Cobars et Véto et espace projectif réel

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Réponses

  • Oui c'est assez clair stfj merci !
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @Vassillia : je trouve maladroit ton utilisation du produit mixte $(AB).M=0$. S'il s'agit de faire preuve de pédagogie, j'écrirais comme Rescassol
    $$M\in AB \iff \det(A,B,M)=0$$ beaucoup plus facile à retenir il me semble par nos lycéens du futur... :)
  • stfj
    Modifié (14 Apr)
    @NicoLeProf : eh bien, dans ce cas, voilà ce qu'est un point d'un plan projectif : tout simplement un point d'un plan auquel on a rajouté des points à l'infini, comme l'envisageaient les utilisateurs des mathématiques au 19è siècle. Un plan projectif, c'est juste un plan plan. :) Comme l'écrit Jean Dieudonné , tu identifies une droite vectorielle de $\mathbb R^3$ à un point de $z=1$. Et le tour est joué. Tout le monde pense un plan projectif comme cela. Comme Rescassol l'écrit $$[x;y;z]\approx [\frac xz;\frac yz;1]$$par exemple.
  • Bonsoir,

    Allez, pour le plaisir, un autre exercice faisable simplement en calcul barycentrique (je l'ai sûrement déjà posé à divers endroits):
    Soient un triangle quelconque $ABC$ et $G$ le barycentre de $\{(A,u); (B,v); (C,w)\}$.
    Une droite $\Delta$ passant par $G$ recoupe $(BC)$ en $A_1$, $(CA)$ en $B_1$ et $(AB)$ en $C_1$.
    Montrer que $\dfrac{u}{\overline{GA_1}}+\dfrac{v}{\overline{GB_1}}+\dfrac{w}{\overline{GC_1}}=0$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Vassillia
    Modifié (14 Apr)
    Pas d'accord car je veux que $(AB)$ existe dans leur esprit au même titre que le point $A$ et le point $B$ existent.
    Et donc je veux absolument que $(AB)$ existe indépendamment du point $M$ qui appartient à cette droite. Or une fois que $(AB)$ est calculée, on ne va pas repartir sur le déterminant, ce serait du temps de perdu.
    C'est comme cela qu'ils vont "voir" la dualité, en tout cas, c'est le but de la manœuvre.
    Et ça, c'est niveau collège pour moi, pas lycée même si je n'enseigne pas au collège. J'essaierai sur des enfants proches le moment venu, je suis confiante :)
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (14 Apr)
    @Vassillia : tortionnaire d'enfants ! Tu sais ce que dit Andrew Wiles des enfants ? C'est qu'il aime leur compagnie car il est sûr qu'il ne sera jamais question de mathématiques avec des enfants. @Rescassol : merci pour la majuscule à stfj :) et l'exercice-défi.
  • Il faut en faire un jeu pour les exercices à la maison, cela oblige à faire preuve de créativité, j'adore ça et pour le moment les enfants en question aussi.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (14 Apr)
    Site francophone mais où l'on peut peut-être faire une exception pour Supertramp. Je réfléchis à l'exercice de Rescassol.

    Ce qui est intéressant, c'est les cas-limites , quand la droite est parallèle à un côté. $G=[u;v;w], \overline{GA_1}\vec{GB_1}-\overline{GB_1}\vec{GA_1}=0$

    $A_1B_1C_1$ est une ménélienne.

  • @NicoLeProf : Dans le complété projectif, tu as donc : 
    1) Des points de coordonnées homogènes $(x:y:z)$ tels que $x+y+z\neq 0$ dont la trace dans le plan affine d’équation $x+y+z=1$ a pour coordonnées barycentriques $\big(\frac x{x+y+z},\frac y{x+y+z},\frac z{x+y+z}\big)$.
    Ce sont les points à distance finie.
    2) Les points $(x:y:z)$ tels que $x+y+z=0$ dits points à l’infini.
  • Bonjour,
    1. Le complété projectif d'un plan affine $P$, c'est très simple. Tu prends une orange. Tu en enlève la peau. Et puis cette orange épluchée, tu la complète peau-tiquement pour obtenir une orange conceptuelle.
    2. Lorsque l'on fait de la géométrie, au lieu de discourir sur ce que l'on ferait si l'on en faisait, on finit par arriver à la délicate question de calculer pour de bon l'équation d'une droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée.
    3. Et alors on se rend compte que les fameuses classes d'équivalence pour la relation "sassecoupepas" ... ne servent absolument à rien. On calcule le point à l'infini de la droite par intersection de cette droite et de la droite de l'infini. Autrement dit, un coup de l'opérateur "Hannibal passant les Alpes" . Puis on calcule la droite passant par ce point et par le point donné. Autrement dit, un deuxième coup de l'opérateur "Hannibal passant les Alpes". Et c'est fini.
    4. Slogan: KISS, Keep It Simple, Student !

    Cordialement, Pierre.

