Cobars et Véto et espace projectif réel

Vassillia

@gai requin J'ai mis du temps à m'y mettre, je suis restée barycentrique longtemps mais finalement j'aime bien, cela simplifie pas mal les calculs quand j'arrive à m'y prendre correctement.

D'où le fait que je revendique qu'il faut se passer de visualisation car je ne vais pas vous mentir, je vois moyen ce genre de dimension mais je m'en suis fait une image mentale quand même.

@NicoLeProf Bon courage pour la lecture, il y a des métaphores, moi j'aime bien mais les goûts et les couleurs... Après il ne faut pas que tu hésites si tu as questions plus pointues, je suis sûre qu'il aura la réponse si moi je ne l'ai pas et en plus j'apprendrai des choses auxquelles je ne pense pas forcément.

stfj

Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique.

Faut-il traduire par: les maths, c'est nécessairement un tissus de salades sans rapport avec le monde réel ?

Les mathématiciennes (mathema, science, de scio, je sais; suffixe -ique, qui a rapport à) proposent des modèles utiles aux sciences. Le modèle est directement inspiré du monde réel et cherche à s'en approcher au mieux. La mathématique, étymologiquement, a donc tout à voir avec le monde réel. Mais le modèle N'EST PAS la réalité que le modèle cherche à décrire. Par ailleurs, nous nous sommes aperçus (*) que les modèles que nous créons pour des réalités physiques données s'appliquent à d'autres réalités physiques de façon parfois inattendue. La modèle acquiert donc une existence propre, indépendante de la réalité dont il provient. En conclusion, parler de salades à propos de la mathématique risque fort d'amener à manquer de nuances. Or, la réalité autour de la mathématique est fort complexe et mérite des propos nuancés. (réponse version soft, j'ai déjà exprimé mon point de vue ailleurs)
 (*) Exemple : plan et suites linéaires récurrentes d'ordre 2

NicoLeProf

@gai requin, en réponse à ceci, ce serait tous les points appartenant à $\mathbb{P}(\mathbb{R}^3)$ privé de la carte affine $z=1$?

gai requin

@NicoLeProf : Est-ce que dans cette carte affine, on voit $(1:2:3)$ ? $(2:5:0)$ ? Conclusion ?

stfj

12.- C'est du chipotage. C'est comme si on me reprochait d'écrire $7+5=-1+5=4$ dans $\Z/8$ au lieu de $\bar 7+\bar 5=...$

Vassillia

@NicoLeProf
On travaille dans le plan projectif car les coefficients étant définis à un facteur multiplicatif près, on peut toujours se ramener à une troisième coordonnée égale à 1 pour retrouver nos bonnes vieilles coordonnées cartésiennes. Enfin toujours sauf quand le point est à l'infini, c'est à dire ?

stfj

13.- Soit $u\neq 0\in E$, espace vectoriel réel. $\varphi:E\to \mathbb R, x\mapsto \langle u,x\rangle$ est une forme linéaire non nulle puisque $\varphi(u)\neq 0$ puisque $u\neq 0$. Donc, d'après le fameux 3.3.6 que tout géomètre connaît, $H=\varphi^{-1}(0) $ est un hyperplan et $P(H)$ une droite projective.  Morceaux recollés : c'est trivial.

stfj

14.- Mise en pratique de ce que @Rescassol m'a appris hier pour cultiver le ricain.

stfj

14.- Mise en pratique de ce que @Rescassol m'a appris hier pour cultiver le ricain.(tradition française légèrement détournée des cours aux ouvriers.) Il manque un "s" dans votre remarque assassine. Mais qui sont ces serpents qui sifflent sur nos têtes ?

NicoLeProf

Attendez... Vous êtes simplement en train de me dire dans votre système Vassillia et stfj (i.e : en considérant qu'il suffit d'ajouter une troisième coordonnée égale à $1$ dans le complété projectif, ce à quoi je réponds "au final pourquoi pas" car c'est proche de ce que j'ai fait sauf que c'est beaucoup plus simple) que le point de coordonnées homogènes $(1:2:3)$ est en fait le point de coordonnées $(1/3:2/3:1)$ donc de coordonnées $(1/3;2/3)$ dans le plan affine que vous considérez?

Auquel cas, oui je vois $(1:2:3)$ dans cette carte affine mais je ne vois pas $(2:5:0)$ car je ne peux pas me ramener pour ce dernier point à une troisième coordonnée égale à $1$.

Conclusion n°1 : les points à l'infini pour cette carte affine sont les points dont la troisième coordonnée homogène est nulle.

Conclusion n°2 : je me suis bien compliqué la vie avant (mais ce n'est pas grave, c'est formateur et ce sera utile) !

stfj

18.- Tout le monde le sait car tout le monde l'a lu et continue à le lire. Il y a une traduction américaine que l'on m'a montré.
[Notez que je ne fais pas que le lire en diagonale. Son problème sur les transvections m'a beaucoup intéressé quand je m'intéressais à la courbe du blanc-manger, en tant qu'attracteur d'une famille de contractions (IFS) où intervient une transvection. J'écris cela pour qu'on ne me reproche pas à nouveau de citer un auteur que je n'aurais lu que pour épater la galerie, de façon ridicule.]

