Cobars et Véto et espace projectif réel

stfj

Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$ 

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
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Recherche: Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
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Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1:
Soit $ABC$ un "vrai" triangle autrement dit $(A,B,C)$ base de $\widehat{P}$
Soit $b=\frac12(A+C), a=\frac12(B+C), c=\frac12(A+B)$ 

$$G:=\frac13(A+B+C)=\frac13(2b+B)=\frac13(2a+A)=\frac13(2c+C)\in aA \cap bB \cap cC $$

Exemple 2: l'utilisation des cobars par @Rescassol dans un post récent m'a beaucoup intéressé et je voudrais aller (un peu!) au-delà.

Exemple 3: il y a un an, j'avais commencé d'étudier Formes quadratiques et géométrie chez Calvage et Mounet où la catégorie Véto est définie, et de voir des applications aux coniques, par exemple un exercice (12.2) que j'avais l'impression d'avoir résolu grâce aux indications. Mais avant de reprendre éventuellement cette lecture, je recherche ici des exemples plus simples.

Exemple 4: j'ai des questions qui vont paraître évidentes sur ce site, comme : si on se restreint à une droite affine au lieu de considérer un plan affine, qu'obtient-on pour les cobars ? Comment définir l'intérieur d'un triangle avec les cobars ? De façon générale, l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points dans un espace affine de dimension finie ? Que donne la démonstration de théorèmes comme celle du théorème de Ménéalus ?...

Cordialement,
Stéphane

Vassillia

Bonjour, en fait Rescassol, il fait mieux que ça, il utilise ce qu'on appelle les coordonnées homogènes, c'est à dire qu'il n'y a plus unicité des coefficients. 
$G \simeq A+B+C$ le symbole $\simeq$ veut dire que c'est défini à un coefficient près. Si on a besoin d'additionner les points ou les soustraire pour avoir les vecteurs puis les distances alors il faudra normaliser, c'est à dire diviser par le facteur qui va bien pour que la somme des coefficients donne 1.
L'intérêt du bazar, pour moi, c'est que cela simplifie énormément les calculs. Et accessoirement que tous les exercices de géométrie (ou presque) passent avec une sorte de méthode universelle. Le choix de barycentrique ou morley ou ... ne change fondamentalement pas grand chose à l'affaire, les résultats seront plus ou moins simples donc c'est plus ou moins joli, c'est tout.

stfj

@Vassillia : tu peux montrer un exemple simple comme l'exemple 1 au noob que je suis ?

Vassillia

Là comme ça, je n'ai pas d'idée spécifique mais je peux te proposer ce que j'avais fait pour cailloux (et qui n'est qu'une traduction de pldx1). J'avais plus ou moins réussi à le convaincre de l’intérêt, peut-être que cela te conviendra, en plus, on finit par arriver sur une conique

https://les-mathematiques.net/vanilla/discussion/comment/2454646/#Comment_2454646

Mais sinon, tu peux lire les réponses de Rescassol, Bouzar ou pldx1 de n'importe quel fil de géométrie et tu auras des exemples. A toi de poser des questions ensuite si tu ne comprends pas certaines étapes.

stfj

@Vassillia : la démonstration de Ceva ne doit pas être bien difficile dans ce cadre, n'est-ce pas ? Au moins dans des cas particuliers.

Vassillia

En effet d'ailleurs essaye, pourquoi pas ? A ce stade, je suis sûre que tu peux y arriver même si les premières fois, on cafouille forcément un peu, il y a un temps d'appropriation incompréhensible qui dépend de chacun et chacune

Pour concourantes ou parallèles, un coup de déterminant nul à partir des droites obtenues en coordonnées barycentriques fait l'affaire.

JLT

Le titre du fil m'est incompréhensible. Est-ce que "cobar" signifie "coordonnées barycentriques" ? Et qu'est-ce que c'est que "Véto" ? Aucun rapport avec les vétérinaires j'imagine.

Vassillia

Moi non plus, je n'ai rien compris au titre mais pour encourager stfj à essayer, je propose une démonstration de Ménélaüs en barycentrique, je n'avais pas vu qu'elle était demandée initialement.