    PS: plus de détails sur Hannibal, les Alpes, etr l'orangification conceptuelle des zoranges zordinaires  à venir dans un prochain message.
  • Bonjour,

    Le point à l'infini de la droite $[p, q, r]$ est $[q-r;r-p;p-q]$.
    Un vecteur directeur de cette droite est $[q-r,r-p,p-q]$.
    Ce n'est pas par hasard.

    Cordialement,
    Rescassol

  • @gai requin, je te remercie.
    Je prends un exemple pour voir où j'en suis : dans un plan affine $\mathscr{P}$ muni d'un repère $(O,I,J)$, je considère $A(-2;3)$ et $B(5;-1)$.
    On a alors : $A=-2I+3J$ soit $A(0:-2:3)$? J'ai encore l'impression de raisonner dans l'enveloppe vectorielle plutôt que dans le complété projectif.
    Pour $B=-3O+5I-J$, on a $B(-3:5:-1)$?
    J'ai l'impression que ce sont plutôt des coordonnées barycentriques ce que j'ai écrit ici... (Que veux-tu dire par "la trace dans...", que signifie "trace" ici?)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf : Quelles sont les coordonnées de (la trace de) $C(1:2:3)$ dans ton repère $(O,I,J)$ ?
  • NicoLeProf
    Modifié (15 Apr)
    @gai requin, ce serait $ \left (\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2} \right)$ dans le repère $(O,I,J)$? (Je connais pas le concept de trace dans ce contexte par contre).
    Je connais la trace en algèbre linéaire ou la définition ensembliste que j'ai apprise récemment : https://fr.wikipedia.org/wiki/Trace_(théorie_des_ensembles) . J'ai l'impression que ça ressemble à cette dernière définition...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bonjour $\def\ptv{~;~} \def\linf{\mathcal{L}_{\infty}} \def\cc{\mathbb{C}} \def\zz{\mathbb{Z}} \def\rr{\mathbb{R}}$
    Quelques commentaires au fil de la plume (le traitement de bout en bout d'un exemple significatif est repoussé à un message ultérieur)