Voilà, j'ai répondu à tout. J'espère moi-aussi avoir réponse à ma question : $\alpha_m:=\frac{|J_{n,m|}}{|J_{n,1|}}$ déjà défini oui ou non ?

gai requin

@NicoLeProf : Il y a deux choses bien distinctes, le complété projectif d’un espace affine et, dans un espace projectif, l’envoi d’un hyperplan à l’infini (par exemple le classique $z=0$ dans le cadre du plan projectif).

On peut utiliser le premier quand on traite un problème affine et le second si le problème est projectif.

Dans le cas euclidien, on peut aussi s’amuser avec la droite projective complexe $\mathbb C\cup\{\infty\}$…

gai requin

@AD @JLT : C’est parce que je suis sur mon téléphone que cette page revêt une forme inhabituelle ?

stfj

$\color{magenta}3'.-$ Soit $H$ et $H'$ deux plans vectoriels distincts de $E:=\mathbb R^3$. $E^*$ désignera dans la suite le dual de $E$.  $\exists \varphi\in E^*\color{red}\setminus0\color{black}\text{ t.q. } H=Ker \varphi$.

 $\varphi$ n'est défini$\color{red}\text{e}$ qu'à une constante multiplicative non nulle près. Il est donc raisonnable d'associer à $H$ la droite vectorielle $\mathbb R \varphi$ de $E^*$, i.e. un élément de $P(E^*)$, l'espace projectif associé à $E^*$. De même pour $H'$. 

$\dim_\mathbb R(\mathbb R^3)=3$ donc $\dim_\mathbb R((\mathbb R^3)^*)=3$ aussi. Donc $\exists (a,b,c)\in \mathbb R^3: \varphi =ae_1^*+be_2^*+ce_3^*$, où $(e_1,e_2,e_3)$ désigne la base canonique de $\mathbb R^3$. On pourra noter $$[a,b,c]:=\mathbb R^*(a,b,c)$$ par les isomorphismes précédemment évoqués le la droite projective  plan $P(H)$. De même pour $$[a',b',c']$$pour $P(H')$.

Quand nous écrivons $$[a,b,c]\wedge[a',b',c']$$nous obtenons donc l'espace projectif associé à la  droite $H\cap H'$, ie un point de l'espace projectif $P(\mathbb R^3)$, ce que nous écrivons $$[d;e;f]$$avec des points-virgule. 

Bilan: A deux droites $P(H)$ et $P(H')$ de $P(E)$, nous associons par les vertus du lotus, un point $P(H)\cap P(H')=P(H\cap H')$. Ce que l'on note en coordonnées homogènes $$[a,b,c]\wedge[a',b',c']=[d;e;f]$$

Question: cela n'a pas l'air bien difficile mais comment définir $[a,b,c]\wedge[a',b',c']$ sans utiliser le produit vectoriel, qui ne semble pas le bienvenu ici, @Rescassol et @pldx1 ?
________________________________
La vocation de l'école est parfois de faire ravaler leur morgue aux marmots, pour éviter d'entendre des âneries telles qu'un point est une droite, puisqu'un point est un point. (point)
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Note : vu que je fais dans le précis ici, la référence $\color{magenta}(3'.-)$ renvoie à la remarque n°3 des 18 remarques de @pldx1 qu'on pourra trouver plus haut. Je ne désespère pas un jour d'aller au bout des 18; et de pouvoir passer aux choses sérieuses, les 16 qui suivent.

Vassillia

Tu as un talent rare stfj pour réussir à embrouiller des choses qui me paraissent simples.
Les notations usuelles sont les suivantes 
- un point s'écrit en colonne (ou en ligne mais avec des coefficients séparés pas des : ce que fait NicoLeProf)
- une droite s'écrit en ligne avec des coefficients séparés par des virgules (personne n'a demandé de mettre des points virgules).
Et c'est exactement ce que pldx1 a dit : 

1. 
   
2. Dans le plan, une droite (line) se décrit par trois nombres, que l'on écrit en les séparant par une virgule. (Rappel: le point décimal s'écrit avec un point). Cela forme une ligne (row).
3. Un point (point) se décrit par trois nombres, que l'on écrit les uns en dessous des autres. Cela forme une colonne (column). On peut aussi utiliser le symbole :: (colon) pour écrire x:y:z. Cela s'appelle l''écriture en colon (ne pas utiliser ce joke sans attribution, licence CCA).

Rescassol

Bonjour,

Dans Matlab, la virgule (ou des espaces) donne des lignes, et le point virgule des colonnes.
Ça fait partie de la syntaxe du langage.

Cordialement,
Rescassol

stfj

bonjour,

Merci @Rescassol de préciser que toutes ces notations ne sont que des conventions informatiques pour programmer en matlab.
Ce qui m'intéresse ici, @Vassillia, c'est la justification mathématique des calculs faits par matlab ou geogebra. Cela répond à une quasi-injonction de @pldx1, qui m'encourage à réellement calculer. Une fois le principe des  calculs compris, j'ai vu, grâce à @Rescassol, l'application très pure de ces calculs formels à Ceva et à Ménélaüs. Je continue de réfléchir de loin à l'autre exercice qu'il a posé. 

Pour l'instant, le produit vectoriel des champs électromagnétiques me suffit. Mais pourquoi pas un \wedge mathématique plus adapté à la situation ici. D'où mon $\color{magenta}(3'.-)$ où j'ai sûrement écrit des âneries. Mais c'est comme cela que je progresse. J'écris dix trucs faux et parfois enfin un truc vrai.

