Cobars et Véto et espace projectif réel

stfj
Modifié (13 May) dans Géométrie
Bonjour,

Je connais le plongement d'un plan affine $P$ dans un espace vectoriel $\widehat{P}$(j'ai appris cela au début de Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel.)

Soit $O$ l'origine de $\widehat{P}$. Soit $N\in \widehat{P}$

$(\vec {OA},\vec{OB},\vec{OC})$ ie $(A,B,C)$ forment une base de l'espace vectoriel réel à $3$ dimensions $\widehat{P}$. Donc $$\exists !(\alpha',\beta',\gamma')\in \mathbb R^3\text{ tel que }N=\alpha' A+\beta' B+\gamma' C$$ 

Les barycentres de $A,B,C$ affectés de coefficients correspondent aux $M\in P$ tels que $$\alpha'+\beta'+\gamma'=1$$
________________________________________________
Recherche: Je recherche des exemples simples et parlants pour (me) montrer l'intérêt des coordonnées barycentriques
___________________________________
Pour montrer ce que cela m'évoque pour l'instant,

Exemple 1:
Soit $ABC$ un "vrai" triangle autrement dit $(A,B,C)$ base de $\widehat{P}$
Soit $b=\frac12(A+C), a=\frac12(B+C), c=\frac12(A+B)$ 

$$G:=\frac13(A+B+C)=\frac13(2b+B)=\frac13(2a+A)=\frac13(2c+C)\in aA \cap bB \cap cC $$

Exemple 2: l'utilisation des cobars par @Rescassol dans un post récent m'a beaucoup intéressé et je voudrais aller (un peu!) au-delà.

Exemple 3: il y a un an, j'avais commencé d'étudier Formes quadratiques et géométrie chez Calvage et Mounet où la catégorie Véto est définie, et de voir des applications aux coniques, par exemple un exercice (12.2) que j'avais l'impression d'avoir résolu grâce aux indications. Mais avant de reprendre éventuellement cette lecture, je recherche ici des exemples plus simples.

Exemple 4: j'ai des questions qui vont paraître évidentes sur ce site, comme : si on se restreint à une droite affine au lieu de considérer un plan affine, qu'obtient-on pour les cobars ? Comment définir l'intérieur d'un triangle avec les cobars ? De façon générale, l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points dans un espace affine de dimension finie ? Que donne la démonstration de théorèmes comme celle du théorème de Ménéalus ?...

Cordialement,
Stéphane
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Réponses