    1. Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique.
      • Faut-il traduire par: les maths, c'est nécessairement un tissus de salades sans rapport avec le monde réel ?
    2. Je ne connais pas la géométrie projective. Cela semble très difficile et hors de portée.
      • Les oranges conceptuelles empaillées sont difficiles à digérer. En effet. Raison de plus pour préférer les oranges, les vraies, méfiez-vous des contrefaçons. Slogan: KISS !
    3. Comme l'écrivait Dieudonné, ce que l'on appelait autrefois "géométrie projective (réelle)" consiste à traduire les résultats de l'algèbre linéaire (sur $\mathbb{R}$) .
      • Cette affirmation semble quelque peu aventurée . Une traduction qui aurait précédé son original d'un large siècle, cela semble dur à avaler (comme le reste des oranges conceptuelles). En fait, je ne suis pas convaincu que Dieudonné ait réellement écrit un truc pareil.
    4. A propos des habitants des taupinières.
      • Est-ce cobar de vendre du papier à chiottes dans des rues de la ville, avec des calots sur la tête ?
    5. A propos de la bijection, j'imagine que vous évoquez le sureffectif dans les salles de classes françaises qui fait que plus une chaise n'est libre grâce à nos chers fonctionnaires des rectorats.
      • Faux raisonnement typique. S'il y avait 14,5 élèves par classe, il y aurait 14,5 chaises par salle de classe. Disposer de chaises superfétatoires n'améliorerait pas l'enseignement.
    6. Comme l'enseigne Bourbaki, toujours partir d'exemples avant de généraliser.
      • La propriété caractéristique des pontifes est de bâtir des ponts. Pontifier est seulement un caractère secondaire.
    7. Les droites vectorielles de $E\setminus\{0\}$ j'imagine.
      • Lorsqu'un groupe est privé de son élément neutre, le groupe en est dégroupé. C'est comme cela. Quand on enlève la seule et unique orange d'un compotier, ce n'est plus un compotier avec une orange.
    8. remarque: Les "coordonnées barycentriques" , c'est juste un changement de repère. Il n'y a pas de quoi en tartiner des tartines..
    9. Le corps de base est $\rr$.
      • Ben non. Le corps de base qui va bien est $\cc$ et non $\rr$. Pourquoi ? Raison (1), la meilleure: kakeu. Raison (2) coordonnées inclusives Alice v. Bob. Raison (3): théorème de Bezout.
    10. A propos du cours de Patrick Polo. L'examen d'évaluation final est publié à l'adresse https://webusers.imj-prg.fr/~patrick.polo/4M001/4M001exam-15dec16.pdf. On pourrra constater que le corrigé publié n'utilise aucune des fameuses salades fléchi-fléchantes. On a des coordonnées à un multiplicateur près et roule la galère (si l'on peut dire).
    11. Et, un peu plus loin, stfj vend la mèche:
      C'est tout bête en fait. Oublie la construction théorique qui est faite pour cela, pour être oubliée.
      • c'était bien la peine de nous casser les organes avec les fameuses oranges conceptuelles.
    12. J'obtiens alors à la main $D_{a}=AA_{1}:=A\wedge A_{1}=(1,0,0)\wedge(0,1,u)=(0,-u,1)$ .
      • Et donc stfj a une main qui ne fait pas gaffe à ce qu'elle lit... Ce dont il est question est:$D_{a}=(1:0:0)\wedge(0:1:u)=\left[0,-u,1\right]$ selon la signature \[ \mathrm{\boxed{Hannibal\;traversant\;les\;Alpes}}\left(\mathrm{point},\,\mathrm{point}\right)=\mathrm{droite} \]
    13. Une droite est associée à son hyperplan orthogonal ie le noyau d'une forme linéaire non nulle.
      • Un éléphant est associé à la porcelaine. La question est de recoller les morceaux.
    14. remarque: l'impression générale est que si les causeurs pratiquaient les trucs dont ils causent, on assiterait rapidement à une décantation entre les trucs utiles et les trucs servant seulement à jouer au savant qui saurait.
    15. Ensuite de quoi, il convient de noter que la notion de barycentre est une connerie introduite par des profs de physique en goguette, sous prétexte que les poids sur la Lune ne seraient pas les mêmes que les poids sur la Terre. En voilà bien des salades. La question posée est d'équilibrer une brouette par la méthode de Pascal (le fameux billet de Banque). Et alors, mesurer les poids en kgf ou en pounds change les mesures, mais ne change pas la position du poids ponctuel équivalent. Et sa position serait la même sur une brouette alunie. Bref, le truc dont on cause, ce n'est rien d'autre que le centre de gravité des objets posés dans la brouette. KISS, again and again.
    16. Théorème: dans une brouette fléchi-flécha, le poids total vaut toujours 1. Sonnez trompettes et clairons pour réjouir les compagnons. Preuve: une brouette fléchi-flécha ne saurait dépendre des contingences.
    17. Je m'y suis repris à dix fois, je trouvais toujours...
      • Utiliser Sarrus eût été moins classieux, mais peut être plus efficace. Quant à proposer d'utiliser \begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}0 & 1 & -w\\ -u & 0 & 1\\ 1 & -v & 0 \end{vmatrix} & = & 0\left|\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -v & 0 \end{array}\right|+(-u)\left(-\begin{vmatrix}1 & -w\\ -v & 0 \end{vmatrix}\right)+1\begin{vmatrix}1 & -w\\ 0 & 1 \end{vmatrix}\\ & = & \left(\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ -v \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -w\\ 1\\ 0 \end{array}\right)\right)\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ -u\\ 1 \end{array}\right)\\ & = & \left[v,\,vw,\,1\right]\cdot\left(\begin{array}{c} 0\\ -u\\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*} cela semble amusant après s'être insurgé contre $\det\left(A,B,C\right)=BC\wedge A$.
    18. "Historiquement, c'est l'idée d'immerger ainsi un espace vectoriel dans un espace plus vaste qui a conduit à la notion d'espace projectif" .
      • Quel est donc le Joinville qui a osé raconter une histoire pareille ?
    19. Tu viens de recevoir une leçon de Jean Dieudonné en personne.
      • Est-ce que stfj décrit un certain Stéphane ou bien décrit la Statue Tempaillée de Feu Jean_dieudonné ?
    Cordialement, Pierre.
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    @pldx1 : merci infiniment pour cette relecture et tout le travail que cela suppose. J'en déduis qu'on peut encore sauver le soldat Stéphane :).  Quant au Joinville, Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, p.184-185. Je vais m'efforcer de retrouver le lien que j'ai fourni plus haut. Merci encore.


  • @NicoLeProf : $C(1:2:3)$ est une droite vectorielle de $\widehat{\mathcal E}$.
    Elle intersecte le plan affine $x+y+z=1$ en sa trace qu’on nomme toujours $C=\frac 1 6O+\frac 2 6I+\frac 3 6J$ ce qui donne bien les coordonnées cartésiennes que tu as trouvées ! 👍
  • pldx1
    Modifié (16 Apr)
    (suite) 

    Après avoir (abondamment) critiqué, il reste à passer à l'acte. 
    Je vais donc détailler ma solution pour l'exercice proposé dans l'autre fil.