Cordialement,
Stéphane

Vassillia

Sinon, la définition de l'opérateur wedge est la suivante $(x_A : y_A : z_A) \wedge (x_B : y_B : z_B) = [y_A z_B - z_A y_B ,z_A x_B - x_A z_B,x_A y_B - y_A x_B]$
Et donc un point $M \simeq (x:y:z)$ appartient à la droite $(AB)$ ssi $(AB)\cdot M = x(y_A z_B - z_A y_B) + y(z_A x_B - x_A z_B)+z(x_A y_B - y_A x_B)=0$
Pourquoi ça ?
Car si on remplace $x$ par $x_A$; $y$ par $y_A$ et $z$ par $z_A$ et bien ça fait $0$

Et si on remplace $x$ par $x_B$; $y$ par $y_B$ et $z$ par $z_B$ et bien ça fait ... (roulement de tambour pour le suspens) $0$ aussi

Donc on a bien trouvé la "bonne équation de droite" avec l'opérateur $\wedge$

Il se trouve que cet opérateur a le bon gout de fonctionner aussi sur 2 droites pour renvoyer systématiquement leur point d'intersection (démonstration laissée aux lecteurs et lectrices).

Il est possible que ce point d'intersection soit à l'infini si les droites sont parallèles mais ce n'est pas bien grave (enfin non, c'est mieux que ça, c'est le but de la manœuvre de ne plus avoir à distinguer les droites sécantes des droites parallèles)

@stfj ce forum n'est pas ton brouillon, tu n'es pas supposé écrire 10 trucs faux pour 1 truc vrai, tout le monde fait des erreurs mais tu es quand même invité à réfléchir avant d'écrire. Par ailleurs, moi j'utilise python (enfin sage) et je ne fais pas de distinction entre point et droite quand je programme, ce sont tous des "vector" mais .... pour rédiger, il parait pertinent de faire une différence.

NicoLeProf

@gai requin, je te remercie pour ton aide précieuse.

Concernant l’envoi d’un hyperplan à l’infini, dans un espace projectif, c'est ce que font Vassillia et stfj non? Avec le plan d'équation $z=0$.

Concernant la forme inhabituelle des messages de cette discussion, j'ai constaté le même problème hier soir (tardivement) sur ordinateur...

Aujourd'hui, les messages ont repris leur aspect habituel.

pldx1

Bonjour,

1. Qu'est-ce qu'une droite ? Une droite est une courbe qui va en ligne droite, c'est à dire à pente constante. Tel est le contenu de l'Axiome de Thalès. Et, comme de juste, le principal résultat de la merdification de la Géométrie à la sauce Dieudonné est d'avoir merdifié l'enseignement des proportions. C'est pourtant simple. La relation \[ p=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \] conduit à $y=px+m$. Et, si l'on aime bien que les choses soient rangées agréablement, cela conduit à \[ \left[p,-1,m\right]\cdot\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ 1 \end{array}\right)=0 \]
2. La ligne $\left[p,-1,m\right]$ décrit la droite dont on cause, la colonne $x:y:1$ décrit le point dont on cause. C'est tellement une colonne qu'elle a été écrite avec des colon ($:$). Le \cdot entre les deux veut dire que l'on multiplie le premier avec le premier, le deuxième avec le deuxième, le troisième avec le troisième et que l'on additionne les produits partiels.
3. C'est exactement ce que l'on fait avec trois pommes de terre de 200g, deux aubergines de 300g et 10 fonds d'artichauts de 50g. On calcule le poids total par somme de produits, c'est à dire en effectuant \[ 3\times200+2\times300+10\times50=1700 \] Poser une telle opération devrait être faisable avant d'avoir subi un M4 de mathématiques.
4. Lorsque l'on s'est donné deux points comme $A=-2:3:1$ et $B=-1:5:1$, on sait qu'il existe une et une seule droite passant par ces deux points. Lorsque l'on tape AB=Line(A,B) dans la barre de commande de geogebra, on voit une ligne apparaître dans la fenêtre Graphic, et une équation apparaître dans la fenêtre Algebra. Comment fait-elle la madame qui est cachée dans l'ordinateur ?
5. Eh bien, je n'ai pas l'impression que la madame dans l'ordinateur, elle fasse en cachette une figure en dimension 3 comme décrit dans la Saincte Bible selon Frenkel.
6. En fait, il y a une méthode bien connue de ceux qui veulent aboutir au plus vite à cette équation au lieu d'en tartiner des tonnes, juste pour passer le temps --- et tuer des heures d'enseignement. C'est la méthode "Hannibal traversant les Alpes" . Cela consiste à faire quelques produits en croix, et à placer les résultats à la bonne place. Ainsi \begin{eqnarray*} \left(\begin{array}{c} \phantom{-2}\\ 3\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} \phantom{-1}\\ 5\\ 1 \end{array}\right) & = & \left[3\times1-1\times5,\;,\;\right]\\ \left(\begin{array}{c} -2\\ \\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -1\\ \\ 1 \end{array}\right) & = & \left[\;,-\left(-2\right)\times1+1\times\left(-1\right)\;,\;\right]\\ \left(\begin{array}{c} -2\\ 3\\ \\ \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -1\\ 5\\ \\ \end{array}\right) & = & \left[\;,\;,\left(-2\right)\times5-3\times\left(-1\right)\right] \end{eqnarray*} Et cela donne: $\left(-2:3:1\right)\wedge\left(-1:5:1\right)=\left[-2,1,-7\right]$. On remarquera que la croix centrale est effectuée à rebrousse poil.
7. Et on vérifie. Immédiatement. Cela fait partie de la culture scientifique que les enseignants sont supposés enseigner. Au passage, cela explique pourquoi on rebrousse le poil de la deuxième croix. On voit que \[ \left[-2,1,-7\right]\cdot\left(\begin{array}{c} -2\\ 3\\ 1 \end{array}\right)=\left[-2,1,-7\right]\cdot\left(\begin{array}{c} -1\\ 5\\ 1 \end{array}\right)=0 \]
8. Pourquoi utiliser "Hannibal traversant les Alpes" pour identifier cette méthode ? Parce qu'il semble nécessaire d'utiliser une armée d'éléphants pour attirer l'attention sur le fait qu'il ne s'agit pas d'un " produit vectoriel" . Et aussi pour attirer l'attention sur le fait qu'il ne s'agit pas d'un sous-module d'un cours de M4 (=bac + 4) mais d'une chose qui pourrait être enseignée en Quatrième (=bac -4).
9. Encore et à nouveau: KISS.