Soient $ABC$ un triangle avec $A'$ sur $(BC)$, $B'$ sur $(CA)$ et $C'$ sur $(AB)$
On se place en coordonnées barycentriques dans le triangle $ABC$ c'est-à-dire :

$A\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ ; $B\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$ et $C\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$

On a l'égalité vectorielle suivante $\overline{A'C}.\overrightarrow{A'B}-\overline{A'B}.\overrightarrow{A'C}=\vec{0}$ donc on peut en déduire les coordonnées barycentriques :

$A'\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ \overline{A'C}\\ -\overline{A'B} \end{array}\right)$ de même $B'\simeq\left(\begin{array}{c} \overline{B'C}\\ 0\\ -\overline{B'A} \end{array}\right)$ et $C'\simeq\left(\begin{array}{c} \overline{C'B}\\ -\overline{C'A}\\ 0 \end{array}\right)$

Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés ssi $\det(A',B',C')=0$ c'est-à-dire $\left|\begin{array}{ccc} 0 & \overline{B'C}  & \overline{C'B}\\ \overline{A'C} & 0 & -\overline{C'A}\\ -\overline{A'B} & -\overline{B'A} & 0 \end{array}\right| = -\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times \overline{C'B}+\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}=0 $

ou encore autrement dit $\dfrac{\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}}{\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times \overline{C'B}}=1$.

stfj

[véto au lieu de **véto**]

@JLT : c'est une référence au livre Formes quadratiques et géométrie d'Alain Debreil, Jean-Denis Eiden, Rached Mneimé et Tuong-Huy Nguyen, chez Calvage et Mounet. Les auteurs y introduisent la catégorie Véto p. 190. Quant à "cobars", les mêmes auteurs rappellent que dans le jargon des taupins des années ... , "cobars" et "cocars" désignaient coordonnées barycentriques et coordonnées cartésiennes(p.203)

stfj

@Vassillia : jolie ta démonstration qui trivialise la démonstration de Céva(je vais essayer de la refaire sans (trop ) regarder) au point de la rendre facilement accessible à un élève moyen de Terminale. Merci .

JLT

stfj a dit :

Les auteurs y introduisent la catégorie **Véto** p. 190.

Ah donc c'est Véto (en gras), et les objets de la catégorie sont les couples $(V,\tau)$ où $\tau$ est une forme linéaire non nulle sur $V$.

stfj

@Vassillia : il y a un problème dans ta démonstration  : les points $A',B',C'$ ne sont certainement pas "alignés".

stfj

@JLT: c'est ça . Par ailleurs, il y a un problème dans la démonstration que me fournit @Vassillia de Céva, que je viens de lui signaler plus haut.

JLT

Je ne comprends pas de quoi tu parles. Vassilia a fourni une démonstration de Menelaüs et non de Ceva. Et par ailleurs tu n'as pas expliqué clairement quel problème tu vois dans sa démonstration.

stfj

@JLT : $A', B'$ et $C' $ ne sont pas alignés, comme @Vassillia l'écrit: 

"Les points A′, B′ et C′ sont alignés ssi det(A′,B′,C′)=0..."

Et il est fort possible que je confonde Céva et Ménélaüs mais là n'est pas le problème dans la démonstration.

JLT

Toujours pas compris. Le théorème de Menelaüs correspond bien à cet énoncé :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_Ménélaüs

et je ne comprends toujours pas ce qui te pose problème.

stfj

AA', BB' et CC' sont peut-être concourantes mais A', B' et C' choisis sur BC, AC et AB ne sont pas alignés.

JLT

Encore une fois : Vassilia a fourni une démonstration de Ménélaüs et non de Ceva.

stfj

@JLT : @Vassillia n'a pas fourni une "démonstration" de Ménélaüs (ok pour Ménélaüs) car elle écrit que"A', B' et C' sont alignés", ce qui n'a aucun sens .

Vassillia

Mes points A', B' et C' correspondent aux points D, E et F de wikipédia. J'ai donné Ménélaüs car c'était demandé dans le premier message et surtout pour t'inviter à trouver toi-même Ceva. C'est peut-être le changement de nom qui te perturbe.

stfj

Et le calcul de déterminant de @Vassillia est faux (j'espère qu'elle ne m'en voudra pas d'insister mais comme elle ne répond pas...)

stfj

@Vassillia : tu vois les problèmes dans ta démo ?