    Commençons par le commencement.
    1. Une droite est une droite. Un point est un point. Une droite n'est point un point. Un point n'est droite une droite.
    2. Dans le plan, une droite (line) se décrit par trois nombres, que l'on écrit en les séparant par une virgule. (Rappel: le point décimal s'écrit avec un point). Cela forme une ligne (row).
    3. Un point (point) se décrit par trois nombres, que l'on écrit les uns en dessous des autres. Cela forme une colonne (column). On peut aussi utiliser le symbole $:$ (colon) pour écrire x:y:z. Cela s'appelle l''écriture en colon (ne pas utiliser ce joke sans attribution, licence CCA).
    4. Notre ami @stfj a tenu à illustrer les salades à la Frenkel par de nombreuses figures. Excellente idée! Expliquer les points et les droites du rantanplan par les droites et les plans en dimension 3, quelle trouvaille pédagogique! Il ne reste plus qu'à expliquer les droites et les plans en dimension 3 par les plans et les hyperplans en dimension 4. Et ainsi de suite par récurrence transfinie. (par suite d'une réduction des horaires, on se limitera au passage de la dimension $0.5$ à la dimension $0.7$).
    A titre de comparaison, voyons ce que donne une démarche raisonnée... et qui pourrait être présentée à des zapprenants dès leur plus jeune âge. 
    1. On est supposé disposer d'une surface plane. C'est pour cela que l'on fait des devoirs sur table plutôt que des devoirs sur les genoux. La premiè_re chose à faire est de tracer une droite, que l'on appelle $\linf$.
      >>> geo::: infini=xAxis 
    2. On place les points $A\left(-9;-5\right)$, $B\left(-3;-2\right)$, C$\left(-3;-10\right)$. Edit: $\linf$
    3. On trace la droite $AB$. Son équation est \[ \left(\begin{array}{c} -9\\ -5\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -3\\ -2\\ 1 \end{array}\right)=\left[-3,\,6,\,3\right]\simeq\left[1,\,-2,\,-1\right] \] L'opérateur $\wedge$ s'appelle "Hannibal traversant les Alpes" . Et cela consiste à faire le produit en lotus des coordonnées des colonnes. Et à les placer au bon endroit, c'est à dire en ligne.
    4. Cela n'a aucun rapport avec le "produit vectoriel" qui prend deux vecteurs et retourne un vecteur situé dans le même espace. Cette opération-là sert à écrire la formule \[ \overrightarrow{F}=q\left(\overrightarrow{E}+\overrightarrow{v}\wedge\overleftarrow{B}\right) \] donnant la force agissant sur une particule élémentaire placée dans le champs électro-magnétique $\left(\overrightarrow{E},\,\overleftarrow{B}\right)$. L'objectif de la géométrie projective n'est pas d'électrocuter des particules innocentes, mais de permettre à des élèves de calculer des points et des droites... dès la classe de Quatrième. Et cela au lieu d'attendre les cours de maths délivrés par les profs de physique en classe de Première.
    5. On remarque que la commande
      >>> geo::: AB=line(A,B)
      fait apparaitre $AB:-x+2y=-1$ dans la fenêtre Algebra. Qui osera prétendre en être surpris ?
    6. On place le point $\delta_{AB}=AB\cap\linf$. Cela fait apparaitre $\delta_{AB}=(1,0)$ dans la fenêtre Algebra. On peut contrôler ce résultat en utilisant \[ \left[1,\,-2,\,-1\right]\wedge\left[0,\,1,\,0\right]\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \] On remarquera que l'opérateur "Hannibal traversant les Alpes" est programmé pour être polysémique. Appliqué à deux lignes, cet opérateur fournit la colonne formée par les produits en lotus des coordonnées des deux lignes.
    7. Sur le même modèle, on obtient \begin{eqnarray*} AC & \doteq & \left(\begin{array}{c} -9\\ -5\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -3\\ -10\\ 1 \end{array}\right)\simeq\left[5,\,6,\,75\right]\\ \delta_{AC} & \doteq & \left[5,\,6,\,75\right]\wedge\left[0,\,1,\,0\right]=\left(\begin{array}{c} -75\\ 0\\ 5 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} -15\\ 0\\ 1 \end{array}\right) \end{eqnarray*}
    8. Et il reste à tracer les droites $\left(\delta_{AC},B\right)$ et $\left(\delta_{AB},C\right)$, leur intersection déterminant le point $D$. Il vient: \begin{eqnarray*} D & \doteq & \left(\delta_{AC}\wedge B\right)\wedge\left(\delta_{AB}\wedge C\right)\\ & \simeq & \left[2,\,12,\,30\right]\wedge\left[10,\,-4,\,-10\right]=\left(\begin{array}{c} 0\\ 320\\ -128 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 5\\ -2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}
    9. Évidemment, l'élève de Quatrième finit par passer en Troisième et apprendre qu'un parallélogramme se caractérise par $D=B+C-A$. Cela donne \begin{eqnarray*} D & \simeq & \dfrac{B}{\linf\cdot B}+\dfrac{C}{\linf\cdot C}-\dfrac{A}{\linf\cdot A}\\ & \simeq & \left(\begin{array}{c} 3/2\\ 1\\ -1/2 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 3/10\\ 1\\ -1/10 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} 9/5\\ 1\\ -1/5 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ -2/5 \end{array}\right)\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ -5\\ 2 \end{array}\right) \end{eqnarray*}
    10. Et maintenant, une question. Est-ce que les salades fléchi-flécha à la sauce Frenkel vous aident à comprendre le § précédent, ou bien vous aident à ne pas le comprendre ?
    11. Avançons. On choisit un point $E$ sur $AD$ et un point $G$ sur $AB$. Cela s'écrit $E=x\,A+(1-x)D$ et $G=y\,A+(1-y)B.$ Avec $x=1/3$ et $y=5/9$, cela donne (le vérifier) \[ E\simeq\left(\begin{array}{c} -9/5\\ -3\\ 1 \end{array}\right)\ptv G\simeq\left(\begin{array}{c} 5\\ -3\\ 1 \end{array}\right) \]
    12. On calcule le point $H=DG\cap EB$. On obtient: \[ H\simeq\left(\begin{array}{c} 3x\left(y+5\right)\\ -10xy+10x+10y\\ 7xy-5x-4y \end{array}\right)\mapsto\left(\begin{array}{c} -15\\ -19\\ 7 \end{array}\right)\approx\left(\begin{array}{c} -2.1429\\ -2.7143\\ 1.0 \end{array}\right) \] On vérifie sur la figure.
    13. Et maintenant, on arrête de rigoler. On a \begin{align*} \mathrm{hypothesis} & = & \det\left(E\wedge B,\,D\wedge F,\,\linf\right) & = & 6zx-5x-5z+5\\ \mathrm{conclusion} & = & \det\left(G\wedge F,\,H\wedge C,\,\linf\right) & = & 240y\left(6zx-5x-5z+5\right) \end{align*} Comme l'hypothèse divise la conclusion, la propriété est prouvée.
    14. Il ne reste plus qu'à passer de la figure de gauche (où l'on voit bien que le peintre a pris des cours de géométrie projective) à la figure de droite (où l'on voit bien que les parallèles sont parallèles). Cela se fait à l'aide de la matrice \[ \dfrac{25}{288}\left[\begin{array}{ccc} 10 & 72 & 270\\ 55 & -54 & -15\\ 0 & -12 & 0 \end{array}\right] \] et de la commande Applymatrix de Geogebra.
    15. Ne pas hésiter à vérifier les valeurs de $x,y$ sur la nouvelle figure.
    16. En effet, toutes les propriétés utilisées se conservent par collinéation. Ce qui justifie, bien entendu, le choix de $A=1:0:0$, $B=0:1:0$, $C=0:0:1$ fait par Rescassol.