Cordialement, Pierre

stfj

Bonjour,

@NicoLeProf, 

J'espère que @gai requin me pardonnera d'intervenir sur une question qui ne m'est pas adressée; mais comme j'avais préparé le terrain quand tu poserais fatalement cette question, je me permets d'intervenir.

Soit $E$ un espace vectoriel réel et $P(E)$ l'ensemble des droites vectorielles de $E$. Parmi ces droites qui sont des éléments de $P(E)$, aucune n'est privilégiée. Autrement dit, il n'existe pas a priori d'élément à l'infini dans $P(E)$. 

C'est la raison pour laquelle j'insistais sur le fait de faire disparaître le plan grisé de l'illustration ci-dessous de $P(\mathbb R^3)$, qu'on note aussi $RP^2$.

Cordialement, 
Stéphane
P.S. : tu y es presque. Hâte de voir la suite
______________________

gai requin

@NicoLeProf : Exactement !

Vassillia

Pour la suite @NicoLeProf, une suggestion que je te propose, écrire la droite de l'infini puis s'en servir, comme de n'importe quelle autre droite, pour calculer à coup de $\wedge$ une parallèle à la droite $(AB)$ passant par le point $C$
Tu peux le faire dans le cas général ou sur un exemple comme tu préfères (tu peux aussi ne pas t'intéresser à ma question je te rassure).

stfj

@pldx1 : bonjour,

Merci d'avoir repris mon exemple, ce qui m'a permis de me reporter à la figure que j'avais fournie pour suivre vos neufs points. Je vous remercie beaucoup pour le temps que vous voulez bien consacrer à ce fil. En ce qui me concerne, j'apprends beaucoup grâce à votre travail ici.

Pour en revenir aux neufs points que j'ai lus avec autant de plaisir que les autres nombreux points, en me laissant le temps d'incubation nécessaire, c'est ok. A priori, entièrement d'accord avec ce tout que vous écrivez.

Très respectueusement et très cordialement, 
Stéphane.

NicoLeProf

Bonjour @Vassillia, je me suis bien torturé l'esprit face à ce que tu me demandes je l'admets...   

Parce que je trouvais des résultats incohérents avec la méthode matricielle de pldx1 dans le lien que tu m'as envoyé et avec le commentaire de Rescassol ici. 

(Cela dit pour Rescassol, ce n'est peut-être pas un problème car il ne semble pas raisonner comme toi et stfj : dans la carte affine $z=1$). 

Je détaille ma démarche sans doute fausse du coup 

Je considère $A(-9;-5)$ ; $B(-3;-2)$ et $C(-3;-10)$ dans le plan affine. Je reprends l'exemple de pldx1 ici.

Je me place dans le plan projectif que vous utilisez. Dans ce contexte, la droite à l'infini $\mathcal{L}_{\infty}$ est $z=0$ (ou $[0,0,1]$).

Une équation de la droite $(AB)$ est $-x+2y+z=0$ (déjà calculée par pldx1).

Un point à l'infini de $(AB)$ est $(AB) \cap \mathcal{L}_{\infty}$, ce qui donne après calculs : $(2:1:0)$.

Maintenant, je définis $(\Delta)$ une droite parallèle à $(AB)$ passant par $C$.

Je note $(\Delta) : ax+by+z=0$ ou $[a,b,1]$.

Trois conditions :

(1) $C \in (\Delta)$ donne : $-3a-10b+1=0$.

(2) $(2,1,0) \in (\Delta)$ donne : $2a+b=0$ soit $b=-2a$.

En combinant (1) et (2), on trouve $a=-1/17$ et $b=2/17$.

Une équation de $(\Delta)$ est : $-x+2y+17z=0$.

(3) On vérifie que le point à l'infini de $(\Delta)$ appartient à $(AB)$ :

$(\Delta) \cap \mathcal{L}_{\infty}$ donne $(2:1:0)$ : cohérent (au moins un truc lol )!

pldx1 ne semble pas utiliser la même droite à l'infini, pourtant je croyais que c'était $[0,0,1]$ dans notre contexte avec la carte affine $z=1$.

Que c'est compliqué tout ceci, il y a du chemin à faire...