  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    Bonjour, en fait Rescassol, il fait mieux que ça, il utilise ce qu'on appelle les coordonnées homogènes, c'est à dire qu'il n'y a plus unicité des coefficients. 
    $G \simeq A+B+C$ le symbole $\simeq$ veut dire que c'est défini à un coefficient près. Si on a besoin d'additionner les points ou les soustraire pour avoir les vecteurs puis les distances alors il faudra normaliser, c'est à dire diviser par le facteur qui va bien pour que la somme des coefficients donne 1.
    L'intérêt du bazar, pour moi, c'est que cela simplifie énormément les calculs. Et accessoirement que tous les exercices de géométrie (ou presque) passent avec une sorte de méthode universelle. Le choix de barycentrique ou morley ou ... ne change fondamentalement pas grand chose à l'affaire, les résultats seront plus ou moins simples donc c'est plus ou moins joli, c'est tout.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @Vassillia : tu peux montrer un exemple simple comme l'exemple 1 au noob que je suis ?
  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    Là comme ça, je n'ai pas d'idée spécifique mais je peux te proposer ce que j'avais fait pour cailloux (et qui n'est qu'une traduction de pldx1). J'avais plus ou moins réussi à le convaincre de l’intérêt, peut-être que cela te conviendra, en plus, on finit par arriver sur une conique
    Mais sinon, tu peux lire les réponses de Rescassol, Bouzar ou pldx1 de n'importe quel fil de géométrie et tu auras des exemples. A toi de poser des questions ensuite si tu ne comprends pas certaines étapes.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @Vassillia : la démonstration de Ceva ne doit pas être bien difficile dans ce cadre, n'est-ce pas ? Au moins dans des cas particuliers.
  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    En effet d'ailleurs essaye, pourquoi pas ? A ce stade, je suis sûre que tu peux y arriver même si les premières fois, on cafouille forcément un peu, il y a un temps d'appropriation incompréhensible qui dépend de chacun et chacune :)
    Pour concourantes ou parallèles, un coup de déterminant nul à partir des droites obtenues en coordonnées barycentriques fait l'affaire.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Le titre du fil m'est incompréhensible. Est-ce que "cobar" signifie "coordonnées barycentriques" ? Et qu'est-ce que c'est que "Véto" ? Aucun rapport avec les vétérinaires j'imagine.
  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    Moi non plus, je n'ai rien compris au titre mais pour encourager stfj à essayer, je propose une démonstration de Ménélaüs en barycentrique, je n'avais pas vu qu'elle était demandée initialement.
    Soient $ABC$ un triangle avec $A'$ sur $(BC)$, $B'$ sur $(CA)$ et $C'$ sur $(AB)$
    On se place en coordonnées barycentriques dans le triangle $ABC$ c'est-à-dire :
    $A\simeq\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0 \end{array}\right)$ ; $B\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0 \end{array}\right)$ et $C\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1 \end{array}\right)$
    On a l'égalité vectorielle suivante $\overline{A'C}.\overrightarrow{A'B}-\overline{A'B}.\overrightarrow{A'C}=\vec{0}$ donc on peut en déduire les coordonnées barycentriques :
    $A'\simeq\left(\begin{array}{c} 0\\ \overline{A'C}\\ -\overline{A'B} \end{array}\right)$ de même $B'\simeq\left(\begin{array}{c} \overline{B'C}\\ 0\\ -\overline{B'A} \end{array}\right)$ et $C'\simeq\left(\begin{array}{c} \overline{C'B}\\ -\overline{C'A}\\ 0 \end{array}\right)$

    Les points $A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés ssi $\det(A',B',C')=0$ c'est-à-dire $\left|\begin{array}{ccc} 0 & \overline{B'C}  & \overline{C'B}\\ \overline{A'C} & 0 & -\overline{C'A}\\ -\overline{A'B} & -\overline{B'A} & 0 \end{array}\right| = -\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times \overline{C'B}+\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}=0 $
    ou encore autrement dit $\dfrac{\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}}{\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times \overline{C'B}}=1$.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @JLT : c'est une référence au livre Formes quadratiques et géométrie d'Alain Debreil, Jean-Denis Eiden, Rached Mneimé et Tuong-Huy Nguyen, chez Calvage et Mounet. Les auteurs y introduisent la catégorie **Véto** p. 190. Quant à "cobars", les mêmes auteurs rappellent que dans le jargon des taupins des années ... , "cobars" et "cocars" désignaient coordonnées barycentriques et coordonnées cartésiennes(p.203)
    Par ailleurs, des vétérinaires qui se piquent de mathématiques, j'en ai rencontrés; mais des vétérinaires réellement piqués par les mathématiques, jamais. Qui sait, peut-être un jour... Ou peut-être des exemples célèbres dans le passé ? 
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @Vassillia : jolie ta démonstration qui trivialise la démonstration de Céva(je vais essayer de la refaire sans (trop ;) ) regarder) au point de la rendre facilement accessible à un élève moyen de Terminale. Merci :).

    Je me demande si c'est le genre de résultats qui plaident pour l'enseignement très tôt dont parle, je crois, @pldx1.

    Je me demande également si c'est le type d'idées qu'avait Jean Dieudonné(1) en tête en invitant à limiter l'enseignement de la géométrie élémentaire (de la seconde à la Terminale) à des espaces vectoriels réels de dimension 2 ou 3. En tout cas, dans ses appendices, il introduit les espaces projectifs.