    Cordialement, Pierre.

    PS: en pièce jointe, une feuille geogebra.
  • Oh, trop cool ! C'est exactement ce que j'ai écrit sur mon cahier : on a $C=\frac 1 6O+\frac 2 6I+\frac 3 6J$ donc $\overrightarrow{OC}=\frac 2 6 \overrightarrow{OI}+\frac 3 6 \overrightarrow{OJ}$. Et c'est comme ça que j'ai trouvé les coordonnées de $C$ dans mon repère affine !!!
    Omg, je crois que j'ai saisi !
    $C(1:2:3)$ est une droite vectorielle de $\widehat{\mathcal E}$, ses coordonnées sont les coordonnées  d'un vecteur $v$ non nul dans la base $(f_O,f_I,f_J)$ de $\widehat{\mathcal E}$. Ainsi, on peut remarquer par exemple que $(1:2:3)$ et $(2:4:6)$ représentent le même point de $\mathbb{P}(\widehat{\mathcal E})$ (ou encore la même droite vectorielle de $\widehat{\mathcal E}$).
    La trace de $C(1:2:3)$ dans le plan affine $x+y+z=1$ est l'intersection de cette droite vectorielle de $\widehat{\mathcal E}$ avec le plan affine $x+y+z=1$.
    Cette trace a donc pour coordonnées barycentriques $\left (\dfrac{1}{6} ; \dfrac{2}{6} ; \dfrac{3}{6} \right)$ soit les coordonnées cartésiennes que j'ai trouvées avant dans mon repère $(O,I,J)$ ! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • @NicoLeProf : C’est pas si mal de voir le projectivisé d’un espace vectoriel comme l’ensemble de ses droites vectorielles, surtout en géométrie hein 😉
  • Oui et c'est très intéressant : merci beaucoup pour tout ce que tu m'apportes !!! :)
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Du coup, THE question, au collège, est-ce que ça te paraitrait jouable de leur expliquer comment calculer des points et des droites @NicoLeProf ou pas ?
    Pas en barycentrique bien sûr et sans parler de vecteurs non plus.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    @pldx1 : je m'étais juré de ne pas perdre de temps sur la critique des affirmations et des conventions des premiers points pour arriver vite aux choses intéressantes. Mais en lisant le 3), je saute de mon banc-coffre breton de 1925 ! Comment un napprenant acceptera-t-il de donner du sens à son calcul $$(-9,-5,1)\wedge (-3,-2,1)=(-3,6,3)$$ qui semble sortir du chapeau du magicien(désolé, je n'applique pas encore les conventions). Moi, j'imagine un plan plongé dans $\mathbb R^3$ d'origine $0$ qui ne fait pas partie du plan. Que la droite $AB$, ie conformément à ce que j'ai appris, soit associée au plan $0AB$ (oui, je sais, c'est un peu plus compliqué que cela) soit alors associé à $A\times B$, normal si j'ose dire : c'est un vecteur orthogonal à ce plan. Qu'ensuite, on utilise les coordonnées homogènes encore normal et je comprends ce que je fais en obtenant $$[-1,2,1]$$