Vassillia

Ben non en fait... 
C'est le but de démontrer que les points sont alignés et c'est bien équivalent à un déterminant nul.

stfj

Qu'est-ce que A', @Vassillia ?

NicoLeProf

@stfj, je ne comprends pas ce qui te gêne : la preuve de Vassillia est parfaitement claire, c'est limpide : un grand merci à elle d'ailleurs !

Relis bien ce qu'elle a écrit, ce n'est pas "$A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés", c'est : "$A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés ssi $\det(A',B',C')=0$". Ce qui est très différent de ce que tu écris ci-dessus et ce qui permet de démontrer le théorème de Ménélaüs (au lieu de prendre $D$, $E$, $F$ comme sur Wikipédia, elle a pris $A'$, $B'$, $C'$ comme notations).  

Je t'invite, une fois que tu auras compris la preuve de Vassillia, à démontrer le théorème de Céva en barycentriques, c'est assez similaire.

Vassillia

Un point sur la droite (BC) comme je l'ai écrit

stfj

Qu'est-ce que $A'$ dans la démonstration de @Vassillia , @NicoLeProf?

stfj

@Vassillia : qu'est-ce que $B'$ et $C'$ dans ta démonstration ?

NicoLeProf

Mais... stfj, Vassillia a défini tous les points utilisés, relis bien sa preuve à tête reposée.

Les points $A'$, $B'$ et $C'$ correspondent respectivement aux points $D$, $E$ et $F$ sur le lien Wikipédia fourni par JLT ci-dessus. $A'$ est un point de $(BC)$ différent de $B$ et $C$. De même, $B'$ est un point de la droite $(AC)$ différent de $A$ et $C$ et $C'$ est un point de $(AB)$ différent de $A$ et $B$.

Tu peux refaire la figure de Wikipédia à main levée en utilisant les notations de Vassillia.

Si tu as d'autres questions, n'hésite pas, je me ferai une joie d'y répondre !

Vassillia

Des points sur les droites (CA) et (AB) comme je l'ai aussi écrit aussi. Je ne vois pas où tu veux en venir.
Édit : je te laisse la main NicoLeProf, ça m'arrange car je dois partir mais courage stfj, je suis sûre que tu vas comprendre.

stfj

ok, @NicoLeProf et @Vassillia, comme l'écrivait @JLT , je confonds avec Céva. Reste un problème : le calcul de déterminant est faux.

NicoLeProf

Non le déterminant n'est pas faux, prends un brouillon et développe par rapport à la première colonne.

stfj

C'est ce que j'ai fait : j'obtiens $$-A'C.B'A.C'B+A'B.B'C.C'B=0$$au lieu de $$-\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times\overline{C'B}+\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}=0$$                        

NicoLeProf

Non, $\overline{C'A}$ à la place de $C'B$ à la fin et n'oublie pas les distances algébriques.

stfj

J'ai eu la flemme de noter les distances algébriques [tu me prends pour un noob ou quoi ?]. Tu as raison, @NicoLeProf, c'est une déformation de (vieux) prof, je vois des erreurs partout. J'ai enfin compris le coup de la ménélaïenne. Vieux motard que j'aimais . Merci pour votre patience à tous les trois, @NicoLeProf,  @Vassillia et @JLT.

D'autres exemples aussi simples et intéressants des coordonnées barycentriques ? $36$ ans après avoir été terrorisé par Ménélaüs, le voir trivialisé ainsi m'amuse beaucoup et je suis preneur d'autres exemples.

NicoLeProf

Heureux de lire que tu as compris.

Concernant les distances algébriques, mon avis est qu'il ne faut pas avoir la flemme car après, on écrit des choses fausses ou dénuées de sens (surtout lorsque l'on ne semble pas à l'aise avec un thème ou des notions particulières).