Vassillia

Hum, bravo mais tu t'es compliqué la vie

$(AB) = A \wedge B \simeq [-3 , 6 , 3]$

Le point à l'infini de $(AB)$ est $(AB)_{\infty}= (AB) \wedge L_{\infty} = (6 : 3 : 0)$ 

Mais le point à l'infini de la parallèle est exactement le même puisqu'elles s'intersectent en l'infini donc on veut une droite passant par ce point à l'infini et par $C$ 

$\Delta = (AB)_{\infty} \wedge C = [3,-6,-51] \simeq [-1,2,17]$

J'ai volontairement attendu pour simplifier car ce n'est pas vraiment indispensable en fait.

pldx1 utilise $[1,1,1]$ comme droite de l'infini en barycentriques ce qui est normal puisque un point appartient à cette droite ssi la somme de ses coefficients est nulle. Et il utilise $[0,1,0]$ en Morley ce qui est normal aussi car un point s'écrit alors $(x+iy:1:x-iy)$ où $x$ et $y$ sont les coordonnées cartésiennes. L’intérêt résidant, par rapport aux barycentriques, surtout quand c'est avantageux d'utiliser l'écriture complexe $r e^{i \theta}$.

En fait, à terme, on peut faire encore plus rapide mais je pense qu'il est important de se servir de la droite à l'infini comme d'une vraie droite d'ailleurs tu as réussi

Rescassol

Bonjour,
.
> $\Delta = (AB) \wedge L_{\infty} \wedge C \simeq [3,-6,-51] \simeq [-1,2,17]$
Attention, Vassilia, le wedge n'est pas associatif, $Wedge(Wedge(M,N),P)\neq Wedge(M,Wedge(N,P))$.

Cordialement,
Rescassol

Vassillia

Certes, j'étais en train d'éditer mon message quand tu as du le lire. J'essayais de ressusciter ton exercice puis j'ai vu que NicoLeProf m'avait répondu donc j'ai fait plein de modifications successives au lieu de prendre le temps de l'écrire correctement

NicoLeProf

Tout ceci est vraiment très intéressant !

Déjà, un grand merci à Vassillia et à tous les autres !

Je suis content car je comprends de plus en plus de choses, je viens de comprendre que l'opérateur $W$ de pldx1 $W_z=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ +1 & 0 & 0\end{array}\right)$ est associé à la droite de l'infini $[0,1,0]$.

Pour trouver celui qui concerne mon post ci-dessus et vérifier ainsi la cohérence de mes résultats, je me suis dit que le $W$ en question doit prendre en entrée une droite $(\Delta) \simeq [a, b,1]$ et doit donner son point à l'infini en sortie qui est $(\Delta) \wedge \mathcal{L}_{\infty}=[a,b,1] \wedge [0,0,1]=(b:-a:0)$. 

Conclusion, la matrice $W=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ convient et je trouve bien ensuite : $\begin{pmatrix} -1 & 2 & 17 \end{pmatrix} W \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}^T=0$, ce qui confirme le parallélisme voulu !   

Concernant l'exo de Rescassol, j'ai du mal à voir comment faire apparaître du $\overline{GA_1}$, $\overline{GB_1}$ et $\overline{GC_1}$ sans me perdre dans les calculs. En fait, j'ai bien compris comment exprimer les coordonnées barycentriques de $A_1$, $B_1$, $C_1$ en fonction de distances algébriques grâce au travail effectué par Vassillia (que je remercie de nouveau chaleureusement pour m'apprendre tant de choses ) sur Ménélaüs mais j'ai du mal à passer des coordonnées barycentriques à des calculs de distances surtout algébriques (en + des cercles). 

Rescassol

Bonjour,

Pas besoin de distance, il n'y a rien d'euclidien dans cet exercice, que du barycentrique affine.
Il suffit de se rappeler de la définition de la mesure algébrique.

Cordialement,
Rescassol

stfj

$$(BC)=[1,0,0]$$
Avant d'envisager le cas général, j'envisage un cas particulier : celui où $B_1$ est le milieu de $AC$, autrement écrit $$B_1=[1;0;1]$$J'ai obtenu alors que $$(GB_1)=G\wedge G_1=[v,u-w,v]$$

gai requin

Pour l'exercice de @Rescassol, on peut supposer que $u+v+w=1$.
Soit $\alpha,\beta$ des réels tels que $C_1=\alpha A+\beta B$. Alors $$\begin{align*}(u-\alpha:v-\beta:w)&=\left(u\frac{u-\alpha}u:v\frac{v-\beta}v:w\right)\\&=\left(u\frac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}}:v\frac{\overline{GC_1}}{\overline{GB_1}}:w\right)\\&=\left(\frac u{\overline{GA_1}}:\frac v{\overline{GB_1}}:\frac w{\overline{GC_1}}\right).\end{align*}$$Ce point étant à l'infini, on a bien la relation attendue.

NicoLeProf

Si j'ai bien compris gai requin, tu écris $C_1=\alpha A+\beta B$ et $G=uA+vB+wC$ donc $C_1-G=\overrightarrow{GC_1}=(\alpha-u)A+(\beta-v)B-wC$ avec $u-\alpha+v-\beta+w=0$ (puisque l'on considère les coordonnées barycentriques d'un vecteur).

Mais comment fais-tu pour trouver que $\dfrac{u-\alpha}{u}=\dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}}$?