    Mais un élève lambda, à part faire le perroquet, je ne vois pas encore. Nul doute que tu parviendras à me convaincre car tu en sais évidemment infiniment plus que moi sur le sujet mais tout de même. Voilà, je suis remonté sur mon banc-coffre breton et suis prêt à vous écouter. 

    Cordialement,
    Stéphane
    _______________________
    P.S. Je ne vois pas la droite $\mathcal L_{\infty}$
  • Non pas du tout Vassillia, pas dans mon collège en tout cas vu le niveau inquiétant des élèves... :D:#:'(
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    Je comprends @NicoLeProf, il faut quand même que les bases calculatoires soit là sinon...
    @stfj Il n'y a pas besoin de le voir, perso, je ne le vois pas et je ne cherche surtout pas à le voir en dimension 3 par contre j'ai besoin de "lire" les calculs et de "voir" leur traduction en géométrie plane.
    C'est le cas parceque l'équation de droite qui va avec $-3x+6y+3=0$ est la même que $-x+2y+1=0$ et elle est vérifiée par le point $(-9,-5)$ et le point $(-3,-2)$. Or des droites sur lesquelles on trouve 2 points distincts, il n'y en a pas beaucoup et c'est plutôt facilement admis des élèves.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    En termes plus polissés, j'ai découvert ce type de calculs il y a deux jours seulement. On peut tout de même me pardonner leur visiblement mauvaise interprétation. Ou alors, qui n'a jamais fait d'erreur en mathématique me jette la première pierre. Par contre, je sais que $$2+2=4$$ bref mes connaissances ne sont pas nulles et je peux apprendre. Il y forcément une théorie mathématique derrière laquelle se cachent ces conventions qui n'en sont visiblement pas seulement.

    Enfin, dans le plan, on peut tout voir. C'est l'intérêt du plan, non? Je demande donc à voir ce que je ne vois pas dans $$\left(\begin{array}{c} -9\\ -5\\ 1 \end{array}\right)\wedge\left(\begin{array}{c} -3\\ -2\\ 1 \end{array}\right)=\left[-3,\,6,\,3\right]\simeq\left[1,\,-2,\,-1\right]$$

    En tout cas d'autre qu'un produit vectoriel que je pensais voir très bien.