    La réflexion a-t-elle été menée suffisamment loin par d'autres mathématiciens des IREM comme Jean Frenkel ? Je ne crois pas car, même s'il indique (1) en référence de Géométrie pour l'élève professeur, et affirme que "les espaces affines n'existent pas mathématiquement", il ne plaide nulle part pour la vision simple (clé en main, si j'ose dire ) de Dieudonné.
    __________________________________
    (1) Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, Hermann, 1964.

  • JLT
    JLT
    Modifié (13 Apr)
    stfj a dit :
    Les auteurs y introduisent la catégorie **Véto** p. 190.
    Ah donc c'est Véto (en gras), et les objets de la catégorie sont les couples $(V,\tau)$ où $\tau$ est une forme linéaire non nulle sur $V$.

  • @Vassillia : il y a un problème dans ta démonstration  : les points $A',B',C'$ ne sont certainement pas "alignés".
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @JLT: c'est ça . Par ailleurs, il y a un problème dans la démonstration que me fournit @Vassillia de Céva, que je viens de lui signaler plus haut.

  • Je ne comprends pas de quoi tu parles. Vassilia a fourni une démonstration de Menelaüs et non de Ceva. Et par ailleurs tu n'as pas expliqué clairement quel problème tu vois dans sa démonstration.
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @JLT : $A', B'$ et $C' $ ne sont pas alignés, comme @Vassillia l'écrit: 

    "Les points A′, B′ et C′ sont alignés ssi det(A′,B′,C′)=0..."