Par déf, $\overrightarrow{GC_1}=\dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}} \overrightarrow{GA_1}$ mais ensuite... Il faut se torturer l'esprit avec Chasles ?

gai requin

@NicoLeProf : Les coordonnées de $\overrightarrow{GC_1}$ et $\overrightarrow{GA_1}$ dans la base $(A,B,C)$ de $\widehat{\mathcal E}$ sont proportionnelles. Leurs abscisses respectives dans cette base sont $\alpha-u$ et $-u$ donc $\overrightarrow{GC_1}=\dfrac{u-\alpha}u\overrightarrow{GA_1}$.

stfj

$\alpha+\beta=1$?

gai requin

@stfj : Tu n'as pas bien lu ce fil dans ses moindres recoins

NicoLeProf

Ok je vois merci beaucoup gai requin !!!

stfj

@gai requin: non , j'avais un peu de jardinage à faire. Je vais le lire dans tous ses recoins...

stfj

@NicoLeProf : bonjour,

Tu peux m'expliquer alors? Je suis un peu perdu.

Cordialement,
Stéphane Jaouen

Rescassol

Bonjour,

Bon, voilà une autre preuve barycentrique:

% Preuve de u/GA1 + v/GB1 + w/GC1 = 0 en mesures algébriques
% Note: ./ signifie division terme à terme

clear all, clc

syms p q r u v w real

BC=[1, 0, 0]; CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1];  % Côtés du triangle ABC

M=[p; q; r]; G=[u; v; w]; % Deux points quelconques
GM=Wedge(G,M); %  La droite (GM) est une droite quelconque passant par G
A1=Wedge(GM,BC); B1=Wedge(GM,CA); C1=Wedge(GM,AB);
% On trouve A1=[0; q*u-p*v; r*u-p*w] et permutation circulaire
Va=Vecteur(G,A1); Vb=Vecteur(G,B1); Vc=Vecteur(G,C1);

V=Vecteur(G,M); % Un vecteur directeur de (GM)
V=FactorT(sum(G)*sum(M)*V); % V "sans dénominateur"
% On trouve V=[p*(v+w) - u*(q+r), q*(w+u) - v*(r+p), r*(u+v) - w*(p+q)]
% Abscisses de A1, B1, C1 dans le repère (G,V) de (GM)
Xa=FactorT(Va./V); Xb=FactorT(Vb./V); Xc=FactorT(Vc./V);
% (évidemment, les trois coordonnées de Xa, Xb, Xc sont égales)

Nul=FactorT(u./Xa + v./Xb + w./Xc) % On trouve Nul=[0, 0, 0]

Sur un axe $\Delta=(O,\overrightarrow{V})$, la mesure algébrique $\overline{MN}$ est par définition l'unique réel tel que $\overrightarrow{MN}=\overline{MN}\overrightarrow{V}$.

C'est la mesure de $\overrightarrow{MN}$ à l'aide de l'unité $\overrightarrow{V}$.

Cordialement,

Rescassol

NicoLeProf

Bonjour @stfj,

je détaille la preuve de gai requin ci-dessous en espérant que tout soit clair : 

quitte à diviser par $u+v+w$, on peut supposer dans l'exo de Rescassol que $u+v+w=1$.

On a aussi $G=uA+vB+wC$.

$C_1 \in (AB)$ donc il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $C_1=bary\{(A,\alpha),(B,\beta)\}$ ou encore : $C_1=\alpha A+\beta B$ (et on a $\alpha + \beta=1$ par ce qui a été vu avant).

Ainsi, $C_1-G=\overrightarrow{GC_1}=(\alpha-u)A+(\beta-v)B-wC$ (comme $\alpha+\beta=1$, $\overrightarrow{GC_1}$ étant un  vecteur directeur de la droite $(GC_1)$ , il s'agit donc bien d'un point à l'infini dans ce contexte).

Maintenant, $A_1 \in (BC)$ donc il existe $\delta, \gamma \in \mathbb{R}$ tels que $A_1=\delta B+\gamma C$ avec $\delta+\gamma=1$.

Dès lors, $\overrightarrow{GA_1}=A_1-G=-uA+(\delta-v)B+(\gamma-w)C$.

De plus, $\overrightarrow{GA_1}$ et $\overrightarrow{GC_1}$ sont colinéaires et non nuls donc il existe un réel $\lambda$ tel que $\overrightarrow{GC_1}=\lambda \overrightarrow{GA_1}$.

Par suite les abscisses de ces deux vecteurs vérifient : $\alpha-u=\lambda . (-u)$ et on a également par définition : $\overrightarrow{GC_1}=\dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}} \overrightarrow{GA_1}$.
Donc $\lambda=\dfrac{u-\alpha}{u}=\dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}} $.

Par le même raisonnement, on trouve : $\dfrac{v-\beta}{v}=\dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GB_1}}$.

Ainsi, $(\alpha-u:\beta-v:-w)= \left (u\dfrac{u-\alpha}{u} : v \dfrac{v-\beta}{v} : w \right )=\left (u \dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GA_1}} : v \dfrac{\overline{GC_1}}{\overline{GB_1}} : w \right )=\left ( \dfrac{u}{\overline{GA_1}} :  \dfrac{u}{\overline{GB_1}} : \dfrac{w}{\overline{GC_1}} \right )$ et on obtient l'égalité souhaitée car $(\alpha-u:\beta-v:-w)$ est un point à l'infini !

gai requin

@NicoLeProf : Tu as montré toi-même que les coordonnées barycentriques d’un point sont toujours de somme $1$ !