    "L'opérateur ∧∧ s'appelle "Hannibal traversant les Alpes" . Et cela consiste à faire le produit en lotus des coordonnées des colonnes. Et à les placer au bon endroit, c'est à dire en ligne." Cela veut dire quoi en langage mathématique ? Parlons-nous la même langue, oui ou non ?
    _____________________________________________
    Frenkel affirme p.15 de Géométrie pour l'élève professeur qu'un "espace affine n'est rien d'autre qu'un hyperplan d'un espace vectoriel ne passant pas par l'origine." Dieudonné, p.185 d' Algèbre linéaire et géométrie élémentaire qu ' "on "immerge" un espace dans un espace plus vaste. Ce qui a conduit à la notion d'espace projectif". Idem chez Audin, p. 183 de Géométrie.
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    C'est le style de pldx1 ça, 
    Il faut traduire par $\wedge$ est un opérateur qui prend en entrée 2 colonnes et donne une ligne ou prend en entrée 2 lignes et donne une colonne. De plus, il vérifie les mêmes règles de calcul qu'un produit vectoriel.
    Pourquoi c'est valable ?
    Quand tu pars de 2 points $A$ et $B$ et bien tu constates que $(A \wedge B )\cdot M$ donne l'équation de droite de $(AB)$ donc c'est gagné, $A \wedge B$ est la droite $(AB)$. Voilà une démonstration !
    Pas besoin de toute la théorie derrière, c'est justement cela l’intérêt et c'est pour cela que c'est faisable très tôt. Si ta théorie paralyse ta pratique, c'est que la théorie n'est pas efficace (ou en tout cas mal vendue).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    @Vassillia : en plongeant un plan affine $\mathcal P$ dans l'espace euclidien $E$ à trois dimensions d'origine $0$, si $A, B\in \mathcal P$,  $A\times B$, le produit vectoriel de $A$ et de $B$ est tel que $0AB=\{M\in E: (A\times B ).M=det(A,B,M)=0\}$. Tout fonctionne bien comme cela. Si on ne me donne pas d'autre explication, cela correspondait à tous les calculs que j'ai fait suivant les indications de @Rescassol. Et c'est le même produit vectoriel que dans les champs électromagnétiques.
  • NicoLeProf
    Modifié (15 Apr)
    J'imagine que c'est fait exprès : les deux points que vous considérez $\cancel{A(-9,-5) \text{ et } B(-3,-2)}$ sont des points à l'infini car je trouve les coordonnées homogènes suivantes : $\cancel{A(14:-9:-5) \text{ et } B(5:-3:-2)}$.
    Qu'est ce que cela implique? Peut-être que cela se visualise?
    Edit : erreurs de calculs...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    5.- J'ignorais que geogebra fît des "produits en lotus." geogebra utilise le produit vectoriel, jusqu'à preuve du contraire.
  • "produit en lotus", c'est pas dans wikipedia francophone. 
  • @NicoLeProf Les coordonnées homogènes dont on parle, cela consiste juste à prendre les coordonnées cartésiennes et à rajouter une troisième coordonnée = 1 pour passer dans le "plan projectif" mais je n'ai peut-être pas compris ta question.
    @stfj Tout le monde est d'accord mais je te dis qu'il n'y a absolument pas besoin de parler de plan affine dans un espace euclidien surtout pour l'enseigner au collège ! On peut le justifier à moindre cout et donc un coup de rasoir d'Ockham ne peut pas faire de mal...
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    5'.- Eh bien moi, je suis surpris. Il y a un calcul de pgcd ? Et si les coeffients des droites $ax+by=c$ ne sont pas entiers? 
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    6'.- ok
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    Cela devient vraiment n'importe quoi, ce n'est pas surprenant car c'est ce que nous avait donné l'opérateur $\wedge$ et car $A$ et $B$ vérifient l'équation de droite, ça fait plusieurs fois que je te le dis !
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Qui est Ockham ? T'inquiètes. A priori, les numéros, c'était fait pour y faire référence et critiquer. Habitude de matérialiste. La critique n'est jamais malvenue. Et ensuite, tu verras probablement la critique de la critique par @pldx1. Si nous sommes matérialistes, c'est pour éviter de réfléchir. :)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    6"- $$\boxed{\mathcal L_{\infty}:=\left[0,\,1,\,0\right]}$$
    Enfin une définition si je ne me suis pas trompé. Ensuite me reste à traduire tous ces signes conventionnels.
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    Le rasoir d'Ockham est un principe de philosophie qui consiste à ne pas faire compliqué quand on peut faire simple et donc à virer tout ce qui ne sert à rien (je résume trop évidemment mais renseigne toi si cela t’intéresse).
    Bon, ben je te laisse voir avec lui alors, je pense que je ne peux rien t'apporter de toute façon, tu me sembles plus chercher à avoir raison que chercher à comprendre.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    Pas du tout.  Je ne cherche pas à avoir raison si on m'explique que j'ai tort. Mais certainement pas avec des lotus, c'est tout. Mon avis est que la théorie sous-jacente à la technique de @pldx1 est la même que celle qu'il prétend dénigrer, celle de Frenkel par exemple, et qu'il le sait très bien. On peut dire ce qu'on veut du style overpedantic de Frenkel.  Mais je mets au défi de trouver dans ses écrits une chose fausse mathématiquement. Par contre, c'est sûr, on n'y trouvera pas de lotus.
  • 2".- "Dans le plan, une droite se décrit par trois nombres, que l'on écrit en les séparant par une virgule. (Rappel: le point décimal s'écrit avec un point). Cela forme une ligne (row)."

  • NicoLeProf
    Modifié (15 Apr)
    AH je me suis trompé dans mes calculs, c'est pour ça que je trouvais des points à l'infini !!! :D
    Non, tout va bien, ou presque, dans un plan affine $\mathscr{P}$ muni d'un repère $(O,I,J)$, si je considère $A(-9,-5)$ et $B(-3,-2)$ alors je peux écrire : $\overrightarrow{OA}=-9\overrightarrow{OI}-5\overrightarrow{OJ}$ soit $A=15O-9I-5J$ et de même, $B=6O-3I-2J$.
    Ainsi, dans le complété projectif $\mathbb{P}(\overrightarrow{\mathscr{P}})$, le point $A$ a pour coordonnées homogènes $(15:-9:-5)$ et $B$ a pour coordonnées homogènes $(6:-3:-2)$ (qui sont aussi les coordonnées barycentriques de $A$ et $B$).
    Il reste un problème : je ne comprends pas votre ajout de troisième coordonnée égale à $1$, cela ne semble pas cohérent avec les explications fournies par @gai requin ci-dessus...
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    $$\mathcal L_{\infty}:=\left[0,\,1,\,0\right]=\{M=(x,y,z)\in \mathbb R^3:y=0\}$$

    Donc sur le dessin, $\mathcal L_{\infty}$ serait la droite en vert foncé (\darkgreen).