    Et il est fort possible que je confonde Céva et Ménélaüs mais là n'est pas le problème dans la démonstration.
  • JLT
    JLT
    Modifié (13 Apr)
    Toujours pas compris. Le théorème de Menelaüs correspond bien à cet énoncé :
    et je ne comprends toujours pas ce qui te pose problème.
  • AA', BB' et CC' sont peut-être concourantes mais A', B' et C' choisis sur BC, AC et AB ne sont pas alignés.
  • JLT
    JLT
    Modifié (13 Apr)
    Encore une fois : Vassilia a fourni une démonstration de Ménélaüs et non de Ceva.
  • @JLT : @Vassillia n'a pas fourni une "démonstration" de Ménélaüs (ok pour Ménélaüs) car elle écrit que"A', B' et C' sont alignés", ce qui n'a aucun sens .
  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    Mes points A', B' et C' correspondent aux points D, E et F de wikipédia. J'ai donné Ménélaüs car c'était demandé dans le premier message et surtout pour t'inviter à trouver toi-même Ceva. C'est peut-être le changement de nom qui te perturbe.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Et le calcul de déterminant de @Vassillia est faux (j'espère qu'elle ne m'en voudra pas d'insister mais comme elle ne répond pas...)
  • @Vassillia : tu vois les problèmes dans ta démo ?
  • Ben non en fait... 
    C'est le but de démontrer que les points sont alignés et c'est bien équivalent à un déterminant nul.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Qu'est-ce que A', @Vassillia ?
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    @stfj, je ne comprends pas ce qui te gêne : la preuve de Vassillia est parfaitement claire, c'est limpide : un grand merci à elle d'ailleurs !
    Relis bien ce qu'elle a écrit, ce n'est pas "$A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés", c'est : "$A'$, $B'$ et $C'$ sont alignés ssi $\det(A',B',C')=0$". Ce qui est très différent de ce que tu écris ci-dessus et ce qui permet de démontrer le théorème de Ménélaüs (au lieu de prendre $D$, $E$, $F$ comme sur Wikipédia, elle a pris $A'$, $B'$, $C'$ comme notations).  
    Je t'invite, une fois que tu auras compris la preuve de Vassillia, à démontrer le théorème de Céva en barycentriques, c'est assez similaire. ;)
  • Un point sur la droite (BC) comme je l'ai écrit
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • Qu'est-ce que $A'$ dans la démonstration de @Vassillia , @NicoLeProf?
  • @Vassillia : qu'est-ce que $B'$ et $C'$ dans ta démonstration ?
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    Mais... stfj, Vassillia a défini tous les points utilisés, relis bien sa preuve à tête reposée.
    Les points $A'$, $B'$ et $C'$ correspondent respectivement aux points $D$, $E$ et $F$ sur le lien Wikipédia fourni par JLT ci-dessus. $A'$ est un point de $(BC)$ différent de $B$ et $C$. De même, $B'$ est un point de la droite $(AC)$ différent de $A$ et $C$ et $C'$ est un point de $(AB)$ différent de $A$ et $B$.
    Tu peux refaire la figure de Wikipédia à main levée en utilisant les notations de Vassillia.
    Si tu as d'autres questions, n'hésite pas, je me ferai une joie d'y répondre ! :)
  • Vassillia
    Modifié (13 Apr)
    Des points sur les droites (CA) et (AB) comme je l'ai aussi écrit aussi. Je ne vois pas où tu veux en venir.
    Édit : je te laisse la main NicoLeProf, ça m'arrange car je dois partir mais courage stfj, je suis sûre que tu vas comprendre.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • ok, @NicoLeProf et @Vassillia, comme l'écrivait @JLT , je confonds avec Céva. Reste un problème : le calcul de déterminant est faux.
  • Non le déterminant n'est pas faux, prends un brouillon et développe par rapport à la première colonne.
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    C'est ce que j'ai fait : j'obtiens $$-A'C.B'A.C'B+A'B.B'C.C'B=0$$au lieu de $$-\overline{A'C}\times \overline{B'A}\times\overline{C'B}+\overline{A'B}\times \overline{B'C} \times \overline{C'A}=0$$                        
  • Non, $\overline{C'A}$ à la place de $C'B$ à la fin et n'oublie pas les distances algébriques.
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    J'ai eu la flemme de noter les distances algébriques [tu me prends pour un noob ou quoi :) ?]. Tu as raison, @NicoLeProf, c'est une déformation de (vieux) prof, je vois des erreurs partout. J'ai enfin compris le coup de la ménélaïenne. Vieux motard que j'aimais :). Merci pour votre patience à tous les trois, @NicoLeProf@Vassillia et @JLT.

    D'autres exemples aussi simples et intéressants des coordonnées barycentriques ? $36$ ans après avoir été terrorisé par Ménélaüs, le voir trivialiser ainsi m'amuse beaucoup et je suis preneur d'autres exemples.
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    Heureux de lire que tu as compris.
    Concernant les distances algébriques, mon avis est qu'il ne faut pas avoir la flemme car après, on écrit des choses fausses ou dénuées de sens (surtout lorsque l'on ne semble pas à l'aise avec un thème ou des notions particulières). ;)
    Quoi qu'il en soit, je serai très heureux de travailler les coordonnées barycentriques dans tes futures discussions ! :)
  • @NicoLeProf : si tu juges bien, tu verras que je suis comme un poisson dans l'eau avec ces notions. Et qu'il est risqué de prétendre le contraire au risque de paraître soi-même peu à l'aise avec les notions en question. ;) C'est juste pour rire ! Mais je relève le défi. que tu viens de me lancer :). Peux-tu me définir le milieu d'un segment ?
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    Tant mieux si tu es à l'aise, désolé d'avoir douté alors vu l'étrangeté de tes questions sur ce fil ! ^^'
    Quand je disais "travailler les coordonnées barycentriques", c'est pour intervenir dans des exercices nécessitant un peu de réflexion même si je ne suis pas encore parfaitement à l'aise avec ce thème, tu le verras assez vite (notamment lorsqu'il y a des cercles où je botte en touche).
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @NicoLeProf : la géométrie projective aide beaucoup. Soit $(P,\vec P,v)$ un plan affine réel de dimension $2$. En fait, les mathématiciens ont une horreur absolue de ce monstre qu'est un espace affine, même en dimension deux. Le fait qu'on oblige les lycéens à manipuler ces "notions" peut alors apparaître bizarre. Mais comme les mathématiciens ont cessé peu ou prou de s'occuper des "mathématiques" enseignées au secondaire à cause du fiasco de la réforme des mathématiques modernes, c'est ainsi. Ils ont été confinés -si l'enseignement secondaire les intéressait- dans les IREM bien loin des rectorats et du corps des inspecteurs, avec un impact très limité donc.