NicoLeProf

Ah oui, ce qui me manquait était le sous-entendu : il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $C_1=\alpha A+\beta B$ donc oui les coordonnées barycentriques de $C_1$ sont $(\alpha,\beta,0)$.

Effectivement gai requin, je dois garder les idées claires !

gai requin

@NicoLeProf : Ce que j’ai caché, c’est où j’ai pris le point à l’infini $(u-\alpha:v-\beta:w)$. Alors ? 😉

NicoLeProf

Sur la droite $(CG_1)$. Je veux dire ça se voit avec ce que j'ai écrit ci-dessus que ce point est un vecteur directeur de cette droite.

Sinon, on n'a qu'à calculer $G \wedge C_1$ pour avoir une équation de cette droite puis

$(GC_1) \wedge \mathcal{L}_{\infty}$ pour retrouver ce point à l'infini.

J'ai vérifié rapidement au brouillon : tout marche !

stfj

Merci, @NicoLeProf. Pour te remercier, voici un théorème que j'ai créé from scratch, ab ovo  : $$\color{blue}{\boxed{1+2\times2+4\times6+6\times30+10\times210+...+(p_{n+1}-1)\times p_n\#+...=-1}}$$Si un jour tu veux comprendre, pourquoi pas ? Je peux t'en faire la démonstration.

pldx1

Bonjour, $\def\ptv{~;~} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\rr{\mathbb{R}} \def\etc{,\:\mathrm{etc}}$

1. msg-2475907. Je demande donc à voir ce que je ne vois pas dans \[ \left(\begin{array}{c} -9\\ -5\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -3\\ -2\\ 1 \end{array}\right)=\left[-3,\,6,\,3\right]\simeq\left[1,\,-2,\,-1\right] \] Ben rien. Désormais, tu as tout vu. Le produit vectoriel est un opérateur dont la signature est \[ (\mathrm{vecteur},\mathrm{vecteur})\mapsto\mathrm{vecteur} \] tandis que "Hannibal traversant les Alpes" est un opérateur polysémique dont les signatures sont \begin{eqnarray*} \left(\mathrm{point},\mathrm{point}\right) & \mapsto & \mathrm{droite}\\ \left(\mathrm{droite},\mathrm{droite}\right) & \mapsto & \mathrm{point} \end{eqnarray*}
2. Et pldx1 est tout content de ses inovations pédagogiques. Evoquer Hannibal et ses éléphants a permis à stfj de percevoir que le produit vectoriel tel que décrit en classe de Première par les profs de Physique n'est pas une bonne introduction du calcul qui permettrait, en classe de Quatrième, de calculer la droite passant par deux points.
3. L'objectif de Dieudonné était "A bas Euclide" . Et il a réussi au delà de toute attente: l'enseignement de la géométrie au niveau undergraduate s'est totalement effondré dans ce pays. Et avec lui l'enseignement des proportions. Reconstruire supposera une sérieuse dose de "A bas Dieudonné, que Dieu le reprenne !" .
4. msg-2475912. Et c'est le même produit vectoriel que dans les champs électromagnétiques. Ben non. la formule \[ \overrightarrow{F}=q\left(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\times\overleftarrow{B}\right) \] est une façon ancestrale d'écrire le tenseur impulsion-énergie \[ \mathcal{F}=q\left(\begin{array}{cccc} 0 & B_{z} & -B_{y} & \dfrac{-i}{c}E_{x}\\ -H_{z} & 0 & H_{x} & \dfrac{-i}{c}E_{y}\\ H_{y} & -H_{x} & 0 & \dfrac{-i}{c}E_{z}\\ \dfrac{i}{c}E_{x} & \dfrac{i}{c}E_{y} & \dfrac{i}{c}E_{z} & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} v_{x}\\ v_{y}\\ v_{z}\\ ic \end{array}\right) \] Autrement dit, $\times\overleftarrow{B}$ code pour une matrice anti-symétrique qu'il n'est pas possible d'utiliser at the undergraduate level, à cause de l'indigence des programmes de mathématiques.
5. Produits en lotus. Il paraît que ce n'est pas dans wikipedia francophone. Ah que voila un excellent argument! Selon Frank au Phone, le fameux Wikipedien, le produit vectoriel est défini comme un vecteur orthogonal aux deux vecteurs donnés et dont la grandeur est égale à l'aire du parallélogramme formé par les deux vecteurs (Elements of Dynamic, Clifford, 1878). Quelle est donc l'aire déterminée par deux vecteurs qui ne sont connus qu'à un facteur près? Et l'orthogonalité dans un espace nafine ? C'est quoi un truc pareil? En fait, j'avais initialement l'intention de parler de la crucifixion des deux points $A,B$. Mais, à la reflexion, il m'a semblé qu'un peu de zenitude pourrait ne pas nuire. Et cela est devenu Hannibal traversant les Alpes.
6. msg-2475921. Qui est Ockham? C'est le copain de Baskerville, le gars qui joue le rôle de Sean Connery dans le "Nom de la Rose".
7. msg-2475941 (Gai_Requin). En fait, la géométrie projective commence vraiment lorsque l'on se met à déplacer "la" droite de l'infini. Dans l'exercice que j'ai pris pour exemple, la figure de gauche utilise $\left[0,1,0\right]$ (la droite en darkgreen) comme droite de l'infini, tandis que la figure de droite utilise la droite à l'infini du dessinateur dans la boîte, i.e. $\left[0,0,1\right]$.
8. msg-2475948 (NicoLeProf). La rigueur pour comprendre d'où viennent ces notions. Ce n'est pas comme cela que les mathématiques vivent. Les notions viennent d'où elles peuvent. Et ensuite on essaie de rigourer. En particulier, la géométrie projective vient --entre autres-- d'une ferme intention de rigourer l'ennemi à grands coups de canon, tout en évitant soi-même d'être abusivement rigouré. Cela a donné Poncelet, Dandelin, et quelques autres.

