Formule sommatoire

Piteux_gore

Bonjour,
Existe-t-il une formule pour la somme suivante ?
$ -1^k \binom n 1 + 2^k \binom n 2 - 3^k \binom n 3 + \dots + (-1)^n n^k \binom n n$
Schiavo !...

Chaurien

Ce sont les nombres de Stirling de seconde espèce, à un coefficient près, je pense.

Chaurien

Si je ne suis pas emmêlé les pinceaux, on a : $\overset{n}{\underset{i=0}{\sum }}(-1)^{i}\binom{n}{i}i^{k}=(-1)^{n}n!S(k,n)$, où $S(k,n)$ est le nombre de Stirling de seconde espèce, qui est le nombre de partitions d'un $k$-ensemble en $n$ classes. Ce nombre est donc nul si $n>k$. Le nombre $n!S(k,n)$ est le nombre de surjections d'un $k$-ensemble sur un $n$-ensemble, toujours bien sûr nul si $n>k$.

On peut rédiger aussi avec les différences finies itérées $\Delta^n x^k$, qui donne une autre raison de la nullité pour $n>k$.

Voir : Louis Comtet, Analyse combinatoire, tome second, PUF 1970, p. 38.

etanche

https://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheSecondKind.html

Chaurien

On peut préciser la réponse si $k=n$. Le nombre de partitions d'un $n$-ensemble en $n$ classes est évidemment $1$, et d'ailleurs le nombre de surjections d'un $n$-ensemble sur un $n$-ensemble est le nombre de bijections, soit $n!$. C'est dire que $S(n,n)=1$, d'où :                                $\overset{n}{\underset{i=0}{\sum }}(-1)^{i}\binom{n}{i}i^n=(-1)^{n}n!$.

noix de totos

En complément, notons que ces nombres de Stirling de 2nde espèce ont trouvé récemment un champs d'application hors combinatoire : en effet, ils sont directement impliqués dans une fonction de diviseurs bien précise, à savoir l'analogue unitaire de la fonction de diviseurs stricts (attention, ce n'est pas exactement la même que l'usuelle fonction de diviseurs $\tau_k$). 

Voir cet article page 5 : http://math.colgate.edu/~integers/u56/u56.pdf