    >>> geo::: infini=xAxis

    Cohérent. 
  • 1'.- Une droite est la trace sur $z=1$ d'un plan : c'est donc une droite. Un point est la trace d'une droite : c'est donc un point. Une droite n'est donc point un point. Un point n'est bock de bière une droite.
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    Ah d'accord j'ai compris ce que tu fais, tu calcules les coordonnées barycentriques dans le triangle $O \simeq (1:0:0)$ $I \simeq (0:1:0)$ et $J \simeq (0:0:1)$ et tu as raison pour les points $A$ et $B$ mais nous on ne parle pas de coordonnées barycentriques.
    Je t'invite à lire https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/727099/geometrie-projective-pour-agregatifs en plus je sais que tu as l'agrégation ou bien à lire (relire) la proposition de pldx1 sur ce fil.
    Tu verras qu'on peut faire de la géométrie projective, toujours avec des coordonnées homogènes, mais dans d'autres repères et c'est assez drôle à lire. Pour le coup, il vaut mieux que tu commences par ça que par les coniques (sinon c'est un peu dur comme départ).
    Du coup, tu as du me prendre pour un folle, ce qu'on peut faire en cartésien en ajoutant une troisième coordonnée = 1 te paraitra peut-être plus tentable pour le collège, c'est clair que les barycentriques, on ne peut pas y aller avant minimum le lycée.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • @NicoLeProf : Cette notion de complété projectif est assez ésotérique 🤦‍♂️
    Nos amis travaillent dans $\mathbb P(\R^3)$ et se rassurent 😉 dans la carte affine $z=1$.
    Quels sont alors les points à l’infini ?
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    2'.- Dans le plan projectif $P(\mathbb R^3)$, une droite (ie la trace d'un plan vectoriel autrement dit le noyau d'une forme lineaire $f:\mathbb R^3\to \mathbb R, (x,y,z)\mapsto ax+by+cz$ non nulle) se décrit par trois nombres $(a,b,c)\neq(0,0,0)$, que l'on écrit en les séparant par une virgule [a,b,c] puisque comme l'enseigne Jean par exemple la forme linéaire non nulle n'est définie qu'à un facteur $\lambda$ multiplicatif près(son fameux 3.3.6). (Rappel: le point décimal s'écrit avec un point). Là j'ai pas compris l'énigme. Cela forme une ligne 

    ça, c'est ce que m'a expliqué @Rescassol hier : $$\begin{bmatrix}a, & b, & c\end{bmatrix}:=\{\lambda(a,b,c):\lambda\in \mathbb R^*\}$$ (commande row en $LaTeX$).
  • Vassillia
    Modifié (15 Apr)
    Pas que, la plupart du temps, on est dans $\mathbb P(\C^3)$ mais pas pour le collège quand même, nous ne sommes pas des monstres...
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • @Vassilia, reine du royaume complexifié de Plücker ? 👏
  • stfj
    Modifié (15 Apr)
    Comment dit-on, déjà, des potaches? C'est cela ? Toujours à l'école à créer des exercices à trous pour les marmots? Nul n'entre ici s'il n'est géomètre. Et après, j'aurais le droit qu'on s'intéresse à mon $$A:=\prod_{n=1}^{+\infty}\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}?$$ :). Sinon, je continuerai à demander à Terence. L'inconvénient, c'est qu'il baragouine pas le français.
  • NicoLeProf
    Modifié (15 Apr)
    J'ai réussi à faire ceci sur GeoGebra.
    C'est vrai que cette histoire de troisième coordonnée arbitraire n'est pas si grave. Sur ma figure, histoire de voir quelque chose, j'ai ajouté un $6$ comme troisième coordonnée. Pour autant, nous ne sommes pas encore dans le plan projectif en faisant cela? Cela ne semble pas cohérent avec ce que j'ai trouvé.
    J'ai créé un curseur $a$ ainsi que deux points $A_2(15a : -9a : -5a)$ (que l'on ne voit pas ici) et $B_2(6a : -3a : -2a)$ et j'ai animé le curseur.
    Je ne vois pas comment importer un fichier .gif sur le forum, il est beau le mien ! xd :D
    On constate avec plaisir que $A_2$ se promène sur la droite $(OA_1)$ qui est en fait le point $A$ dans le complété projectif $\mathbb{P}(\widehat{\overrightarrow{\mathscr{P}}})$ (une droite vectorielle de $\widehat{\overrightarrow{\mathscr{P}}}$).
    J'ai l'impression de mieux visualiser les choses.
    Un point à l'infini serait $C_1(15:-9:-6)$ par exemple... J'ai vérifié avec GeoGebra, cela me semble cohérent.
    P.S : j'ai beaucoup de considérations pour ce que fait pldx1 et je l'en remercie. Je vais essayer de lire ce que tu m'as conseillé Vassillia. Cependant, je ne comprends pas les métaphores utilisées par pldx1, elles sont assez troublantes, ce que je recherche avant tout est de la rigueur pour comprendre d'où viennent ces notions. :D
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
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