Quoi qu'il en soit, je serai très heureux de travailler les coordonnées barycentriques dans tes futures discussions !

stfj

@NicoLeProf : si tu juges bien, tu verras que je suis comme un poisson dans l'eau avec ces notions. Et qu'il est risqué de prétendre le contraire au risque de paraître soi-même peu à l'aise avec les notions en question. C'est juste pour rire ! Mais je relève le défi. que tu viens de me lancer . Peux-tu me définir le milieu d'un segment ?

NicoLeProf

Tant mieux si tu es à l'aise, désolé d'avoir douté alors vu l'étrangeté de tes questions sur ce fil ! ^^'

Quand je disais "travailler les coordonnées barycentriques", c'est pour intervenir dans des exercices nécessitant un peu de réflexion même si je ne suis pas encore parfaitement à l'aise avec ce thème, tu le verras assez vite (notamment lorsqu'il y a des cercles où je botte en touche).

stfj

@NicoLeProf : la géométrie projective aide beaucoup. Soit $(P,\vec P,v)$ un plan affine réel de dimension $2$. En fait, les mathématiciens ont une horreur absolue de ce monstre qu'est un espace affine, même en dimension deux. Le fait qu'on oblige les lycéens à manipuler ces "notions" peut alors apparaître bizarre. Mais comme les mathématiciens ont cessé peu ou prou de s'occuper des "mathématiques" enseignées au secondaire à cause du fiasco de la réforme des mathématiques modernes, c'est ainsi. Ils ont été confinés -si l'enseignement secondaire les intéressait- dans les IREM bien loin des rectorats et du corps des inspecteurs, avec un impact très limité donc.

Soit donc $(P,\vec P,v)$ un plan affine réel. On s'empresse de le plonger dans un espace vectoriel réel où $P$ ne sera plus alors qu'un translaté $u+P_0$ d'un plan vectoriel $P_0$. C'est une technique un peu abstraite mais qui vaut le coup qu'on s'y penche, tu vas voir. L'espace vectoriel obtenu s'appelle le complété projectif de $P$ et est noté $\widehat{P}$ dans la suite.

Soit $a$ et $b$ deux points de $(P,\vec P, v)$, ie deux éléments tout simplement de $P$. On définit alors $m(a,b)$ par la formule $$\boxed{m(a,b):=a+\frac12(b-a)=\frac12a+\frac12 b= \frac12(a+b)}$$
Il faut bien comprendre que $\frac12a+\frac12b$ est une combinaison linéaire du type $\alpha a+\beta b$ dans l'espace vectoriel réel $$\widehat{P}$$Du fait de la construction de $\widehat{P}$ que tu trouveras par exemple dans Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel(dans n'importe quelle B.U.), ce qui garantit que $m(a,b)$ est dans $P$ et non dans $\widehat{P}\setminus P$ est que la somme des coefficients $\alpha$ et $\beta$ (ici $\frac12+\frac12=1$) est égale à $1$.

On peut aussi dire si cela nous chante que $m(a,b)$ est l'isobarycentre de $a$ et de $b$ . Mais par exemple quelqu'un comme Jean Dieudonné ne prend même pas la peine de le faire dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, où il se contente de définir le "milieu du segment $ab$", où $a$ et $b$ sont deux éléments d'un espace vectoriel réel, par la formule encadrée.
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Pour paraphraser Russel, on a ainsi défini péniblement le milieu d'un segment $ab$, ce qui peut servir. Resterait alors à définir mathématiquement l'espace affine dans lequel on souhaiterait travailler. Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique.  J'ai suggéré dans un autre fil de travailler dans l'espace affine $\mathbb R^2$ pour simplifier par rapport à ce que proposait Jean Dieudonné en écrivant son livre du maître, libre au maître de simplifier à sa convenance en fonction de son public.
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Si tu savais tout cela, cela pourra peut-être intéresser d'autres personnes.

NicoLeProf

C'est donc là où tu voulais en venir hahaha?

Je ne connais pas la géométrie projective.

Cela semble très difficile et hors de portée, il faudrait que je m'y penche sérieusement car cela a l'air aussi très intéressant... !

pldx1

Bonjour,

@stfj a dit: Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique

Au lieu de faire semblant de vivre dans un monde épuré, stfj devrait se persuader que ces élèves qui sont venus pour réaliser une magnifique bijection "élève sur chaise" ont été obligés de transiter par l'espace physique pour passer de la cour du lycée à la salle de classe.