    Soit donc $(P,\vec P,v)$ un plan affine réel. On s'empresse de le plonger dans un espace vectoriel réel où $P$ ne sera plus alors qu'un translaté $u+P_0$ d'un plan vectoriel $P_0$. C'est une technique un peu abstraite mais qui vaut le coup qu'on s'y penche, tu vas voir. L'espace vectoriel obtenu s'appelle le complété projectif de $P$ et est noté $\widehat{P}$ dans la suite.

    Soit $a$ et $b$ deux points de $(P,\vec P, v)$, ie deux éléments tout simplement de $P$. On définit alors $m(a,b)$ par la formule $$\boxed{m(a,b):=a+\frac12(b-a)=\frac12a+\frac12 b= \frac12(a+b)}$$
    Il faut bien comprendre que $\frac12a+\frac12b$ est une combinaison linéaire du type $\alpha a+\beta b$ dans l'espace vectoriel réel $$\widehat{P}$$Du fait de la construction de $\widehat{P}$ que tu trouveras par exemple dans Géométrie pour l'élève professeur de Frenkel(dans n'importe quelle B.U.), ce qui garantit que $m(a,b)$ est dans $P$ et non dans $\widehat{P}\setminus P$ est que la somme des coefficients $\alpha$ et $\beta$ (ici $\frac12+\frac12=1$) est égale à $1$.

    On peut aussi dire si cela nous chante que $m(a,b)$ est l'isobarycentre de $a$ et de $b$ . Mais par exemple quelqu'un comme Jean Dieudonné ne prend même pas la peine de le faire dans Algèbre linéaire et géométrie élémentaire, où il se contente de définir le "milieu du segment $ab$", où $a$ et $b$ sont deux éléments d'un espace vectoriel réel, par la formule encadrée.
    ___________________________
    Pour paraphraser Russel, on a ainsi défini péniblement le milieu d'un segment $ab$, ce qui peut servir. :) Resterait alors à définir mathématiquement l'espace affine dans lequel on souhaiterait travailler. Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique.  J'ai suggéré dans un autre fil de travailler dans l'espace affine $\mathbb R^2$ pour simplifier par rapport à ce que proposait Jean Dieudonné en écrivant son livre du maître, libre au maître de simplifier à sa convenance en fonction de son public.
    _______________________
    Si tu savais tout cela, cela pourra peut-être intéresser d'autres personnes.
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    C'est donc là où tu voulais en venir hahaha?
    Je ne connais pas la géométrie projective.
    Cela semble très difficile et hors de portée, il faudrait que je m'y penche sérieusement car cela a l'air aussi très intéressant... ! :)
  • Bonjour,
    @stfj a dit: Au lieu de faire travailler les élèves dans un espace physique qui n'a rien à voir avec la mathématique
    Au lieu de faire semblant de vivre dans un monde épuré, stfj devrait se persuader que ces élèves qui sont venus pour réaliser une magnifique bijection "élève sur chaise" ont été obligés de transiter par l'espace physique pour passer de la cour du lycée à la salle de classe.