Cordialement, Pierre.

stfj

Vassillia a dit :

Bonjour, en fait Rescassol, il fait mieux que ça, il utilise ce qu'on appelle les coordonnées homogènes, c'est à dire qu'il n'y a plus unicité des coefficients. 
$G \simeq A+B+C$ le symbole $\simeq$ veut dire que c'est défini à un coefficient près. Si on a besoin d'additionner les points ou les soustraire pour avoir les vecteurs puis les distances alors il faudra normaliser, c'est à dire diviser par le facteur qui va bien pour que la somme des coefficients donne 1.
L'intérêt du bazar, pour moi, c'est que cela simplifie énormément les calculs. Et accessoirement que tous les exercices de géométrie (ou presque) passent avec une sorte de méthode universelle. Le choix de barycentrique ou morley ou ... ne change fondamentalement pas grand chose à l'affaire, les résultats seront plus ou moins simples donc c'est plus ou moins joli, c'est tout.

$\color{red}I.-$Je reprends le fil au tout début, à n°0(page 1/4 du fil, post original et 1ère réponse de Vassillia). J'espère que @Vassillia ne m'en voudra pas de m'assurer qu'elle fait bien dire à @Rescassol ce que celui-ci veut effectivement dire. J'ai des questions idiotes et vaines comme d'habitude. Mais comme j'ai peu de chance d'arriver au point n°2584937, je vais essayer d'arriver au point n°1. Peut-on préciser un peu les choses ? Dans quels objets mathématiques travaillons-nous? Je propose, puisqu'il est question dans le message ci-dessus de Vassillia de coordonnées, de partir d'un plan affine réel , autrement dit d'un triplet $$(\mathcal P, V, v)$$où $\mathcal P$ est un ensemble, $V$ un plan vectoriel réel, et $v:\mathcal P\times \mathcal P\to V$ tel que $$\forall A\in \mathcal P, v_A:\mathcal P\to V, M\mapsto v(A,M)\text{ est une bijection }$$ $$\forall A,B,C \in \mathcal P, v(A, B )+v(B,C)=v(A,C)$$Je veux bien noter $\vec{KL}$ au lieu de $v(K,L)$ dans la suite. Après le rappel lumineux de @Rescassol sur ce qu'est la mesure algébrique $\overline{KL}$ de deux points sur un axe $\Delta:=O+\mathbb R \vec{V}$, où $\vec{V}$ est choisi comme unité, je me sens moins bête à essayer de poser les objets avec lesquels je propose de tenter d'atteindre le point n°1. Bref, est-ce que tout le monde est ok? 
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P.S. : j'espère qu'on voudra bien me croire quand j'affirme que le msg-2475941 qui ne m'est pas destiné, m'intéresse vivement.

Vassillia

Je ne t'en veux pas mais je ne te réponds plus tout simplement car je n'ai aucune envie de m'embrouiller toute seule comme tu le fais. J’espère que tu ne m'en voudras pas non plus tout en espérant que tu finiras par trouver ton bonheur quand même.

Je n'ai absolument pas besoin de vecteurs donc encore moins de plan affine pour justifier que le point $G = (1/3:1/3:1/3) \simeq (1:1:1)$, il est autant attiré par $A$ que par $B$ que par $C$ dans les deux cas donc c'est le même point et basta.

stfj

$\color{red}II.-$Puis, on plonge le plan affine réel $\mathcal P$ comme plan ne passant pas par l'origine d'un espace vectoriel $\widehat{\mathcal P}$ de dimension $3$ à la façon de Frenkel ou de Dieudonné ou d'Audin  ou ... (au choix laissé à la lectrice).

Soit alors, trois éléments $A, B$ et $C$ de $\widehat{\mathcal P}$  formant une bases $(A,B,C)$ de $\widehat{\mathcal P}$. $A,B,C$ sont associés aux éléments $\mathbb R A, \mathbb R B$ et $\mathbb R C$ de l'espace projectif $P(\widehat{\mathcal P})$. 

Bonjour @Rescassol,

Peux-tu revenir sur ta définition de $$[1;0;0]$$associé à $A$, s'il te plaît?

Cordialement, 
Stéphane
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Pour répondre à ta question @pldx1 , bonjour : "Est-ce que les connaissances transmises par Frenkel-Dieudonné-Audin-Doneddu-Voisin-... m'empêchent de te comprendre ? ", c'est $$\text{ Oui, ces connaissances m'empêchent de comprendre ce que tu écris d'une façon qui m'apparaît à tort sûrement désinvolte.}$$
Un repère projectif est composé de quatre éléments : ici, il n'y a que $\mathbb R A ,\mathbb R B$ et $\mathbb R C$.
Cordialement, Stéphane