P((\mathbb R^3)^*)$, l'espace projectif associé au dual de $\mathbb R^3$. Prenons $\linf$ par exemple. soit $$\mathcal L:\mathbb R^3\to \mathbb R$$  $$(x,y,z)\mapsto 0x+1y+0z$$ $\linf:=\mathbb R \mathcal L$ et est noté $[0,1,0]$. Ce n'est pas forcément le "Simple" attendu de KISS mais c'est ainsi que je pense cet objet. 
    _____________________________
    Réflexion déconcentrée : à l'échelle où d'aucuns évoluent, une ville située à 150 km d'une autre sera-t-elle considérée dans un voisinage proche?
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    $\color{red}XI.-$ J'ai fait les calculs pour $EB$ et ai trouvé $$[1,-8x+6,-16x+15]$$Par contre, sauf erreur, $F$ n'a pas été défini même si $F' $ semble occuper une place centrale dans la figure finale avec le carré.
    ___________________
    Voici mes calculs :  
    $A\wedge B=AB=[1,-2,-1]$

    $B\wedge D=BD=[0,5,-2]\wedge [-3,-2,1]=[1,6,15]$

    $EB=E\wedge B=(xA+(1-x)D)\wedge B=xA\wedge B+(1-x)D\wedge B )=x[-15,30,15]+(1-x)[1,6,15]=[-16x+1,24x+6,1]$

  • Hum, je dirais que F est sur
    - la droite (BC)
    - la droite constituée par le point de fuite de (BE) et D autrement dit (DF) est parallèle à (BE) même si cela se voit mieux sur la deuxième figure 
    - la droite constituée par le point de fuite de (CH) et G autrement dit (GF) est parallèle à (CH) même si la aussi cela se voit mieux sur la deuxième figure
    Qu'est ce qui a bien pu se passer ? Mais j'arrête et je le laisse répondre aux prochaines questions, j'exagère.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • "la droite constituée par le point de fuite de $(BE)$ et $D$". C'est une faute de frappe(typo)? Tu as voulu écrire $(DF)$?
  • @Vassillia : avais-tu jamais réalisé que ton pseudo fait penser à Alphonse ALLAIS. En effet si on change l'ordre des lettres de ALLAIS, cela donne ...A...SILL..A. Amusant, non ?
  • Non ce n'est pas une typo, il est vrai que F est sur la droite (DF) mais cela n'apporte pas une information très intéressante 
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    J'ai lu trop vite : ok, la droite passant par $\delta_{BE}$ et $D$
  • Une variante célèbre de $$\text{KISS}:$$
    Par le bois du Djinn, où s’entasse de l’effroi,
    Parle ! Bois du gin !… ou cent tasses de lait froid.
  • stfj
    Modifié (19 Apr)
    "Les gens qui ne rient jamais ne sont pas sérieux"
    ____________________________
    $\color{red}XII.-$

    Essayons un truc ! On pourra éventuellement en rire plus tard autour de guiness ou de lait froid peut-être...

    Soit $ABCD$ un carré. $G\in AB,E\in AD,H:=EB\cap GD, d\parallel EB=HB $ passant par $D$. $d$ coupe $CB$ en $F$. Prouver que $HC\parallel GF$. 

  • Vassillia
    Modifié (19 Apr)
    A la réflexion, je t'ai dit des bêtises stfj, je pense que pldx1 voulait que tu fasses le calcul de $E$ et $G$ avec la "droite de l'infini locale" et pas la "droite de l'infini officielle". En normalisant par rapport à la 2ème coordonnée, c'est bien $x=1/3$ et $y=5/9$ même si cela ne change pas le fait que la première coordonnée de $G$ a perdu son signe.
    Ça m'apprendra à répondre vite fait de mon téléphone sans réfléchir et aussi à faire systématiquement la même chose. Du coup, je ne suis pas sure que la réponse que j'aurais proposé pour sa question est correcte. A la base, je pensais calculer la matrice de collinéation qui envoie $A$, $B$, $C$ et $D$ sur le carré en me disant que normalement, tout le reste autour va fonctionner mais comme je ne vois pas comment l'introduire raisonnablement au collège, il y a peut-être autre chose à voir.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (20 Apr)
    $\color{red}XIII.-$

    Envoyons les points G,H et D à l'infini. Envoyons les points $\delta_{be}$ et $\color{blue}\delta_{ab}$ à l'infini

    Le fait que $\color{orange}HC\cap GF$ appartient à $\delta_{ab}\delta_{be}$ se traduit alors par le fait que $H'C'\parallel G'F'.\square$
  • stfj
    Modifié (20 Apr)
    Vassillia a dit :
    A la réflexion, je t'ai dit des bêtises stfj, je pense que pldx1 voulait que tu fasses le calcul de $E$ et $G$ avec la "droite de l'infini locale" et pas la "droite de l'infini officielle". En normalisant par rapport à la 2ème coordonnée, c'est bien $x=1/3$ et $y=5/9$ même si cela ne change pas le fait que la première coordonnée de $G$ a perdu son signe.
    Ça m'apprendra à répondre vite fait de mon téléphone sans réfléchir et aussi à faire systématiquement la même chose. Du coup, je ne suis pas sure que la réponse que j'aurais proposé pour sa question est correcte. A la base, je pensais calculer la matrice de collinéation qui envoie $A$, $B$, $C$ et $D$ sur le carré en me disant que normalement, tout le reste autour va fonctionner mais comme je ne vois pas comment l'introduire raisonnablement au collège, il y a peut-être autre chose à voir.
    $\color{red}XIV.-$ 