    Cordialement, Pierre.
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    Non, c'est facile. Soit $E$ un espace vectoriel. On appelle espace projectif associé à $E$ et on note $P(E)$ l'ensemble des droites vectorielles de $E$, autrement dit l'ensemble des droites de $E$  passant par l'origine $0$ de $E$. Chaque élément d'un espace projectif est donc une droite vectorielle qu'on notera $$D_{0x}, \text { où }x\in E\setminus {0}$$Dans le dessin du post original de ce fil, j'ai dessiné quatre droites vectorielles $D_{0A}, D_{0B}, D_{0C}$ et $D_{OM}$ , autrement dit quatre éléments de $P(E)$[on dit aussi "quatre points de $P(E)$"]
    Jusque là, tout va bien, @NicoLeProf ?
    _____________________
    Comme l'écrivait Dieudonné, ce que l'on appelait autrefois "géométrie projective (réelle)" consiste à traduire les résultats de l'algèbre linéaire (sur $\mathbb R$)
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    @pldx1 : :). Bonjour,

    Vous auriez des exemples d'utilisation des cobars accessibles à de tels élèves à proposer ? Promis que je ne les utiliserai pas avec des 6è.

    A propos de la bijection, j'imagine que vous évoquez le sureffectif dans les salles de classes françaises qui fait que plus une chaise n'est libre grâce à nos chers fonctionnaires des rectorats. :)

    Cordialement, 
    Stéphane 
  • Oui ! Jusqu'ici tout va bien @stfj ! Très gentil de m'instruire, merci beaucoup !!! :)<3
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    Si tu as ton oeil en $O$, et que tu regardes le point $A$ par exemple, tout point $A'$ de $D_{0A}$ t'apparaîtra identique à $A$, n'est-ce pas ?
  • Oui je vois très bien ce phénomène !
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    Ok, surtout oublie la présence des plans gris et bleus pour l'instant. Un espace projectif, ce n'est que l'ensemble des droites vectorielles. Par exemple, l'espace projectif courant consiste à partir d'un espace vectoriel réel à trois dimensions, qu'on notera $E_3$ par exemple, et à juste imaginer toutes les droites vectorielles de $E_3$, ie toutes les droites passant par l'origine de $E_3$. Cet espace projectif sera noté $$P(E_3)$$Ok ? (Quand je te disais que c'est facile.)
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    Pour comprendre ce qu'est un espace projectif, la présence dans l'illustration suivante du plan grisé est extrêmement gênante. Il faut impérativement en faire abstraction. Je n'arrive pas à le supprimer sur geogebra 3D

    Quatre éléments, quatre "points" de l'espace projectif $P(E_3)$ sont $\mathbb R A$, $\mathbb R B$, $\mathbb R C$ et $\mathbb R E$, où $A,B,C, E\in E_3$. Ok ?

  • Ok et du coup $P(E_3)$ est de dimension $4$ non?
  • stfj
    Modifié (13 Apr)
    $P(E_3)$ n'a aucune structure pour l'instant. $P(E_3)$ est juste un ensemble pour l'instant$$P(E_3):=\{\mathbb Rx: x\in E_3\setminus\{0\}\}$$
    Un joli ensemble sans structure.

    C'est une erreur intéressante néanmoins. Comment multiplierais-tu un élément de cet ensemble par un scalaire réel $\lambda$?

    Comment ajouterais-tu deux droites vectorielles ?
  • NicoLeProf
    Modifié (13 Apr)
    Bon, j'ai du mal... J'ai lu dans ce cours au tout début que $\hat{\mathscr{E}}$ est un espace vectoriel de dimension $\overrightarrow{\mathscr{E}}+1$ (lorsque $\overrightarrow{\mathscr{E}}$ est de dimension finie). Edit : Oui mais $\hat{\mathscr{E}}$ est le complété projectif de $\mathscr{E}$.
    Du coup, je suis perdu...
    Edit : ça y est j'ai compris, je confonds "espace projectif" qui n'a pas de structure particulière et "complété projectif" qui a une structure d'espace vectoriel réel !!!
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