Cordialement, Pierre.

stfj

Non, c'est facile. Soit $E$ un espace vectoriel. On appelle espace projectif associé à $E$ et on note $P(E)$ l'ensemble des droites vectorielles de $E$, autrement dit l'ensemble des droites de $E$  passant par l'origine $0$ de $E$. Chaque élément d'un espace projectif est donc une droite vectorielle qu'on notera $$D_{0x}, \text { où }x\in E\setminus {0}$$Dans le dessin du post original de ce fil, j'ai dessiné quatre droites vectorielles $D_{0A}, D_{0B}, D_{0C}$ et $D_{OM}$ , autrement dit quatre éléments de $P(E)$[on dit aussi "quatre points de $P(E)$"]
Jusque là, tout va bien, @NicoLeProf ?
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Comme l'écrivait Dieudonné, ce que l'on appelait autrefois "géométrie projective (réelle)" consiste à traduire les résultats de l'algèbre linéaire (sur $\mathbb R$)

stfj

@pldx1 : . Bonjour,

Vous auriez des exemples d'utilisation des cobars accessibles à de tels élèves à proposer ? Promis que je ne les utiliserai pas avec des 6è.

A propos de la bijection, j'imagine que vous évoquez le sureffectif dans les salles de classes françaises qui fait que plus une chaise n'est libre grâce à nos chers fonctionnaires des rectorats.

Cordialement, 
Stéphane 

NicoLeProf

Oui ! Jusqu'ici tout va bien @stfj ! Très gentil de m'instruire, merci beaucoup !!!

stfj

Si tu as ton oeil en $O$, et que tu regardes le point $A$ par exemple, tout point $A'$ de $D_{0A}$ t'apparaîtra identique à $A$, n'est-ce pas ?

NicoLeProf

Oui je vois très bien ce phénomène !

stfj

Ok, surtout oublie la présence des plans gris et bleus pour l'instant. Un espace projectif, ce n'est que l'ensemble des droites vectorielles. Par exemple, l'espace projectif courant consiste à partir d'un espace vectoriel réel à trois dimensions, qu'on notera $E_3$ par exemple, et à juste imaginer toutes les droites vectorielles de $E_3$, ie toutes les droites passant par l'origine de $E_3$. Cet espace projectif sera noté $$P(E_3)$$Ok ? (Quand je te disais que c'est facile.)

stfj

Pour comprendre ce qu'est un espace projectif, la présence dans l'illustration suivante du plan grisé est extrêmement gênante. Il faut impérativement en faire abstraction. Je n'arrive pas à le supprimer sur geogebra 3D

Quatre éléments, quatre "points" de l'espace projectif $P(E_3)$ sont $\mathbb R A$, $\mathbb R B$, $\mathbb R C$ et $\mathbb R E$, où $A,B,C, E\in E_3$. Ok ?

NicoLeProf

Ok et du coup $P(E_3)$ est de dimension $4$ non?

stfj

$P(E_3)$ n'a aucune structure pour l'instant. $P(E_3)$ est juste un ensemble pour l'instant$$P(E_3):=\{\mathbb Rx: x\in E_3\setminus\{0\}\}$$
Un joli ensemble sans structure.

C'est une erreur intéressante néanmoins. Comment multiplierais-tu un élément de cet ensemble par un scalaire réel $\lambda$?

Comment ajouterais-tu deux droites vectorielles ?

NicoLeProf

Bon, j'ai du mal... J'ai lu dans ce cours au tout début que $\hat{\mathscr{E}}$ est un espace vectoriel de dimension $\overrightarrow{\mathscr{E}}+1$ (lorsque $\overrightarrow{\mathscr{E}}$ est de dimension finie). Edit : Oui mais $\hat{\mathscr{E}}$ est le complété projectif de $\mathscr{E}$.

Du coup, je suis perdu...

Edit : ça y est j'ai compris, je confonds "espace projectif" qui n'a pas de structure particulière et "complété projectif" qui a une structure d'espace vectoriel réel !!!