    Là, va falloir qu'on m'expliquât ce qu'est la "droite de l'infini locale" et la "droite de l'infini oficielle". D'après la figure ci-dessus, la "droite de l'infini officielle" devrait être $$[0,0,1]$$ et la droite de l'infini locale $$\linf$$
    ____________________________________________
    HAMLET: Qu’avez-vous fait de la bouteille de gin?
    LE FOSSOYEUR: J’ai tout bu.
    HAMLET: Tout bu or not to bu?

  • Ah ça y est, on arrive à la partie rigolote, si les points de fuite sont envoyés à l'infini n'importe où, on aura un "vrai" parallélogramme et puis c'est tout. Si on veut un carré, il faut être un peu plus exigeant à mon avis. Je suis sûre que la matrice qu'il a donné est une matrice de collineation. Sur le principe, c'est pas compliqué, il faut 4 couples de points et trouver une matrice qui envoit le premier élément du couple sur le second élément du couple. Naturellement, j'aurais envoyé A sur A', B sur B', C sur C' et D sur D', j'ai vérifié hier soir quand j'ai écrit le message que tu cites et je trouve la même matrice que lui mais pas vraiment de manière abordable au collège donc ... affaire à suivre.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (20 Apr)
    J'ai jamais fait ce genre de truc. Les gens qui ne se plantent jamais ne vont jamais au bout des calculs. Tant pis si j'écris n'importe quoi.
    __________________________
    $\color{red}XV.-$ Visiblement, $CB\cap AD$ est envoyé sur $[0;0;1]$. J'aurai au moins fait l'effort de respecter les notations introduites pour indiquer que l'image d'un point, ici l'intersection des droites $CB$ et $AD$, est un point, par la transformation projective (homographie faisant passer de la figure de gauche à celle de droite). J'imagine, @Vassillia, que "collinéation" est le terme utilisé par pldx1 pour homographie. Il me manque encore un couple de points pour en avoir $4$.

    C'est vrai qu'on arrive à une partie plus intéressante que les banalités précédentes, même si je n'ai pas encore retrouvé par le calcul E et G pour x=1/3 et y=5/9.

    Il faut 4 points qui constitueront  un repère projectif du plan projectif de gauche sur un repère du plan projectif de droite . En langage plus elliptique,

    Il faut envoyer 4 points sur 4 points pour définir correctement la collinéation. Autrement dit, il faut 4 couples (point, point) pour définir la collinéation. 
    _________________________________________________________
    "Les gens qui ne rient jamais ne sont pas sérieux."(ALphonse ALLaIs)
  • Vassillia
    Modifié (20 Apr)
    Arf, c'est de ma faute étant donné que j'ai complétement abandonné les vecteurs tant que je n'ai pas besoin de distances mais c'est peut-etre important pour toi vu la manière dont tu vois les choses.
    Quand on écrit $E = xA+(1-x)D$ on peut dire que $E-D=x(A-D)$ autrement dit les vecteurs correspondants sont colinéaires et les points $A, D$ et $E$ sont alignés. Par quoi on divise les points pour calculer des vecteurs d'après ce que tu as fait juste avant ? 
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • stfj
    Modifié (20 Apr)
    Pour calculer des vecteurs dans le plan bleu d'équation $0x+0y+1z=1$, il faut que tous les éléments du plan bleu dans l'espace complété $\mathbb R^3$ soient écrits sous la forme $(x,y,1)\in \mathbb R (x,y,1)$. Par exemple $$A=(-9,-5,1), D=(a,b,1),A-D=(-9-a,-5-b,0)\in Ker([0,0,1])$$si j'ai enfin réussi à me familiariser un peu avec les notations de pldx1 et Rescassol et les tiennes, @Vassillia ?
    ___________________________________
    Soit $$[0,0,1]:\mathbb R^3\to \mathbb R$$ $$(x,y,z)\mapsto 0x+0y+1z$$ $[0,0,1]$ appartient au dual de $\mathbb R^3$ Le plan projectif associé à $Ker [0,0,1]=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3: z=0\}$ est associé au  plan grisé ci-dessous. Cette droite projective est ce que tu nommes "droite à l'infini officiel" sauf erreur de ma part.

  • Vassillia
    Modifié (20 Apr)
    stfj a dit :
    Donc $\begin{eqnarray*} D & \simeq & \dfrac{B}{\linf\cdot B}+\dfrac{C}{\linf\cdot C}-\dfrac{A}{\linf\cdot A}\\ & \simeq & \left(\begin{array}{c} 3/2\\ 1\\ -1/2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3/10\\ 1\\ -1/10 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 9/5\\ 1\\ -1/5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -2/5 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ -5\\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}$
    Et pourtant stfj a fait autrement précédemment.
    Mes notations et mon vocabulaire sont encore très brouillons car je ne suis pas encore fixée sur comment expliquer certaines notions. Beaucoup trop peu de retour d'expérience.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.